专题4.2 解一元一次方程2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练（解析版）

《讲亮点》2021-2022学年七年级数学上册教材同步配套讲练专题4.2解一元一次方程【教学目标】1、经历含括号的一元一次方程求解过程，能用去括号、移项、系数化为1等步骤来解一元一次方程．2、掌握去括号、合并同类项得诀窍。【教学重难点】1、含括号的一元一次方程的解法。2、括号前是负号的处理。【知识亮解】知识点一、等式1.等式的定义：用等号（“=”）来表示相等关系的式子叫做等式。2.等式的性质性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即如果，那么。性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即如果，那么；如果，那么。亮题一、等式的性质【例1】★用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明是根据等式的哪一条性质，以及怎样变形得到的．(1)如果，那么________；(2)如果ax+by＝－c，那么ax＝－c+________；(3)如果，那么＝________．【解析】(1).11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；(2).（－by）；根据等式的性质1，等式两边都加上－by；(3).；根据等式的性质2，等式两边都乘以．【例2】★用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．(1)若4a＝8a－5，则4a+________＝8a．(2)若，则x＝________．(3)，则＝________．(4)ax+by＝－c，则ax＝－c______．【解析】(1)5；根据等式性质1，等式两边同时加上5．(2)；根据等式性质2，等式两边同时除以－6．(3)2；根据等式性质l，等式两边都加上(1+3y)．(4)–by；根据等式性质l，等式两边都加上－by．【例3】★（2020•三门县一模）已知x＝y，则下列等式不一定成立的是（）A．x﹣k＝y﹣k B．x+2k＝y+2k C． D．kx＝ky【答案】C【解析】k为0时不成立。【例4】★将等式3a-2b=2a-2b变形，过程如下：因为3a-2b=2a-2b，所以3a=2a（第一步），所以3=2（第二步），上述过程中，第一步的根据是，第二步得出了明显错误的结论，其原因是．【答案】等式的基本性质1，没有考虑a=0的情况．【例5】★小邱认为，若ac＝bc，则a＝b．你认为小邱的观点正确吗？（填“是”或“否”），并写出你的理由：．【答案】否，当c＝0时，a可以不等于b．知识点二：解一元一次方程步骤具体做法变形依据去分母在方程的两边同乘各分母的最小公倍数等式性质2去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、分配律移项把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号）等式性质1合并同类项把方程化为的形式合并同类项法则系数化为1在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解等式性质2温馨提示：解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：去分母分子是多项式的，去分母后要加括号；不要漏乘不含分母的项去括号括号前的数要乘括号内的每一项；括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号移项移项时不要漏项；将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号合并同类项按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当系数化为1未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数；未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数。亮题二、解一元一次方程移项、合并同类项【例1】★解方程5x﹣3＝2x＋2，移项正确的是()A．5x﹣2x＝3＋2B．5x＋2x＝3＋2C．5x﹣2x＝2﹣3D．5x＋2x＝2﹣3【解析】移项，得5x﹣2x＝2＋3，故选A．【例2】★若代数式7﹣2x和5﹣x互为相反数，则x的值为()A．2B．﹣4C．4D．0【解析】根据题意，得7﹣2x＋5﹣x＝0，移项、合并同类项，得﹣3x＝﹣12，系数化为1，得x＝4．故选C．【例3】★当x＝时，代数式3x﹣5与2x＋15互为相反数．【解析】根据题意，得3x﹣5＋2x＋15＝0，移项、合并同类项，得5x＝﹣10，解得x＝﹣2.【例4】★解下列方程(1)(2)－5x+6+7x＝1+2x－3+8x【解析】(1)移项，得．合并，得．系数化为1，得m＝－10．(2)移项，得－5x+7x－2x－8x＝1－3－6．合并，得－8x＝－8．系数化为1，得x＝1．【点评】方法规律：解较简单的一元一次方程的一般步骤：(1)移项：即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项(常数项)放在等式的右边．