差分与求根问题课件

12022/12/16

问题1：建模时碰到导数模型怎么办？前提条件：12022/12/11问题1：建模时碰到导数模型怎么办？22022/12/16初值问题数值解的提法22022/12/11初值问题数值解的提法32022/12/16对微分方程进行数值求解,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1)用差商近似导数32022/12/11对微分方程进行数值求解,首先要将微分方42022/12/16(2)用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高42022/12/11(2)用数值积分近似积分实际上是矩形52022/12/16(3)用Taylor多项式近似并可估计误差Taylor展开方法的处理手续繁琐，演绎过程冗长繁杂。所以，现实中应用较少。52022/12/11(3)用Taylor多项式近似并可62022/12/16差分方法目标：将寻求微分方程的解y(x)的分析问题转化为计算离散值{yn}的代数问题差分：相邻函数值之差采用差分格式（步进方式），求解过程随着节点排列的次序一步一步向前推进，即利用yn,yn-1,yn-2,…,计算yn+1的递推公式由于计算模型仅含一个变元yn+1

，问题规模减小62022/12/11差分方法72022/12/16两类差分格式单步法：直接利用上一步的信息yn设计某种嵌套结构来提高差分格式的精度，如Runge-Kutta方法线性多步法：利用前面多步的老信息yn,yn-1,yn-2,…通过线性组合生成高精度的差分格式72022/12/11两类差分格式82022/12/16用差商近似区间左端点的导数问题转化为Euler格式1.Euler方法82022/12/11用差商近似区间左端点的导数问题转化为E92022/12/16例解初值问题的迭代公式为:92022/12/11例解初值问题的迭代公式为:102022/12/16近似解精确解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321102022/12/11近似解精确解01112022/12/16112022/12/11122022/12/16Y=y(x)abEuler格式精度较低，仅为1阶！注：这是“折线法”而非“切线法”，即除第一个点是曲线切线外，其余点则不是！122022/12/11Y=y(x)abEuler格式精度较132022/12/16则得隐式Euler格式：隐式Euler格式精度仍很低，还是1阶！132022/12/11则得隐式Euler格式：隐式Eule142022/12/16则得Euler两步格式：Euler两步格式精度较前两种有所提高！但：需借助于某种一步法另提供一个开始值y1。142022/12/11则得Euler两步格式：Euler两152022/12/16对上面第一个方程的两端从xn到xn+1进行积分:是显式Euler格式与隐式Euler格式的算术平均，比Euler精度高一些（2阶），但计算量较大梯形格式152022/12/11对上面第一个方程的两端从xn到xn+162022/12/16实际计算中只迭代一次，这样建立的预报校正系统称作改进的欧拉公式。改进的Euler方法将梯形格式与显式Euler格式结合，形成预报校正系统：预报值校正值162022/12/11实际计算中只迭代一次，这样建立的预报172022/12/16例解172022/12/11例解182022/12/16Euler近似解精确解01.0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.41640.61.48600.71.55250.81.61650.91.67821.01.7379改进Euler近似解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321182022/12/11Euler近似解精确解0192022/12/16Euler方法的收敛性和精度分析Euler显式、隐式格式与改进的Euler格式是收敛的称某个差分格式具有m阶精度，如果其对应的近似关系式对于次数≤m的多项式均能准确成立，而对于y=xm+1不准确显式Euler格式：1阶隐式Euler格式：1阶梯形格式：2阶192022/12/11Euler方法的收敛性和精度分析Eu202022/12/162.龙格-库塔(Runge-Kutta)方法理论上,公式阶数越高，精确度越高，但计算量过大观察只要对平均斜率提供一种算法，便可由上式导出一种计算格式平均斜率202022/12/112.龙格-库塔(Runge-Kut212022/12/16共同的特点是:给我们的启示：设法在[xn,xn+1]上多预报几个点的斜率，对它们进行加权平均作为平均斜率212022/12/11共同的特点是:给我们的启示：设法在[222022/12/16Euler中点格式特例2：当p=1/2,

