数与数系的发展

第三章数与数系的发展主要内容原始人类的数感（NumberSence）数的抽象概念与数的符号数域扩张（简称“扩域”）形成五大数系公理化的方法创造超复数四元数一一对应的计数方法超限数的连续假设3.1数的起源

“数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。”对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。3.1.1数感

数感，即感知事物多少的心理能力。原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感3.1.2一一对应计数法与进位制

一一对应的计数方法例如，是用手指计数物体的个数荷马（约公元前9~8世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念,它是数概念发展的重要途径。进位制当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。如，五进制：一五，一十，十五，二十，……十进制，这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称，而从11开始，就用10的进位表示了。在英语中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“两个10”，而hundred则指“10个10”。古代巴比伦人的六十进位制玛雅数系中的二十进位制计算机技术中的二进位制进位制的转化例如，四进制数（3021）4转化为十进制数的方法为：（3021）4=3·43+0·42+1·4+2=1983.1.3度量的数

使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念，在古代中国的“黄钟起度”的传说图3.1是西汉末年王莽律嘉量斛的结构示意图；中间大的圆柱为斛量，中间底部圆柱形为斗，左右两边各有一耳，都呈圆柱形，左耳为升量，右耳上为合量、下为龠量。3.1.4抽象的数数与被计算的东西分离开来了，出现了1，2，3，…这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生，怀特海（1861~1947）：“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。教育的启示学会1、2、3，…的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。3.1.5神秘的数神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数——这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。如，夏夏王朝朝的““天有有九野野，地地有九九州，，王有有九鼎鼎，筹筹有《《九畴畴》””的治治国方方针。。夏王王朝将将天分分为““九九天””；地地为““九州州”，，并将将州的的官员员称为为“牧牧”。。九州州牧贡贡铜，，铸造造九鼎鼎，以以九鼎鼎象征征九州州，向向天下下昭示示自己己为九九州之之主。。春秋时时期，，用于于筹算算的““九九九”表表在中中国也也普遍遍使用用。这这或许许可以以看出出，神神秘数数与运运算中中的数数在历历史发发展中中的先先后顺顺序。。3.2数的的表示示方法法3.2.1结结绳与与书契契结绳记记数成成为人人类早早期表表示记记数的的方法法图3.2台台湾高高山族族的结结绳（（现藏藏中央央民族族大学学）中国古古籍上上记有有伏羲羲“结结绳而而治””。结绳记记数成成为人人类早早期表表示记记数的的方法法图3.3日日本琉琉球群群岛的的结绳绳“书契契”，，就是是刻划划。““书””是划划痕，，“契契”是是刻痕痕如，在在青海海，1974年年至1978年年出土土一批批带刻刻口的的骨片片，是是新石器时时代末末期用用于记记事、、记数数的实实物。。