平面向量中最值、范围问题

..

. (较.

b

b

b

b

b

b

r r r r r r

r

b

b

b

的数量积(或内积),记作

b

r

r r r

r

b

b

r

r r

b

b

；(2)

a＝(xybxy

abxxyy

EEBEDuuur

uuurEB,ED

EBED

EB

,

,

uuuv

uuuv

,

,

,

b

b

b

b

b,

b

,

b

bb

b

r r r

(

,

)

,则

r

r

r rr

r

r

r

b

b

r

r

r rr

r

r

r

b

b

,R

b

r rr

r

r r r rr r

,b,

b

b

b

,

b,

b

b

r r r r

b

r r

∵圆心到

的距离为

r r

的最大值为

uuuv uuuv

uuuv

uuuvuuuv uuuv uuuvuuuv

uuuvuuuv

b

b

b

C

uuuv

uuuv

uuuv，C

uuuv uuuv uuuv

uuuv

b

b

uuuv uuuv uuuv uuuv

uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

r

rr

r

b

br

r

,

b

,

,b

r r

,

,

在

uuur uuur

r rab ,3

rr

r

r

r

r

r

r

r

r

ab

f

x

a

4a

b

0r

r

r

a 4

a

b

cos 0r

r

r

3

a ,2

b

ab

ab

a

b

aaab

5

6

a

b

a

b 0

a

b

a

b 0 3 10 0

cos 1

ABC

uuur

uuur

AB

BC

uuur uuur uuur

上运动,且

xAB yAC

R

uuuruuur

uuur

uuur

uuur uuur uuur uuur

uuuruuur

uuur

,

,

,

P

P

,

uuur

uuur

uuur

,

,

,

,

,

uuuv

uuuv uuuv uuuv

uuuv

uuuvuuuv

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

,

uuuv

,

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

,

,

P

,

uuuv

uuuv

,,

C

,

,uuuv

uuuv

,

,

,

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

,

,

,

,

b

uuur

，C

uuuvuuuv

·

,

,

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

,

,

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv

uuuvuuuv

uuuv uuuv

uuuv

uuur

uuur

uuuur uuur uuuur uuuur

MA

MO

MO

MO

d

,

r

uuuruuur

gr

OM

·

uuuv

uuuv uuuv

uuuv uuuv

uuuvuuuv

uuuv uuuv

uuuv

,

uuuv uuuv

M

uuur

uuur

[ uuur

uuur [uuu

,,

,uuur uuur uuur

uuur

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur uuuur uuuur

,

,M

uuuur

:设

r

r

r

r

r

r

2),(

C

(

uuuur

M

PC

CP

PM

B

C

E

ruuuur uuur

uuu uuurr

M

N

(

)

,MN

AN

//MN

mn

mb

)(

)

)

)

r rmn

mb

b

m

mn

mb

b

m

mnmnm

mnmn

//

uuur uuur

,

,

),

),

uuur uuur uuur uuur

bb

b),

b)

b)

uuur uuur uuur uuur

b

r

r

r

ruuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuu

)

)

中,

PBC

uuuv uuuv uuuv uuuv

的正三角形,

,设

）,则

uuuv uuuv uuuv

uuuv

, ,

,

,uuuv

uuuv

,uuuv

, ,

,

{

{

=

，

，

,b

b

b

b

,

b

,

b

b

b

b

b

b

b

b

uuuv

b

b

uuuv

uuuvb

b

b

b

,

,

b

,

,

b

M

,

,N,

P

M,P,N

MN

MN

,uuuuv=

uuuv

uuu

,uuuuv=

uuuv

uuu

uuuv

b

uuuuv uuuv uuuuv

uuuv

uuuv

uuuv

, ,

），（）C

,

Mb）N , ,uuuuv uuuv=

AM

AN=

AM

AN=

uuuv

uuuv

uuuv

uuuv uuuv

C

,

,

b

都是正实数,若

b

b

b

,

r r

中,

uur

uur

uur

uuruur

uur

b

uur

uur

b