(0359)《教育统计与测评》(期末考试)复习思考题答案

7.i7.i=1r=1i=1r=17.i7.i=1r=1i=1r=11．2．3．0359)《教育统计与测量》复习思考题答案设X1，X2,…Xn为取自某个正态总体N(u，b2)的一个样本,__1n__b2X=£X，则X〜N(u,)nini=1设X〜N(u,b2)，Y〜N(uq2)，X、Y的相关系数为r，如果u=u，112212则X—Y〜N(0,,b2—2rbb+b2)。1122即X、Yg4),11，而P=E(X)，P=E(Y),12Y为二分变量，p1X,ii=1p2=丄迓Y，如果P=P，则当nTW时,ni12i=1P—P渐近N(12，则Z〜P—P渐近N(12，则Z〜N(0,1)。0,」+-q)，如果令Z=1—nnn+n121亠Pqnn1124•设XjX2,…Xn为取自某个正态总体N(卩,b2)的一个样本,X=丄二，则X〜t(n-1)S/*n—15.设X〜N(卩Q2),i1Y〜N(卩Q2)，i=1,2,…,n，i21j=1,2,—.n，2果果u=u12X一Y'nn(n+n一2)X=^-212—nS2+nS21122X〜t(n+n—2)。1-~2设(X,Y)的相关系数为r(i=1,2,…,n),ii(x-n^rX=一\；'S2+S2—2rSS，则X〜t(n-1)rJn—2设X、Y的相关系数为r，T=e，如果p=0,则T〜t(n一2)。8.工(X—X_)2=为艺(X—X)2+为tiTiqr(X一X)2,qrT即SS二SS+SS,TWB则SS的自由度为df=n-1。TTSS的自由度为df=n-q。WW-SSB的自由度为叭土L9。设F=9。设F=SS/(q-1)BSS/(n-q)W，如果片二巴则F〜F(q-1,n-q)。10.设F(x)JP(t)dt表示一分布函数，则P(x)应满足:—g①P(x)no；②JgP(x)dx-1。-g11.设X,X，…X服从正态分布N(0,1)，且X,X,…X相互独立，令，TOC\o"1-5"\h\z12n12nX—X2+X2+•…+X2，则X〜咒2(n)。12n12如果X〜N(卩Q2),X〜N(卩Q2)，则X+X〜N(u+uQ2+c2)111222121212—13•如果X1~N(0J)，X2~”讪，X3〜”呦，丫广寻，Y2-定23则Y〜t(m)，Y〜F(m,n)，1214.X+X〜x2(m+n)。23TOC\o"1-5"\h\z__1n15.设X〜N(卩Q2),i—1,2,•-n，现从中随机取得n个样本，如果用X=_》X去估inii—11n__计R，S2—工(X-X)2去估计Q2,则在给定置信水平«的情况下，总体平均nii—1数的置信区间为。O2的置信区间。16．一射击运动员在打靶试验中击中各环的概率如下表X45678910P0.010.10.120.200.350.200.02试求该动员击中靶标的总体平均数EX。

