初中数学九年级下册第二十八章锐角三角函数新九年级数学下册《锐角三角函数》巩固与提升张

目标CompanyLogo1.进一步巩固锐角三角函数的定义，熟记特殊锐角的三角函数值，能解不同条件下的直角三角形，能通过解直角三角形解决生活中数学问题;加强与其它知识点的综合运用并适当进行拓展提升，提高数学的应用意识.

2.锐角三角函数的定义、解直角三角形和综合运用是重点，综合运用是难点.3.经历探索知识过程，感受数学来源于生活，又服务于生活；体验成功，建立数学学习的信心.三角函数定义一.定义：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．1.sinA，cosA，tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；2.sinA，cosA，tanA中常省去角的符号“∠”，但∠BAC的正弦、余弦和正切表示为:sin∠BAC，cos∠BAC，tan∠BAC;∠1的正弦、余弦和正切表示为:sin∠1，cos∠1，tan∠1；3.sinA，cosA，tanA没有单位，它表示一个比值；4.sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”,“tan”乘以“A”；5.sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.温馨提示第一部分锐角三角函数30°45°60°正弦sinα余弦cosα正切tanα图示法口诀法“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七;弦是二，切是三，分子根号不能删.特殊锐角值二.特殊锐角的三角函数值拓展延伸如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°⑴.

sinA=cosB，sinB=cosA⑶.sin²A+cos²A=1

sinA,cosA,tanA是∠A的函数；在锐角的范围内，∠A的正弦值、正切值随着角度增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小.⑵.三.拓展延伸1.锐角三角函数的增减性2.互余角和同角的三角函数关系一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.一个锐角的正切值等于这个角的正弦值与其余弦值的商.一个锐角的正弦值与其余弦值的平方和等于1.常用关系1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°;∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.⑴.三边之间的关系：（勾股定理）⑵.两锐角之间的关系：（直角三角形两锐角互余）⑶.边角之间的关系：利用上面这些关系，可以“知二求三”（直角除外，已知中至少要有一条边）.2.解直角三角形基本类型⑴.已知两边：①.已知两直角边；②.已知一直角边和斜边.⑵.已知一角一边：①.已知一锐角和一直角边；②.已知一锐角和斜边.解答时请注意“有斜用弦，无斜用切”.

第二部分解直角三角形一.常用关系基本类型二.列表归纳解直角三角形的基本类型图示和条件解答路径参考已知两边已知两直角边已知一直角边和一斜边已知一边一锐角已知一锐角和一直角边已知一锐角和一斜边关联概念◆坡度如图，斜坡的坡角α（见图标示）对应的铅直高度h与水平宽度l的比，叫做这个斜坡的坡度.常记为i=m:n的形式.①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.水平线铅垂线水平线视线视线仰角俯角从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；三.应用关联概念◆仰角·俯角应用步骤◆利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.◆解直角三角形实际应用的常见基本图形四.应用步骤和基本图形总结典例1CompanyLogo例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6，;试分别求出AC、AB的值.分析：本题是根据正弦函数值得出AC、AB之间的关系，利用勾股定理和已知条件联系在一起，再利用方程思想使问题获得解决.略解：∵∴若设AC=3x,则AB=5x∴又BC=6∴4x=6,则∴典例2CompanyLogo例2.a、b、c为△ABC的三边，a、b、c满足等式;且有5a-3c=0.求sinA+sinB的值分析：本题是从a、b、c满足等式切入，得出△ABC是直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理和“5a-3c=0”与“sinA+sinB”建立起联系，从而使问题得以解决.略解：∵∴∴∴△ABC是直角三角形∵5a-3c=0∴若设a=3k,则c=5k∴∴∴∴典例3CompanyLogo例3.如图，已知AB是半圆O的直径，D为弧BC的中点，连接BC、DC；若AB=10，CD=6，求cosC的值.分析：要求一个锐角的三角函数通常还是要化归在直角三角形，本题通过作直径AB的圆周角∠ADB就可以使问题化归在Rt△ADB来解决.略解：连接AD、BD∵D为弧BC的中点∴BD=CD=6∵AB是半圆O的直径∴∠ADB=90°∴

∴

∴∠A=∠C∴

典例4CompanyLogo

例3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.⑴.求证：sinA=cosB，sinB=cosA⑶.求证：sin²A+cos²A=1⑵.求证：略证：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°∴⑴.⑵.⑶.