3.2.2文字字记数数新石器器时代代中晚晚期的的遗址址（西西安半半坡、、山东东城子子崖等等都出出现了了数字字符号号。如，在西西安半坡坡人的遗遗址（距距今约5000~6000年年）中，，发现陶陶器上刻刻的符号号中有数数字符号号：“”（五五）、““”（六六）、““”（七七）、““”（八八）、““”（十十）、““”（二二十）商代的甲甲骨文““金金文”（（“钟鼎鼎文”或或“彝铭铭”）的的十进制制。个、、十、百百、千、、万五个个十进制制的数字字（尽管管表达形形式尚不不统一））都能准准确无误误的给以以表达。。商代对对于数字字的表述述尚未形形成位值值制，但但在沿袭袭前人数数字符号号表示法法的基础础上，又又创造了了百、千千、万等等数字名名称。表示数的的符号在在人类历历史上经经历了漫漫长的演演变过程程，一直直到1522年年所谓阿阿拉伯数数码（叫叫印度数数码更确确切些））才被世世界各国国所接受受。中国国到1892年年才开始始采用阿阿拉伯数数码，但但数的写写法还是是竖写，，直到20世纪纪才采用用现代写写法。3.2.3位值制记记数法十进制的的位值记记数法，，它不仅仅采用十十进制，，而且在在不同位位置上的的数码，，表示这这个数码码与10的某个个幂次的的乘积。。即用位位置来表表示数。。中国古代代的筹算算中的位位值制记记数法。。筹式的数数码有纵纵、横两两种形式式：123456789纵式横式筹式数字字摆放的的方法规规定：个个位、百百位、万万位以上上的数用用纵式，，十位、、千位、、十万位位上的数数用横式式，纵横横相间，，以免发发生误会会；又规规定用空空位来表表示零。。例如197和1907的筹式式分别表表示为和不完全的的定位制制――““累加制制”，它它是同一一单位用用同一符符号累加加，达到到较高单单位时才才换一个个新符号号。如罗马数数字采用用五进累累加制，，它用大大写拉丁丁字母表表示数的的单位：：I（1）,V（5））,X（10）,L（50）,C（（100）,D（500））,M（1000））。在表表示其它它数时，，大单位位在左，，小单位位在右，，表示累累加，如如VⅡ(7);若大大单位在在右、小小单位在在左，表表示减法法，如IV(4)。巴比伦人人发展了了应用定定位不完完全的60进位位制的数数系一方面，，60以以上的数数目依定定位原则则写出；；另一方方面，60以内内的数则则按照以以十进制制的简单单分群数数系写出出，如524,551=2××603+25×602+42×60+31=其中分别别代表1和10。埃及象形形文字数数系是以以10进进位制为为基础的的。用来来表示1和10的头几几次方的的称号是是：任何数现现在都可可以用这这些符号号相加的的方法给给以表示示了，其其中每一一个符号号重复必必要的次次数。于于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=另外，埃埃及人比比较习惯惯于从右右往左写写，而我我们写这这个数，，还是从从左往右右。古代玛雅雅人的数数系是16世纪纪在墨西西哥发现现的。研研究认为为，法定定的玛雅雅年是360天天，因此此其数系系本质上上是二十十进制。。但从第第二次数数群的幂幂次不是是202，而是是18××20，，对于更更高次的的数群亦亦采用18×20n的形式。。如：43，480=6×18×202+0×18×20+14×20。当然，古古代玛雅雅人没有有计算符符号，其其数字是是由表示示6、0、14的符号号自上而而下排列列的。3.2.4干支记数数法干支记数数法是一一种特有有的60进制的的记数方方法十天干：：甲、乙乙、丙、、丁、戊戊、己、、庚、辛辛、壬、、癸十二地支支：子、、丑、寅寅、卯、、辰、巳巳、午、、未、申申、酉、、戌、亥亥六十甲子子干支干支干支干支干支干支干支干支干支干支甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥图3.4甲骨骨文中的的干支表表拓片如图3.4。这这些干支支表尽管管都有些些残损，，但从排排列上看看，全是是由上到到下竖行行排列，，而且都都是甲起起头，10对一一行，排排列整齐齐，说明明商代人人已有了了序数的的概念。。