λ=1时当r＝2时，二阶R-K格式当r＝1时，一阶R-K格式Euler格式改进的Euler格式特例1：当p=1,λ=1/2时222022/12/11Euler中点格式特例2：当p=1/232022/12/16三阶R-K方法.四阶经典R-K格式232022/12/11三阶R-K方法.四阶经典R-K格式242022/12/16例解242022/12/11例解252022/12/16精确解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改进Euler近似解01.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263阶R-K近似解252022/12/11精确解y[0]->10262022/12/16精确解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263阶R-K近似解0.010.11.095450.21.183220.31.264910.41.341640.51.414220.61.483244阶R-K近似解262022/12/11精确解y[0]->10272022/12/16问题：重点研究由于函数f(x)的复杂性，在绝大多数情况下没有根的显式表达式。出发点：数值方法求根的近似值272022/12/11问题：重点研究由于函282022/12/16一般提法与结论282022/12/11一般提法与结论292022/12/16搜索法：先求出使的点，然后将这些点放在定义域内，从而将定义域分成几部分，算出驻点处的函数值，即可知道方程的有根区间。1.根的搜索292022/12/11搜索法：先求出使的302022/12/16根的二分搜索法根存在，但未必好求，可用二分法。不妨假设f(a)<0，f(b)>0，取中点x0=(a+b)/2，302022/12/11根的二分搜索法根存在，但未必好求，可312022/12/16312022/12/11322022/12/16322022/12/11332022/12/16优点：对函数要求低，计算简单缺点：收敛慢且对有偶数重根的情况不适合二分法的特点：332022/12/11优点：对函数要求低，计算简单二分法的342022/12/16例

解：如此二分下去即可。现估计二分次数所以，二分6次可达到要求。342022/12/11例解：如此二分下去即可。现估计二分352022/12/16基本思想

构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0变换为其等价形式x=(x)，然后建立迭代格式

当给定初值x0后,由迭代格式可求得数列{xk}。此数列可能收敛，也可能不收敛。如果{xk}收敛于x*，则它就是方程的根。因为：2.迭代法及其收敛性352022/12/11基本思想构造不动362022/12/16

按上述方法构造迭代格式来求解方程的方法称为简单迭代法或逐次迭代法。362022/12/11按上述方法构造迭代格式来求372022/12/16求方程将方程改写成下列形式

据此建立迭代公式例

解:372022/12/11求方程将方程改写成下列形式据此建立382022/12/16求方程将方程分别改写成下列形式

据此建立迭代公式例解382022/12/11求方程将方程分别改写成下列形式据此392022/12/16定理392022/12/11定理402022/12/16提示402022/12/11提示412022/12/16迭代法的局部收敛性定义：对于方程定理412022/12/11迭代法的局部收敛性定义：对于方程定理422022/12/16求方程将方程分别改写成下列形式。例解,所以迭代法发散.所以迭代法收敛.422022/12/11求方程将方程分别改写成下列形式。例解432022/12/16求方程例432022/12/11求方程例442022/12/16迭代过程的收敛速度442022/12/11迭代过程的收敛速度452022/12/163.Newton法452022/12/113.Newton法462022/12/16牛顿法对应的迭代方程为，故其迭代函数为

假设x*

是方程f(x)=0的单根，即f(x*)=0,则462022/12/11牛顿法对应的迭代方程为472022/12/16例解迭代解1.0.571022.0.5671563.0.5671434.0.5671435.0.5671436.0.5671437.0.5671438.0.567143精确解{x->0.567143}472022/12/11例解迭代解482022/12/16牛顿法的特点优点:

收敛快，逻辑结构简单!缺点:若初值选的不恰当，迭代法从一个根跳到另一个根的情形,即会导致迭代发散。482022/12/11牛顿法的特点优点:收敛快，逻辑结构492022/12/16

问题1：建模时碰到导数模型怎么办？前提条件：12022/12/11问题1：建模时碰到导数模型怎么办？502022/12/16初值问题数值解的提法22022/12/11初值问题数值解的提法512022/12/16对微分方程进行数值求解,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1)用差商近似导数32022/12/11对微分方程进行数值求解,首先要将微分方522022/12/16(2)用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高42022/12/11(2)用数值积分近似积分实际上是矩形532022/12/16(3)用Taylor多项式近似并可估计误差Taylor展开方法的处理手续繁琐，演绎过程冗长繁杂。所以，现实中应用较少。52022/12/11(3)用Taylor多项式近似并可542022/12/16差分方法目标：将寻求微分方程的解y(x)的分析问题转化为计算离散值{yn}的代数问题差分：相邻函数值之差采用差分格式（步进方式），求解过程随着节点排列的次序一步一步向前推进，即利用yn,yn-1,yn-2,…,计算yn+1的递推公式由于计算模型仅含一个变元yn+1