解：由数学期望的定义，得EX=4x0.01+5x0.1+6x0.12+7x0.20+8x0.35+9x0.20+10x0.02=0.74517．某年级200名学生在一次数学测验中的成绩如下表：成绩组中值频数累计频数累计频率90〜10095102001.0080〜8985301900.9570〜7975401600.8060〜6965541200.6050〜595544660.3340〜494516220.1130〜3935660.03试求该次测验的中数Xmd，众数XMO，算术平均数厂解：由中数，众数，算术平均数的计算公式，得型—66XMDxi=60+—2x10=66.3XMD54f40X=/+faxi=60+x10=64.8M0bf+f40+44abX=1EX*-nnii=1=丄(35x6+45x16+55x44+65x54+75x40+85x30+95x10)200=66.8其中：X*表示组中值，r表示组数，n表示第i组的频数。i18．某年级200名学生在一次数学测验中的成绩如下表：成绩组中值频数累计频数累计频率90〜10095102001.0080〜8985301900.9570〜7975401600.8060〜6965541200.6050〜595544660.3340〜494516220.1130〜3935660.03试求样本方差S2和样本标准差S。解：由方差的计算公式，得二1工X*ni=1=200(35x6+45x16+55x44+65x54+75x40+85x30+95x10)=66.8S2=1工(X-X)2=丄[(35-66.8)2X6++(95-66.8)2x10]n200i=1=202.7619．投掷2枚骰子，当至少有1个“1点”或1个“2点”出现时，就说这次试验成功否则称试验失败，求在20次试验中成功次数耳的期望与方差？444解：投掷2枚骰子都不出现“1点”或“2点”的概率应当为丁乂丁二人，则至少出现1669个“1点”或1个“2点”的概率为1一9=9，又由于每次投掷骰子是相互独立的，所以耳服从二项分布，即耳〜B（20,|），从而，有Eq=nP=20x9占11.1，Dn=nP（1一P）=20x5x（1一5）沁4.94。20．已知数据如下表：成绩频数累计频数累计频率90〜100102001.0080〜89301900.9570〜79401600.8060〜69541200.6050〜5944660.3340〜4916220.1130〜39660.03试计算X，X。7080解：由题意，X位于分数组70〜79分这一组内70l二70,f二40,F二120,i二10,N二200,P二70,PPP—N-FX=l+100P-i,70Pf70一X200-120=70+型x10二75。40X80也位于70~79这一组内80一X200-120X=70+100X10二80。804021．已知在第14题中,某考生的成绩为66分,试计算该考生的百分位。解：由已知,66分位于60~69这一组内,.・.l二60,f二54,F二66,i二10,N二200,PPPTOC\o"1-5"\h\z—N-F

而X=l+型--i,PPfPP一x200-6666=60+地x10,54PX2-6666=60+x10,P二49.2。5422.已知在某年高考数学中，平均成绩为70分，标准差S=15分，甲乙两考生的成绩分别为65分和80分，试计算他们的标准分数,如果该年的考试成绩服从正态分布N(70,152)，试计算甲乙考生的百分位？X-XTOC\o"1-5"\h\z解：由标准分数的计算公式，Z=，得S65-701Z==一，甲15380-702Z———，乙15322）计算Z统计量：P1=探=%7,P广探=0-5,P=壽=®22）计算Z统计量：P1=探=%7,P广探=0-5,P=壽=®X—X—2由Z=――，查正态分布表，得P—1—0.63—0.37,甲3甲2由Z，查正态分布表，得P—0.75。乙3乙23．已知在一次测验中数学平均成绩为75分，语文的平均成绩是数学平均成绩的1.2倍，语文成绩的标准差是数学成绩标准差的1.5倍，语文成绩Y与数学成绩X之间的相关系数为r—0.75，试求语文成绩Y与数学成绩X之间的回归方程。解：设Y与X的回归方程为Y—a+bX，1由题意，则b—r-^—0.75x—1.125，Q1X又X_—75，Y—1.2x75—90，a—Y—bX—90—1.125x75—5.625，・•・Y关于X的回归方程为：Y—5.625+1.125X。在第16题中，如果考生的数学成绩为60,试估计他的语文成绩Y,并计算估计的标准误（设Sy—I0）?解：•・•Y—5.625+1.125X,当X—60时，Y—a+bx60—5.625+1.125x60=73.125.S—Sv.i—r2—10\.1—0.752—6.61。YXY某电视机厂生产的电视机显像管使用寿命据经验服从正态分布，现从中随机抽取500个样本，算得平均寿命为X—14000小时，标准差S—200，试估计该厂生产的电视机显像管期望寿命的置信区间。解：给定置信水平Q—0.05，查正态分布表，得u—1.96，于是在95%的概率意义下,a2显像管期望寿命的置信区间为(X—u,X+u)nana22由题意，X—14000S—200，n—500，