甲骨文中中的干支支表中国早在在商代就就使用干干支纪日日法。干干支纪年年，始于于东汉初初年如，殷商商的帝王王们也大大多用其其出生的的那一天天的干支支名来命命名。据考证，，中国古古代自春春秋时期期鲁隐公公三年（（公元前前720年）二二月己巳巳日（这这天发生生一次全全日食））起，就就开始连连续使用用干支纪纪日，直直至清末末，2600年年从未间间断，这这是世界界上使用用时间最最长的纪纪日法。。干支纪年年，我们们今天仍仍用在农农历纪年年上，近近代史上上许多重重大事件件，也常常以该事事件发生生的干支支年号来来命名，，如“辛辛亥革命命”、““甲午战战争”、、“辛丑丑条约””、“庚庚子赔款款”等。。3.3数数系在在计算中中发展3.3.1负数数在中国传传统数学学中，较较早形成成负数和和相关运运算法则则。《九章算算术》方方程章中中提出了了负数的的概念以以及它们们的运算算法则：：“异名名相除，，同名相相益，正正无入正正之，负负无入负负之”。。在古代代演算使使用算筹筹进行的的。为了了区分正正负数，，刘徽在在注文中中说“正正算赤，，负算黑黑，否则则以斜正正为异。。”如表表示+6，表表示——6。西方数学学家更多多地是研研究负数数存在的的合理性性如，16、17世纪的的帕斯卡卡认为从从0减去去4是纯纯粹的胡胡说帕斯卡的的朋友阿阿润德提提出一种种有趣的的说法来来反对负负数，他他说如果果(－1)：1=1：(－1)，那么么较小数数与较大大数的比比怎么等等于较大大数与较较小数的的比呢？？英国数学学家瓦里里士认为为负数小小于零而而大于无无穷大（（1655）。。他对此此解释道道：因为为时，。。而负数数故故。英国著名名代数学学家德··摩根在在1831年仍仍认为负负数是虚虚构的。。他用以以下的例例子说明明这一点点：“父父亲56岁，其其子29岁。问问何时父父亲的年年龄将是是儿子的的2倍？？”他列列方程56+x=2（（29+x），开解解得x=－－2。。他称称此解解是荒荒唐的的。当然，，欧洲洲在18世世纪排排斥负负数的的人已已经不不多了了。随随着19世世纪整整数的的理论论基础础的建建立，，负数数在逻逻辑上上的合合理性性才真真正确确立。。3.3.2无理数数公元前前5世世纪，，图图3.5黄黄金比比的几几何作作图法法(一一)毕德哥哥拉斯斯学派派发现现了一一些直直角三三角形形的三边边不能能用整整数或或整数数之比比来表表示的的事实实图3.6黄黄金比比的几几何作作图法法(二二)在古希希腊几几何学学家试试图作作正五五边形时时,就就曾遇遇到过过一个个有趣趣的无无理数数。为为了作作正五五边形形，只只要能能作出出360的的角即即可，，因为为这个个角的的二倍倍（即即720的的角））是圆圆内接接正五五边形形一边边所对对的圆圆心角角。于于是问问题转转化为为作顶顶角为为360的的等腰腰三角角形。。为此此，如如图3.5中，，设AC平分底底角OAB。这时时，OC=AC=AB，且△△BAC与△AOB相似。。取OA=1，，设AB=x，于是是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即x2+x－1=0。。由此得得到x=（－－1））/2。运运用古古希腊腊尺规规作图图的方方法，，不难难作出出这样样的x：如图3.6所示示，其其中OA=1，MO=1/2，因因而AM=/2，，以及及AB=AN=AM－－MN=（－1）/2=x。这里的的无理理数x被称为为“黄黄金比比”（（有的的资料料上把把它的的倒数数（+1））/2≈1.618称为为“黄黄金比比”）），它它在自自然界界中，，以及及在科科学和和艺术术中，，处处处都会会出现现。它它是早早期被被发现现的无无理数数之一一。第一次数学危危机与古希腊腊数学家欧道道克索斯的““量”理论无理数最早出出现在中国《《九章算术》》中时，丝毫毫没有引起人人们的异议。。《九章算术术》的开方术术中说：“若若开不尽者，，为不可开，，当以面命之之。”有理数和无理理数的小数表表达式任何有理数都都具有一个有有限的或循环环的小数表达达式，反之，，任何有限的的或循环的小小数表达式都都表示一个有有理数。