(2)合并：即通过合并将方程化为ax＝b(a≠0)．(3)系数化为1：即根据等式性质2：方程两边都除以未知数系数a，即得方程的解．【例5】★解方程：(1)；(2)．【答案与解析】解：(1)．移项，合并得．系数化为1，得x＝48．(2)15.4x+32＝－0.6x．移项，得15.4x+0.6x＝－32．合并，得16x＝－32．系数化为1，得x＝－2．去括号、去分母【例6】★解方程：．【解析】解法1：先去小括号得：．再去中括号得：．移项，合并得：．系数化为1，得：．解法2：两边均乘以2，去中括号得：．去小括号，并移项合并得：，解得：．解法3：原方程可化为：．去中括号，得：．移项、合并，得：．解得：．【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便．例如本题的方法3：方程左、右两边都含(x-1)，因此将方程左边括号内的一项x变为(x-1)后，把(x-1)视为一个整体运算．【例7】★解方程．【解析】方程两边同乘2，得．移项、合并同类项，得．两边同乘以3，得．移项、合并同类项，得．两边同乘以4，得．移项，得，系数化为1，得x＝5．【例8】★解方程4(y－1)－y=2(y＋)的步骤如下：解：①去括号，得4y－4－y=2y＋1，②移项，得4y＋y－2y=1＋4，③合并同类项，得3y=5，④系数化为1，得y=．经检验y=不是方程的解，则上述解题过程中是从第几步出错的？()A．①B．②C．③D．④【解析】第②步中将y的符号弄错，而出现错误，应为4y－y－2y=1＋4而不是4y＋y－2y=1＋4．故选B．【例9】★解方程，较简便的是()．A．先去分母B．先去括号C．先两边都除以D．先两边都乘以【答案】B【解析】 因为与互为倒数，所以去括号它们的积为1.【例10】★小组活动中，同学们采用接力的方式求一元一次方程的解，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如下：接力中，自己负责的一步出现错误的是()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】乙步骤错误，原因是去括号没有变号，故选B．【例11】★解方程：．【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误．【解析】解法1：将分母化为整数得：．约分，得：8x-3-25x+4＝12-10x．移项，合并得：．解法2：方程两边同乘以1，去分母得：8x-3-25x+4＝12-10x．移项，合并得：．【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1；但有时直接去分母更简便一些，如解法2．【例12】★解方程．【解析】原方程可化为：．去分母，得：3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得：12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得：2y＝3．系数化为1，得：．【例13】★(1)将方程−=1去分母，得到3x＋3－2x－3=6，错在()A．最简公分母找错B．去分母时，漏掉乘数项C．去分母时，分子部分没有加括号D．去分母时，各项所乘的数不同(2)解方程：．【解析】(1)C提示：去分母，得3(x＋1)－(2x－3)=6，去括号，得3x＋3－2x＋3=6；(2)去分母，得3x＋3－(2x－3)=6，去括号，得3x＋3－2x＋3=6，解得x=0．【名师点睛】1．方程运算中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同；2．运用乘法的分配律去括号时，注意不要漏乘括号内的每一项；去掉括号后，注意原括号内各项的符号的变化情况．【例14】★将方程－＝5变形为－＝50－，甲、乙、丙、丁四位同学都认为是错的，四人分别给出下列解释，其中正确的是()A．甲：移项时，没变号B．乙：不应该将分子分母同时扩大10倍C．丙：5不应该变为50D．丁：去括号时，括号外面是负号，括号里面的项未变号【解析】A、方程－＝5的左边的每一项的分子、分母乘以10，得－＝5，进一步变形为－＋6＝5，移项，得－＝5－6，故选项A、B、D错误，选项C正确，故选C．【例15】★★解关于的方程：【解析】原方程可化为：当，即时，方程有唯一解为：；当，即时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式，再根据系数是否为零进行分类讨论．【例16】★★解方程：3|2x|-2＝0．【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值．【解析】原方程可化为：．当x≥0时，得，解得：，当x＜0时，得，解得：，所以原方程的解是x＝或x＝．【总结升华】此类问题一般先把方程化为的形式，再根据（）的正负分类讨论，注意不要漏解【亮点训练】训练一、等式的性质【变式1】★如果＝，则下列式子不一定成立的是（）A.＝ B. C.＝ D.＝【答案】D【解析】根据等式的性质，若＝，则＝，，＝，＝，而＝不一定成立，【变式2】★方程＝变形为＝的依据是________．【答案】等式的基本性质【解答】在等式＝的两边同时减去，然后再同时加上可得到＝．