，问题规模减小62022/12/11差分方法552022/12/16两类差分格式单步法：直接利用上一步的信息yn设计某种嵌套结构来提高差分格式的精度，如Runge-Kutta方法线性多步法：利用前面多步的老信息yn,yn-1,yn-2,…通过线性组合生成高精度的差分格式72022/12/11两类差分格式562022/12/16用差商近似区间左端点的导数问题转化为Euler格式1.Euler方法82022/12/11用差商近似区间左端点的导数问题转化为E572022/12/16例解初值问题的迭代公式为:92022/12/11例解初值问题的迭代公式为:582022/12/16近似解精确解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321102022/12/11近似解精确解01592022/12/16112022/12/11602022/12/16Y=y(x)abEuler格式精度较低，仅为1阶！注：这是“折线法”而非“切线法”，即除第一个点是曲线切线外，其余点则不是！122022/12/11Y=y(x)abEuler格式精度较612022/12/16则得隐式Euler格式：隐式Euler格式精度仍很低，还是1阶！132022/12/11则得隐式Euler格式：隐式Eule622022/12/16则得Euler两步格式：Euler两步格式精度较前两种有所提高！但：需借助于某种一步法另提供一个开始值y1。142022/12/11则得Euler两步格式：Euler两632022/12/16对上面第一个方程的两端从xn到xn+1进行积分:是显式Euler格式与隐式Euler格式的算术平均，比Euler精度高一些（2阶），但计算量较大梯形格式152022/12/11对上面第一个方程的两端从xn到xn+642022/12/16实际计算中只迭代一次，这样建立的预报校正系统称作改进的欧拉公式。改进的Euler方法将梯形格式与显式Euler格式结合，形成预报校正系统：预报值校正值162022/12/11实际计算中只迭代一次，这样建立的预报652022/12/16例解172022/12/11例解662022/12/16Euler近似解精确解01.0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.41640.61.48600.71.55250.81.61650.91.67821.01.7379改进Euler近似解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321182022/12/11Euler近似解精确解0672022/12/16Euler方法的收敛性和精度分析Euler显式、隐式格式与改进的Euler格式是收敛的称某个差分格式具有m阶精度，如果其对应的近似关系式对于次数≤m的多项式均能准确成立，而对于y=xm+1不准确显式Euler格式：1阶隐式Euler格式：1阶梯形格式：2阶192022/12/11Euler方法的收敛性和精度分析Eu682022/12/162.龙格-库塔(Runge-Kutta)方法理论上,公式阶数越高，精确度越高，但计算量过大观察只要对平均斜率提供一种算法，便可由上式导出一种计算格式平均斜率202022/12/112.龙格-库塔(Runge-Kut692022/12/16共同的特点是:给我们的启示：设法在[xn,xn+1]上多预报几个点的斜率，对它们进行加权平均作为平均斜率212022/12/11共同的特点是:给我们的启示：设法在[702022/12/16Euler中点格式特例2：当p=1/2,

λ=1时当r＝2时，二阶R-K格式当r＝1时，一阶R-K格式Euler格式改进的Euler格式特例1：当p=1,λ=1/2时222022/12/11Euler中点格式特例2：当p=1/712022/12/16三阶R-K方法.四阶经典R-K格式232022/12/11三阶R-K方法.四阶经典R-K格式722022/12/16例解242022/12/11例解732022/12/16精确解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改进Euler近似解01.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263阶R-K近似解252022/12/11精确解y[0]->10742022/12/16精确解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263阶R-K近似解0.010.11.095450.21.183220.31.264910.41.341640.51.414220.61.483244阶R-K近似解262022/12/11精确解y[0]->10752022/12/16问题：重点研究由于函数f(x)的复杂性，在绝大多数情况下没有根的显式表达式。出发点：数值方法求根的近似值272022/12/11问题：重点研究由于函762022/12/16一般提法与结论282022/12/11一般提法与结论772022/12/16搜索法：先求出使的点，然后将这些点放在定义域内，从而将定义域分成几部分，算出驻点处的函数值，即可知道方程的有根区间。1.根的搜索292022/12/11搜索法：先求出使的782022/12/16根的二分搜索法根存在，但未必好求，可用二分法。不妨假设f(a)<0，f(b)>0，取中点x0=(a+b)/2，302022/12/11根的二分搜索法根存在，但未必好求，可792022/12/16312022/12/11802022/12/16322022/12/11812022/12/16优点：对函数要求低，计算简单缺点：收敛慢且对有偶数重根的情况不适合二分法的特点：332022/12/11优点：对函数要求低，计算简单二分法的822022/12/16例

解：如此二分下去即可。现估计二分次数所以，二分6次可达到要求。342022/12/11例解：如此二分下去即可。现估计二分832022/12/16基本思想

构造不动点方程，以求得近似根。即由方程f(