而无无理数的小数数表达式是无无限不循环的的；反之，任任何无限不循循环小数表达达式都表示一一个无理数。。重要的性质：：在任何两个个不同的正无无理数之间都都存在一个有有理数。事实实上，如果a和b（o＜a＜b）表示两个无无理数，且它它们的小数表表达式为a=a0.a1a2…和b=b0。b1b2…，设i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第第一个n值。于是，c=b0。b1b2…bi就是a和b之间的一个有有理数。3.3.3复数虚数是负数开开平方的产物物，它是在代数方方程求解过程程中逐步为人人们所发现的的公元三世纪的的丢番图只接接受正有理根根而忽略所有有其它根，当当方程两个负负根或虚根时时，他就称它它是不可解的的。十二世纪印度度的婆什伽罗罗指出：“负负数没有平方方根，因为负负数不可能是是平方数”卡当（1545）解方程程得到根和。。这使卡当迷迷惑不解，并并称负数的平平方根是“虚虚构的”、““超诡辩的力力量”。17世纪，尽尽管用公式法法解方程时经经常产生虚数数，但是对它它的性质，当当时仍没有认认识。莱布尼尼兹说：“那那个我们称之之为虚的－1的平方根，，是圣灵在分分析奇观中的的超凡显示，，是介于存在在与不存在之之间的两栖物物，是理想世世界的瑞兆。。”用几何的直观观来认识复数数英国数学家瓦瓦里士（1685）用几几何直观表示示实数系二次次方程复根的的方法：画一一条数轴，将将根的实部在在数轴上表示示为一点，在在此点处做一一线段垂直于于数轴，其长长度等于的系系数，即表示示根的虚部。。丹麦数学家韦韦塞尔（1788年）做做了改进：在在已有数轴上上，做与之垂垂直的虚轴，，并以为单位位，这样就建建立了复平面面，对于每个个复数a+bi，都对应着一一个由坐标原原点出发的向向量。韦塞尔尔用几何方法法的向量运算算规定了复数数的四则运算算，这些定义义在现今的教教材中也仍保保留着。高斯在（1811年）提提出a+bi可用点（a,b）表示，并于于1831年年阐述了复数数的几何加法法与乘法。同同时他指出，，在这个几何何表示中人们们可以看到复复数的直观意意义已完全建建立起来。复复数的几何表表示促使人们们改变了对虚虚数的神秘印印象，成为直直观上可以接接受的数学对对象。复数的公理化化定义1837年英英国数学家哈哈密顿指出，，复数a+bi实数的有序偶偶（a,b），i在复平面上可可表示为（0，1），用用有序偶给出出四则运算的的定义，在这这种定义下，，通常的结合合律、交换律律及分配律，，都能用实数数的有序偶推推导出来3.3.4四元数利用“域扩张张”的方法，，寻找新的数数域――超复复数域。哈密顿的尝试试――从三元元数到四元数数“模法则”：：两个数(a+bi+cj)、（x+yi+zj）相乘得到一一个新数，它它所对应的（（三维空间））向量的长，，恰好是原先先两数所对应应的向量的长长的积。即对对于(a2+b2+c2)与(x2+y2+z2)，是否可可以找到(u,v,w),使得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=u2+v2+w2。此前，勒让德德就举例说明明模法则在三三元数域中不不可能成立：：3=1+1+1及21=16+4+1都都可以表示为为三个平方数数的和，可是是3×21=63却却不能表示为为三个平方数数的和。理由由是：凡是形形如8n+7的整数数都不能表示示为三个平方方数的和。布尔罕桥上的的顿悟——i2=j2=k2=ijk=－1。哈密顿经历了了十五年锲而而不舍的努力力，终于使一一个新的超复复数域诞生了了。这种四元元数也像实数数和复数那样样可以施行加加、减、乘、、除的运算，，但是却不能能满足乘法交交换律。正如如我们已经看看到的，ij≠ji。超复数域的发发展“八元数”，，这是一种包包含四元数的的新数，不能能满足乘法结结合律。利用公理化方方法构造数系系“2n元数”，并且且证明了：n=4且满足足“模法则””的数是不存存在的（1848年）能保持普通代代数所有基本本性质不变，，而比复数域域更大的数系系是不具备这这些基本性质质的。