故此变形依据为等式的性质．故答案为：等式的性质．【变式3】★回答下列问题：（1）从能不能得到，为什么？（2）从，能不能得到，为什么？【答案】（1）∵

∴

不能得到，根据等式的性质，两边同时除以，即，解得：

答：能够得到。训练二、解一元一次方程1、移项、合并同类项【变式1】★将方程2x﹣3＝1＋x移项，得()A．2x＋x＝1﹣3B．2x＋x＝1＋3C．2x﹣x＝1﹣3D．2x﹣x＝1＋3【解析】将方程2x﹣3＝1＋x移项，得2x﹣x＝1＋3，故选D．【变式2】★若代数式1﹣8x与9x﹣4的值互为相反数，则x＝．【解析】根据题意，得1﹣8x＋9x﹣4＝0，移项，合并同类项，得x＝3．【变式3】★解方程：2﹣3x＝5x﹣14【解析】移项，得﹣3x﹣5x＝﹣14﹣2，合并同类项，得﹣8x＝﹣16，化系数为1，得x＝2．【变式4】★已知代数式4x﹣5和3x﹣6的值相等，求x的值．【解析】根据题意，得4x﹣5＝3x﹣6，移项、合并同类项，得x＝﹣1，则x的值为﹣1．【变式5】★解方程：3x－3＝2x－3。小李同学是这样解的：方程两边都加3得3x＝2x，方程两边都除以x得3＝2，所以此方程无解。小李同学的解题过程是否正确？如果正确，指出每一步的理由；如果不正确，指出错在哪里，并改正。【解析】正确步骤是：方程两边都加3得3x＝2x，方程两边都减去2x得x＝0。2、去括号、去分母【变式6】★将(3x＋2)－2(2x－1)去括号正确的是()A3x＋2－2x＋1B3x＋2－4x＋1C3x＋2－4x－2D3x＋2－4x＋2【答案】D【解析】【变式7】★已知，则等于（）．B．C．D．【答案】D【解析】由原式得：，将“”看作整体，合并化简即可．【变式8】★已知关于的方程和方程有相同的解，则出该方程的解为．【答案】【解析】分别解得这两个关于x的方程的解为，，由它们相等得，代入其中一解可得答案．【变式9】★解方程－＝1时，去分母得．【答案】3x－(2x＋1)＝6【解析】方程两边同时乘以6，得3x－(2x＋1)＝6．【例10】★以下是圆圆解方程－＝1的解答过程．解：去分母，得3(x＋1)－2(x－3)＝1．去括号，得3x＋1－2x＋3＝1．移项，合并同类项，得x＝－3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【解析】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得3(x＋1)－2(x－3)＝6．去括号，得3x＋3－2x＋6＝6．移项、合并同类项，得x＝－3．【变式11】★若关于的方程的解为正整数，求整数的值．【解答】方程整理得：，解得：，由方程的解为正整数，即为正整数，得到整数，3，4，7，故答案为：2，3，4，7【变式12】★解下列方程:（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原方程可化为：解得：（2）原方程可化为：移项，合并得：解得：（3）原方程可化为：去分母，化简得：解得：【变式13】★★解关于的方程：；（2）（3）【解析】(1)原方程可化为：。当时，方程有唯一解：；当，时，方程无解；当，时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．(2)当，即时，方程有唯一的解：．当，即时，原方程变为．原方程的解为任意有理数，即有无穷多解．(3)当时，原方程有唯一解：；当时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；当时，原方程无解．【变式14】★★解方程|x-2|-1＝0．【解析】原方程可化为：|x-2|=1，当x-2≥0，即x≥2时，原方程可化为x-2＝1，解得x＝3；当x-2＜0，即x＜2时，原方程变形为-(x-2)=1，解得x＝1．所以原方程的解为x＝3或x＝1．【变式15】★★若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数k的值.【解析】∵原方程有解，∴，原方程的解为：为正整数，∴应为6的正约数，即可为：1，2，3，6，∴为：5，6，7，10答：自然数k的值为：5，6，7，10.【亮点检测】1★老师在黑板上写了一个等式：（a+3）x＝4（a+3）．王聪说x＝4，刘敏说不一定，当x≠4时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由．【解析】他俩的说法正确，当a+3＝0时，x为任意实数，当a+3≠0时，x＝4．2★方程x－3=5的解为()A．x=2B．x=－2C．x=8D．x=－8【解析】方程移项，得x=5＋3，合并同类项，得x=8，故选C．3★小明同学在解方程5x﹣1＝mx＋3时，把数字m看错了，解得x＝﹣，则该同学把m看成了()A．3B．﹣C．8D．﹣8【解析】把x＝﹣代入方程，得﹣﹣1＝﹣m＋3，解得m＝8，故选C．4★若m＋1与﹣2互为倒数，则m的值为．【解析】根据题意，得(m＋1)×(﹣2)＝1，解得m＝﹣．5★如果正整数a的最大因数和最小倍数的和是24，那么a＝．【解析】∵a的最大因数和最小倍数相等，∴a＝24÷2＝12．6★解方程：．【解析】解法1：(层层去括号)去小括号．去中括号．去大括号．移项、合并同类项，得，系数化为1，得x＝30．解法2：(层层去分母)移项，得．两边都乘2，得．移项，得．两边都乘2，得．移项，得，两边都乘2，得．移项，得，系数化为1，得x＝30．7★已知y1＝6－x，y2＝2＋7x，解答下列问题：(1)当y1＝2y2时，求x的值；(2)当x取何值时，y1比y2小－3．【解析】(1)由题意，得6－x＝2(2＋7x)．∴x＝．(2)由题意，得2＋7x－(6－x)＝－3，∴x＝．8★解方程．【解析】原方程可化为：．去分母，得：3(4y+9)-5(3+2y)＝15．去括号，得：12y+27-15-10y＝15．移项、合并同类项，得：2y＝3．系数化为1，得：．9★解方程－＝的步骤如下，错误的是()①2(3x－2)－3(x－2)＝2(8－2x)； ②6x－4－3x－6＝16－4x；③3x＋4x＝16＋10； ④x＝．A．①B．②C．③D．④【解析】①去分母，得2(3x－2)－3(x－2)＝2(