小学六年级奥数第十八章圆的周长和面积

11第十八章圆的周长和面积知识要点如右图所示，当一条线段OA绕着固定端点0在平面内旋转一周，它的另一端点A在平面内画出了一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。围成圆的曲线叫做圆周，线段0A叫在同一个圆中，所有的半径都相等。通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆内，所有直径都相等，且等于半径的2倍。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。无论什么圆，它的周长除以直径的商是一个固定的数，这个数叫圆周率，用兀表示。C如果用C表示圆周的长度，d表示这个圆的直径，那么，兀=d兀是一个无限不循环小数：兀=3.14159265358979323846…圆的周长：C=2兀r或C=兀ddCC2圆的面积：S=兀r2=兀（丁）2=兀（）2=22兀4兀扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是n,那么当圆周长C=2兀r时，扇形的弧长计算方法：X2兀rn180nX2兀rn180L=360例1（第五届“希望杯”邀请赛试题）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是平方厘米。的直径，则阴影部分的面积是平方厘米。（兀取3.14）点拨过E点作AB的垂线，垂足为0,因为ZCAB=45°，所以点0是半圆的圆心，贝V阴影1部分的面积等于梯形0ECB的面积，减去圆0面积的4。解过E点作AB的垂线，垂足为0。VZCAB=45°，A点0是半圆的圆心。阴影=S梯形0ECB阴影=S梯形0ECB©0=(5+10)X522—X52=17.875（平方厘米）例2将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆，如图放置。求阴影部分的周长。点拨阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加两条线段的长。两个半圆的半径分别为4厘米和3厘米；两条线段分别是4厘米和3X2—4=2（厘米）。解（1）两个半圆的弧长是：2X3.14X422+2X3.14X322=12.56+9.42=21.98（厘米）（2）两条线段的长：4+（3X2—4）=6（厘米）（3）阴影部分的周长为：21.98+6=27.98（厘米）答：阴影部分的周长是29.98厘米。例3直径均为1分米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如下图。试求金属带的长度和阴影部分的面积。点拨要想求金属带的长度，我们必须把它分成8个部分来观察，金属带的长度正好是管子直径的4倍和一根管子圆周长度的总和。中心阴影部分的面积等于中间正方形的面积减去一解金属带的长度：1X4+3.14X1=7.14（分米）1阴影面积：1X1—3.14X（2）2=1—0.785=0.215（平方分米）答：金属带的长度为7.14分米，阴影部分的面积为0.215平方分米。说明我们在计算比较复杂的周长和面积时，要善于把这个圆形分解再重新组合，这样才会看得清楚明白。2例4如图，圆的周长是12.56厘米，圆的面积是长方形面积的5，求阴影部分的周长。点拨阴影部分的周长是半圆的弧长，加上两条长方形的长和一条宽。已知圆的周长，容易求出半径，再求出圆的面积。求出圆的面积，就可以求出长方形的面积，长方形的宽就是圆的直径，从而可以求出长方形的长，这样就可以求出阴影部分的周长了。解半圆的弧长：12.5622=6.28（厘米）长方形的面积：23.14X（12.56三3.14三2）2252=3.14X425=31.4（平方厘米）长方形的长：31.42（12.5623.14）=7.85（厘米）阴影部分的周长：6.28＋7.85X2＋12.5623.14=6.28＋15.7＋4=25.98（厘米）答：阴影部分的周长为25.96厘米。例5如右图，半圆的半径为15厘米，ZA0B=90°,ZC0D=120°,CD=26厘米，半圆中阴影部分的面积是多少平方厘米？点拨本题是一道比较复杂的问题，需要引辅助线和求扇形面积等方面的知识。解三角形COD的面积：过点0作CD的垂线交互AB于F,交CD于E,连接DF,因为ZFOD=60°，则△DFO是正三角形。DFO的对称轴，所以FE=EO=7.5（厘米）。则三角形COD的面积为：126X7.5X2=97.5（平方厘米）圆心角为120°的扇形的面积：x152225x3.14X120==75X3.14=235.5（平方厘米）3603由弦CD和弧CD围成的弓形面积：235.5－97.5=138（平方厘米）圆心角为90°的扇形面积：x152X90=176.625（平方厘米）360三角形A0B的面积：115X15X-=112.5（平方厘米）由弦AB和弧AB围成的弓形的面积：176.625－112.5=64.125（平方厘米）阴影部分的面积：138－64.125=73.875（平方厘米）答：阴影部分的面积是73.875平方厘米。例6如图，在半径AB为20厘米，圆心角为45。的扇形中，以半径AB的中点0为圆心，以0A为半径画一个半圆，交BC于D。求阴影部分的面积。点拨图中阴影部分看似两个毫不相干的图形，但如果我们连接AD就会发现：弓形BD和弓形AD的面积相等，如果用圆心角45。的扇形面积减去中间等腰直角三角形的面积，就可以求出两个阴影部分的面积的和。解圆心角45°的扇形的面积：x202X45=157（平方厘米）360等腰直角三角形ADB的面积：20X（20三2）22=100（平方厘米）阴影部分的面积：157－100=57（平方厘米）答：阴影部分的面积是57平方厘米。说明在求两块或两块以上阴影部分的面积时，有时也把这几块合在一起求。例7如右图所示，大圆的直径是4厘米，黑色面积大还是阴影面积大？是黑色部分周长大