（维尔尔斯特拉斯，，1861年年）能满足除乘法法交换律之外外的一切代数数基本性质的的超复数域，，只有四元数数一种（弗罗罗宾纽斯，1878年））能施行加、减减、乘、除的的数系只有四四种，他们分分别是一维的的实数域、二二维的复数域域、四维的四四元数域及八八维的八元数数域（1958年）3.4数系的公理化化复数、微积分分、几何学的的理论的逻辑辑基础都建立立在实数系上上。人们用公理化化方法建立实实数的逻辑基基础，即实数数系自身的严严密化——““分析的算算术化”过程程。在三个方方面取得了进进展：（1））运用公理化化的方法，使使实数建立在在自然数系的的基础之上；；（2）康托托的基数序数数理论，将自自然数建立在在集合论的基基础之上；（（3）逻辑学学家力图从逻逻辑命题演算算的基础上导导出集合论，，将数学建立立在纯逻辑的的基础之上。。这种方法尚尚未取得完美美的结果。3.4.1戴德金分割无理数的逻辑辑定义（戴德德金1872年）：将有有理数集合划划分成两个非非空集合A和，使得A中的任意的数数都小于中的的任一数。A和的分割记为为。这样的分分割可能产生生三种情况，，（1）在A中没有最大的的数，而中有有最小的数r；（2）在在A中有最大的数数r，而在中没有有最小的数；；（3）在A中没有最大大的数，在中中也没有最小小的数。在前前面两种情况况中，分割产产生有理数，，或者说分割割界定了有理理数。在第三三种情况中，，界数不存在在，分割不能能界定任何有有理数。这时时规定：任何何属于第三种种情况的分割割就界定了一一个无理数。。3.4.2自然数公理“皮亚诺公理理”：（1）1是一一个自然数。。（2）每一个个确定的自然然数a，都有一个确确定的后继数数，而也是一一个自然数。。（3）1不是是任何自然数数的后继数，，即1≠。（4）一个数数只能是某一一个数的后继继数，或者根根本不是后继继数，即由=，一定能推得得a=b。。（5）任何一一个自然数的的集合，如果果包含1，并并且假设包含含a，也一定包含a的后继数，那那么这个集合合就包含所有有的自然数。。‘上上帝创造自然然数；其余一一切都是人为为的。’（克克罗内克）3.5超限基数无限是整个数数学的基础。。无限是许多怪怪事和悖论栖栖身之处如，芝诺悖论论，表述第五五公设的表述述，无穷小量量（第二次数数学危机）希尔伯特说：：“自古以来来，没有别的的问题象无限限这样深深地地激动过人的的情绪，没有有别的想法象象它这样富有有成效地焕发发过人的精神神。同时，没没有别的概念念象它这样迫迫切需要澄清清。”3.5.1一一对应方法法与可列集定义：如果能能根据某一法法则使集合M与集合N中的元素建立立一一对应，，那么M与N等价（按现代代数学家的语语言：称M与N“等势”或具具有“相同基基数”）。例如，偶数集集E与自然数集N、整数集Z与自然数集N的一一对应可可以定义为：：当n∈N，有E中元2n与之对应；当当n∈N，有Z中与之对应。。定义：能与自自然数集N构成一一对应应关系的集合合，就称为可可列集或可数数集。记为。。如，。。证明有理数集集Q也是可列列集（采用对对角线的对应应方法）定理：如果有有可数个可列列集A1,A2,A3,……，则它们的的并集仍旧是是可列集。事实上，不妨妨假定对于任任何i、j，Ai和Aj没有共同元素素。我们现在在对A1,A2,A3,……的元素编号号如下：A1：a11①，a12②，a13④，a14⑦，…A2：a21③，a22⑤，a23⑧…A3：a31⑥，a32⑨…A4：a41⑩，………对于固定k,Ak的元素素形如：ak1,ak2,ak3,…。。我们定义一一一对应F：{1，2，，3，…}其其中F(1)=a11,F(2)=a12,F(3)=a21,F(4)=a13,F(5)=a22,F(6)=a31,F(7)=a14,…,从上图可以直直观看出这个个映射是一一一对应。因此此，仍旧是可可数集。由以上的的性质可可以知道道Q一定定是可数数集。定义：有有限集合合不能通通过一一一对应映映射到自自己的真真子集合合上，而而无穷集集合却可可以通过过一一对对应映射射到自己己的真子子集合上上。例如如上面讲讲到的，，整数集集合可以以映入偶偶数集合合。而偶偶数集合合显然是是整数集集合的真真子集合合。3.5.2实数集