=14000一x1.96衬500=13982.47=14000+4°Lx=14000+4°Lx1.96<50014017.53。・••在95%的概率意义下，显象管期望寿命的置信区间为（13982.47，14017.53）。26。某校高一年级共150人，高一上学期由甲教师任教，在统考中平均成绩为75分，标准差S=12分,高一下则由乙教师任教，期末统考中平均成绩为72分,标准差为S=10分，假设该校所在城市两次考试成绩均服从正态分布，且总体平均成绩，总体标准差相同。试检验该校高一上、下期的平均成绩有无显著差异？解：1）假设H:u=u,012X—Y_75-722）计算Z统计量：Z===2.35,,'S2S2[122+102—+2-nn150'123）给定显著水平a二0.05，查正态分布表，得u二1.96,a24）统计推断：•・•ZI>1.96，•拒绝H0。该年级高一上、下期的平均成绩存在显著差异，教师甲的教学水平要优于教师乙。27。某年级共有220名学生，其中男生12名，女生100名，在一次态度调查中获得如下结果：态度性别同意反对合计男生8040120女生5050100试检验男、女生对该问题的态度是否存在显著差异？解:】）假设H0:u1=u2P-P12:n+n__i2pq■nnP-P12:n+n__i2pq■nn'120.67-0.5=2.54,220——x0.59x0.411120x1003）给定显著水平0.05，查正态分布表，得u二1.96,a24）统计推断：•・•|Z|>1.96•.拒绝H0，男、女生对该问题的态度存在显著差异。28。某校高三毕业生在某年高考中数学平均成绩为78分，当年高考全国平均成绩为75分，问该校高三年级毕生的平均水平与全国平均水平是否存在显著性差异？29。某射击运动员的平均成绩是7环，标准差S=3.5环，经过一段时间的训练后，平均成绩提高到8环，S=4，能否认为该运动员的射击水平有显著提高？（n=200）30。已知在一次测验中，某班级120名学生的数学成绩与物理成绩的相关系数为r=0.45，试检验该班学生的数学成绩与物理成绩是否显著相关？解:1）假设H0:P=°，2）计算t统计量:^^-20.4^.120-22）计算t统计量:t———5.5<1-r2<1-0.4523）给定显著水平a—0.05，查t分布表，得t（118）—1.98，a24）统计推断：•・•|t|>1.98，•该班学生的数学成绩与物理成绩显著相关。31。将某班20人随机分成甲、乙两组，分别采用两种不同的方法进行某项技能训练，以学会所需时间为指标获得如下结果:XSn甲154.210乙173.110问两种不同的训练方法是否存在显著差异？解：1）假设H:卩-卩，0122）计算t统计量：X-Y\nn（n+n-2）t—12—'nS2+nS2化+代221215-17'10x10（10+10-2）1==—1.15,v10x4.22+10x3.1210+103）给定显著水平«=0.05，查t分布表，得t（18）=2.101,a24）统计推断：•・•t<2.101,・•.接受H，两种不同的训练方法不存在显著差异。

032。某年级别120名学生的教学实习成绩分、优、良、中、差四等，各等的实际人数为20、50、40、10,假设学生的教学实习成绩服从正态分布，理论频率依次为0.10、0.4、0.4、0.1，试检验理论假设是否正确？解：1）假设H:考生的教学实习成绩服从正态分布,02）计算X2统计量：等级优良中差ni2050布4010Pi0.100.400.400.10nPi12484812(n—nP)25.330.0831.330.33lInPiX2=5.33+0.083+1.33+0.33=7.0733）给这显著水平a=0.05，查X2分布表，得呻3）=7・81,4）统计推断：•・•X2=7.073<7.81，•接受H，考生的教学实习成绩与正态分布没0有显著差异。33。某年级有70名男生，60名女生，在一次态度调查中，获得如下结果：态度同意反对合计男403070女253560合计6565130

