函数最值与导数

关于函数最值与导数第一页，共三十一页，2022年，8月28日一、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)<f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0),

则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点第二页，共三十一页，2022年，8月28日左正右负极大左负右正极小左右同号无极值(2)由负变正,那么是极小值点;(3)不变号,那么不是极值点。(1)由正变负,那么是极大值点;二.极值的判定函数f(x)可导，x0为极值点第三页，共三十一页，2022年，8月28日求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）令f’(x)=0，求方程的根（4）判断根左右两侧的符号，并列成表格得出结论左正右负为极大值点，左负右正为极小值点第四页，共三十一页，2022年，8月28日xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6在闭区间的连续函数如下图所示,你能找出函数的极值吗？极值是最值吗？观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。极值是最值吗？第五页，共三十一页，2022年，8月28日

在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题什么叫最值？函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。第六页，共三十一页，2022年，8月28日观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值.在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值因此：该函数没有最值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)第七页，共三十一页，2022年，8月28日观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)

问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？xX2oaX3bx1yy=f(x)第八页，共三十一页，2022年，8月28日

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：

(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.第九页，共三十一页，2022年，8月28日解:当变化时,的变化情况如下表:例1.求函数

在区间

上的最大值与最小值。令,解得又由于

（舍去）－＋↗↘极小值函数在区间上最大值为,最小值为

※典型例题第十页，共三十一页，2022年，8月28日你理解了吗？第十一页，共三十一页，2022年，8月28日有极值无最值第十二页，共三十一页，2022年，8月28日第十三页，共三十一页，2022年，8月28日1、求出所有导数为0的点；2、计算；3、比较确定最值。练一练、1、第十四页，共三十一页，2022年，8月28日※动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：第十五页，共三十一页，2022年，8月28日

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.小结：第十六页，共三十一页，2022年，8月28日变式反思：本题属于逆向探究题型：

其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。.

第十七页，共三十一页，2022年，8月28日作业：课本P98习题3.3A组

5（1）（2）（3）（4）第十八页，共三十一页，2022年，8月28日2：已知函数(1)求的单调减区间(2)若在区间上的最大值为,求该区间上的最小值所以函数的单调减区间为解:练一练：第十九页，共三十一页，2022年，8月28日令解得当变化时,的变化情况如下表:（舍去）↘--↗极小值最小值为所以函数的最大值为,最小值为第二十页，共三十一页，2022年，8月28日结论：

2、如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极值点，

那么这个极值点必定是最值点。

1、如果函数在闭区间【a，b】上的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；12第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日※动手试试第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日

4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为()A.-4B.0C.16 D.20C第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日12/17/202223第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日2、

解令解得x0(0,)

(,)+-+00

(,)0最小值是0.是π,函数f(x)的最大值第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日

应用(2009年天津（文））处的切线的斜率；设函数其中（1）当时，求曲线在点（2）求函数的单调区间与极值。答:（1）斜率为1;(2)第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日1、已知函数(1)求的最值（必做题）(2)当在什么范围内取值时，曲线与轴总有交点(选做题）作业：高二（10）班求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：作业：高二（14）班第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日解:令解得所以函数的极大值为，极小值为当变化时,的变化情况如下表:↘--

+↗↘--极小值极大值第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日曲线与轴总有交点由（1）可知，函数在区间上的极大值为，极小值为，又因，