结论

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.典例5CompanyLogo例5如图，在正方形网格中，圆与网格线相切于格点处，其余的条件见图，根据图示求出∠1的度数.（结果保留小数点后一位.）分析：要直接求∠1的度的正弦值比较困难，但可以通过“同弧或等弧所对的圆周角相等”进行转化，在把问题化归在网格构成的直角三角形中，用解直角三角形的思路来解决问题.略解：∴

设网格中每个小正方形的边长为单位1，则AC=3,BC=1.在Rt△ACB中，根据勾股定理有：∴

∴

还有其它途径求∠1的度数吗？

例6.略解：过D作DE⊥AB于E.∴∠AED=∠BED=90°∴

∵∠A=30°，AD=4∵∠ADE=90°-30°=60°，且∠ADB=105°∴∠EDB=105°-60°=45°∵∵在Rt△DCB中有∴∴∠BDC=60°∴∠DBC=30°∴分析：求DC的长可以化归在Rt△DCB中，根据题中条件需求出一边长才能解决问题；过D点作△ABD的边AB的垂线段，通过直角三角形的边角关系可以求出BD，问题便解决了.典例6典例7CompanyLogo分析：本题通过第一个方程可以求出∠A的正弦值，通过第二个方程可以求出直角三角形斜边c的长度；结合∠A的正弦值可以求出a边的值，再利用勾股定理b边的值.略解：由第一个方程结合题意可得：整理配方为：解得：由第二个方程结合题意可得：解得：或(不合题意，舍去）根据题意和前面的解答画出示意图.∵∠C=90°∴

∴

∵∴

∴

例7.典例8CompanyLogo例8.已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400米到D处（即∠DCB=30°，CD=400米），测得A的仰角为60°，求山的高度AB．略解:在Rt△ADE中,∠ADE=60°,设DE=x.在矩形DEBF中，BE=DF=200米;在Rt△ACB中，∠ACB=45°.∴如图，作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在Rt△CDF中∠DCF=30°，CD=400米.∴∴AB=BC典例9CompanyLogo◆坡度如图，斜坡的坡角α（见图标示）对应的铅直高度h与水平宽度l的比，叫做这个斜坡的坡度.常记为i=m:n的形式.①.坡度不是坡角的度数；②.坡度等于坡角的正切值.例9.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,左斜面坡度为i=1:1.5，右斜面的坡度为i=1:3，根据图中的数据求：⑴.求出坡角α和β的度数；⑵.斜坡AB的长.⑴.∵∴∴同法可求⑵.∵∴∴∴追问：其余条件不变，若坝顶AD=3m,请同学们求出坝底BD的宽？

水平线追踪11.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大30倍，sinA的值（）

A.扩大30倍B.缩小C.不变D.不能确定C2.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列的比不等于sinA的是（）D3.在Rt△ABC中，∠C=90°;若AC=9，cosB=0.8,则AB等于（）A4.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（  ） B5.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值为（  ） D6.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为（  ） C7.在△ABC中,∠C=

.105°8.在Rt△ABC中,斜边AB=10，，则S△ABC=

.24追踪29.计算：10.根据图中标示计算：11.如图，在□ABCD中，连接BD,AD⊥BD,AB=4，；则□ABCD的面积为

．12.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6，;试分别求出AC、AB的值.略解：∵∴若设AC=3x,则AB=5x∴又BC=6∴4x=6,则∴追踪3提升1CompanyLogo能力提升不提供参考解答！提升2CompanyLogo新楼居民楼5.如图，已知AB是半圆O的直径，D为弧BC的中点，连接BC、DC；若AB=10，CD=6，求cosC的值.6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC⑴.求证：AC=BD；⑵.若，BC=12，求AD的长.7.在△ABC中，∠C＝90°，，解这个直角三角形.

8.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°，沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600,求山高AB.

提升3谈收获！CompanyLogo谈谈你的收获！1.定义：锐角