试检验学生的态度与性别是否独立？解：1）假设H0:性别与态度独立,2）计算X2统计量:An1170x6535=An1170x6535=35,130An1270x6535=35,130An2160x65130=30，A60x65n=22130X2=(40-35)2+(30-35)2+(25-30)2+(35-30)2=3.08353530301）给定显著水平°=°・05，查X2分布表’得呻1）=3・84,统计推断：•・•X2=3・08<3・84,・•・接受H0，学生的态度与性别相互独立。34•已知在一次考试中，甲、乙两个小组的考试成绩如下表:X4570503080比=5Y559560708286n2=6试用秩和检验法检验两组分数是否存在显著差异？解：1）假设H:两组分数没有显著差异。02）计算秩和统计量：X4570503080比=5秩26.5318Y559560708286n2=6秩41156.5910T=2+6.5+3+1+8=20.5；3）给定显著水平°=0.05，查秩和分布表，得T=20,T=40；124）统计推断：20<T=20.5<40，・接受H，两批分数未见显著差异。035•某班20人随机分成两组，分别使用不同的学习方法进行某种技能训练，在测验中获得如下结果：实验组90857790669898959077==280，==280，对照组74534555607090808310n=n=1012试检验不同学习方法对学习效果是否有显著影响？解：1）假设H：两种学习方法对学习效果没有显著影响；01）计算秩和统计量：实验组90857790669898959077秩15.5139.515.5619.519.51815.59.5对照组74534555607090808310秩83245715.511121T二15.5+13+9.5+15.5+6+19.5+19.5+18+15.5+9.5二141.5；给定显著水平Q=0.05，查秩和分布表，得T二79,T二131。12T>131•.拒绝H，两批分数有显著差异。036•甲乙两组学生在一次测验中的成绩如下表，试检验两组学生的成绩是否存在显著差异？n=1618185685678709076802629158.5231633222588607562877952321021931247n—1826772508664724640841417.56301217.55328657435914256733183132023448.519127解：1)假设H：两组分数没有显著和差异；0例1．计算秩和统计量：T二26+29+15+8.5+23+16+33+22+32+10+21+11+31+24+7二333.5，n(n(n+n+1)=——12—216(16+18+1)2nn(n+n+1)16x18(16+18+1)b=4^12==28.98,t1212rT-u333.5-280,»Z=t==1.85；b28.98'3）给定显著水平a=0.05,u=1.96；a24）统计推断：•・•|Z|=1.85<1.96,・•.接受H37・甲乙两班分别采用不同的教学方法进行教学，在期末考试中获得如下结果:甲4555576064667075768089乙4048525865727785889092试检验两种教学法对学习效果是否有显著影响？解：1）假设H：两种教学法对学习效果没有显著影响；02）计算秩和统计量：甲4555576064667075768089T25689111214151720乙4048525865727785889092T134710131618192122T=2+5+6+8+9+11+12+14+15+17+20=119；=126.5；n(n+n+1)11x(11+11+1)=126.5；=——12=—22b巴响+n2+D=「；112(11+11+D=18.73；T1212T-T-uZ=TbT119-126.5F-=-°.409；3）给定显著水平a=0.05，查正态分布表，得u=1.96；a24）统计推断：•・•|Z|=0.409<1.96，•接受H0:两种教学法对学习效果没有显著影响。38．某小组11名考生的数学成绩与语文成绩如下表：考生123456

数学（X）708577654472语文（Y）808575706070符号一0+一一+考生7891011数学（X）7098636650语文（Y）6488757065符号++一一一试检验学生的数学成绩与语文成绩有无显著差异？解：1）假设H：两批分数没有显著差异；02）计算符号统计量：n+二4,n-二6,r二4；3）给定显著水平Q=0.025,查符号分布表，得r二1；a4）统计推断：•・•丫=4>1,・•・接受H，考生的数学成绩与语文成绩没有显著差0异。39．某班级30名学生的毕业考试成绩与升学考试成绩如下表试检验毕业成绩与升学成绩有无显著差异？学生12345678910毕业80958470656054553385升学60758074504060502060符号+++一++一+++学生11121314151617181920毕业809610075707792806060升学55709070665387806255符号+++++++0一+学生21222324252627282930毕业54998263657570709590升学45787040456062659070符号++++++++++解：1）假设H:考生的数学成绩与语文成绩没有显著差异；02）计算符号统计量：n+=26,no=1,n-二3,n二26+3二29,r=