还是阴影部分的周长大？并求出各自的面积。点拨大圆面积=兀还是阴影部分的周长大？并求出各自的面积。点拨大圆面积=兀x（2）2=4兀（平方厘米），4个小圆面积=兀x（4）2X4=4兀（平方厘米），由此我们可以看出，黑色部分面积之和正好等于四个小圆互相重叠的部分面积之和，所以这两部分的面积应相等。1黑色部分的周长应该等于大圆周长再加上8个-的小圆周长，而阴影部分的周长恰好1等于8个-小圆的周长，所以黑色部分的周长大于阴影部分的周长。4解S大圆=兀X（恳）2=4兀（平方厘米）大圆2-S小圆=兀x（4）2=兀（平方厘米）1S=8X（丁兀一1X122）=2兀一4（平方厘米）=2.28（平方厘米）阴-$黑=$大圆一（4S小圆—S阴）=4兀一（4兀一2・28）=2・28（平方厘米）九=4C大圆=C大圆=兀C小圆"X4=4兀X2=2兀15=4兀+8X4X2兀=8兀1C阴=8X-X2兀C>c解题技巧计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。计算组合图形的面积，有很多图形都是不规则的，很难直接用公式计算出它们的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添加辅助线、割补、等积变形等方法，化难为易，这需要精巧的构思和恰当的解题策略，从

而提高自己的形象思维和抽象思维能力。竞赛能级训练A级1.（第^一届“华罗庚金杯”邀请赛试题）如下左图，圆0中直径AB与CD互相垂直，AB=10厘米，CA=50厘米。以C为圆心，CA为半径画弧AEB。求月牙ADBEA（阴影部分）的面积。（第五届“希望杯”邀请赛试题）如上右图，大圆直径上的黑点是五等分点，则A、B、C三部分的面积比为。3•如下左图所示，正方形的边长为10厘米，在正方形中画了两个四分之一圆，试求图中阴影面积。A如上右图，三角形ABC是直角三角形，阴影工的面积比阴影II的面积小23平方厘米。问BC的长度是多少厘米？（取3）如下左图，直径AB为3厘米的半圆，绕A逆时针旋转60°,使AB到达AC位置。求图中阴影部分的周长。上右图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？如下左图所示，正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。如上右图所示，小明从家到学校有三条由半圆弧组成的路可以走，怎么走近？为什么？有一个长方形如下左图所示位置，在桌子上不滑动地每秒钟转动90°。试回答下列问题

⑴如果长方形AB=3厘米，AD=4厘米，AC=BD=5厘米。把长方形转动一周后，顶点A所经过的痕迹的长是多少厘米？（2）13秒以后，长方形B点离A点开始位置的水平距离是多少厘米？如上右图所示，已知扇形的弧长为12.56厘米。求阴影部分的面积。右图是400米跑道的示意图，两头是两个半圆，每一个半圆的弧长是100米；中间是直线，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。12.求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）B级将边长为1的正三角形放在一条直线上（如下左图），让三角形绕顶点C顺时针转动到位置再继续这样转到3的位置。求A点走过的痕迹的长度。2.上右图中的三角板（等腰直角）、正方形纸板、圆形纸板的面积都是40cm2，阴影部分的面积总和是30cm2，三张纸板盖住的面积总和是70cm2。求三张纸板重叠部分A的面积。3•下左图是=座古钟的示意图，有白、黄、蓝三部分。试问白色部分的面积与蓝色扇形的面积谁更大一些？为什么？上右图中正方形的周长是圆环周长的3倍。当圆环形绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？5•在右图中，直角三角形ABC的斜边AC长20厘米，ZA=30。，以C点为固定点将直角三角形顺时针旋转使斜边AC与短边BC成一直线。求图中阴影部分的面积。6.已知下左图中半圆直径为10厘米，求图中阴影部分的面积。7•在上右图中，AB长8cm,OB长5cm,求阴影部分的面积。9.如上右图，在每边长为10厘米的正方形ABCD中，有以BC边为半径的4圆和以CD为直径的半圆。求阴影部分的面积。如下左图，三角形ABC是边长为24厘米的正三角形，阴影部分是以每边长为直径画半圆时出现的如图所示的几何图形。求阴影部分的面积。11.求上右图中阴影部分的面积。（单位：厘米）12.求下左图中阴影部分的面积。（单位：厘米）13.求上右图中阴影部分的周长。（单位：厘米）能力测试、填空题（每题6分，共30分）半圆的周长是5.14厘米(取3.14)，它的半径是()。长方形、正方形、圆形的周长相等，请按照面积的大小排序。()>()>()。奥运会中我们经常可以看到五环旗，五环图的每个环形的内半径都是4厘米，外半径为5厘米，其中阴影面积都相等。已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米，则每个阴影部分的面积是()平方厘米。4.下左图中阴影部分的面积是()平方厘米。上右图中三个等圆的半径为5cm，三个圆两两交于圆心。则阴影部分的面积为()。二、选择题(每题5分，共10分)一个圆形的周长扩大8倍，面积扩大()倍。A.16B.64C.8如右图所示，图中