(整理)9广义积分习题课

第九章广义积分习题课一、主要容1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。2、敛散性判别法Cauchy收敛准贝I」、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原贝和程序包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原贝，定义既是定性的一一用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的一一用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序：1、比较法。2、Cauchy法。

3、Abe1判别法和Dirichlet判别法。4、临界情况的定义法。5、发散性判别的Cauchy收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。例1判断广义积分I十d的敛散性。0Xp+Xq分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记IdX解、记IdX10XP+XqdXXp+Xq对11，先讨论简单情形。p=q时，p<1时收敛，P>1时发散。不妨设p<q不妨设p<q，dXXp(1+Xq-p)故，p<0时为常义积分,此时收敛。p>0时，由于limxp=1xtO+xp(1+Xq-P)因此，/与p-积分同时敛散，即P<1时收敛，P>1时发散。因此，对I，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。131上述结论也可以总结为：min{p,q}vl时收敛，min{p,q}1时发散。对12，类似可以讨论，即P二q时，P>1时收敛，P<1时发散。P丰q，不妨设P<q，贝打=J+c°竺，由于21xq(1+xP-q)limxqlimxqXT+81xq(1+xP-q)因此，I与P-积分同时敛散，即q>1时收敛，q<1时发散。2此时，广义积分I的敛散性完全由分母中的高阶项决定。2上述结论也可以总结为：max{p,q}>1时收敛，max{p,q}£1时发散。综上：P<1<9或§<1<P时收敛，其余发散。或者为:min{p,q}<1<max{p,q}时收敛，其余时发散。例2讨论I=j+sx_dx的绝对收敛和条件收敛性，其中m>0。2xm分析积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性一一用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性一一用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。解：先分析绝对收敛性，由于

TOC\o"1-5"\h\zsin(x+―)]I匚1<—，xmxm故，m>l时，广义积分绝对收敛。当0<m<1时，利用配因子法验证积分片段的有界性,x2IJAsin(x+—)dx1=1JA(1-丄+丄)sin(x+—)dxx22x2x2x2x<IJAsin(x+—)d(x+—)+1JA—dx<M2xx2x2由Dirichlet判别法，广义积分收敛。由于sin(x+—)2sinsin(x+—)2sin2(x+—)1一cos2(x+—)2I匚I>匚>匚，xmxmcos2(x+—)]而类似可以证明J+®匚dx收敛，J+®12xm2发散，故0<m<1时，广义积分条件收敛。xmxmIsin(x+—)Idx发散，因而，NLdxxm2xm注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。注、不能将积分分成如下两部分sin(x+1)TOC\o"1-5"\h\zrsiiiix十—丿r•araI=J+®匚dx=J*®cos1dx+J+sC°s^sin1dx，2xm2xmx2xmx通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时才成立上述的分解结论。例3讨论I=严ln(1+x)dx的敛散性。0xm分析从结构看，应该分段处理，重点是讨论In(1+x)的当xt0+和xt+®时的性质，进行阶的比较。

解、记I=J>(1+x)dx,I=卜ln(1+x)dxoTOC\o"1-5"\h\z10xm21xm对I，由于1’ln(1+x)1limXm-1=1,XTO+xm故，当m-1<1，即m<2时，I收敛；当m>2时，I发散。11对12，利用已知的结论：Ve>0,limln(1+x)=0，贝I」2xt+8xelimxp吐卫二心0,limxp吐卫二心0,XT+8xmp>m当m>1时，取p使得1<p<m，贝I」TOC\o"1-5"\h\zln(1+x)0limxp=0xT+gXm故I收敛。2当m<1时，取p=1，贝Qln(1+x)limx=+gxT+gxm故I发散。2因而，当1<m<2因而，当1<m<2时,I收敛；m<1或m>2时I发散。例4讨论I=°+?0esinxsin2xdx的敛散性，其中1>0xl分析分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abe1判别法或Dirichlet判别法。解：记I=J1esinxsin2xdx，I=卜esinxsin2xdx10x九21x九对I］，当九-1<1,i.e九<2时，

limxx-1esinxsin2x=2e—0+xx故，I收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。1当九一1>1,i.eX>2时，esinxsin2xlimx九t-xtO+x入故，I发散。1对I，由于2esinxsin2xx九故当九〉1时，I（绝对）收敛。2当0<九<1时，由于，对任意A>1,JAesinxsin2xdx=2卜nAtetdt<21sin1且当xT+8时，丄单调递减趋于0,由Dirichlet判别法，i收敛。x九2又，此时esinxsin2xesinxsin2xx九>e一1|沁|>e-1x入sin22xe-1x九21cos4xx九x九esinxsin2xx九dx<—发散。x九且J+^Lesinxsin2xx九dx<—发散。x九1x九1x九1因而，当0<九<1时，12条件收敛。综上，1<九<2时，I绝对收敛;0<X<1时,I条件收敛；X>2时，I发散。例5讨论I=J+Sxpsinxqdx的敛散性，其中P、q非负。0分析从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理

处理手段是变量代换。处理技的是因子sinxq，因此，处理思想就是将其简化,处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。解、先考虑最简情形：q=0时的情形。I1(p)、I2(p)分别是无界函数记I(p)=J1xpI1(p)、I2(p)分别是无界函数1021和无穷限广义积分，因此，p>-1时，I(p)收敛；p<-1时，I(p)发散;11而对I，p<-1时I(p)时收敛，p>-1时I(p)发散，故q=0时，I发散。222当q当q丰0时，令t=xq，a=，则q1p1p+1-q"I=J+stqsintdt=|q|01tasintdt+J+stasintdt01tU+1对I=『tasintdt，由于lim上竺1=1，故I与J*11a+tU+110tT0+ta+110对I二J+s2sintdt，由于加sint<t对I二J+s2sintdt，由于加sint<t«，故，a<-1时，i绝对收敛；当2-+^0tU1-1<«<0时，由Dirichlet判别法，I(条件)收敛。2当«>0时，利用周期函数的积分性质，则tasintdt>卜sintdt=20因而，由Cauchy收敛准则，I2发散。综上：q=0时，I发散；q丰0时，-1<<0时，I绝对收敛;q0<£巴<1时，i条件收敛；1<圧1时，i发散。qq注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要

矛盾。注、也可以用配因子法处理。下述的例子用阶的分析法。例6讨论I=卜0(1-竺例6讨论I=卜0(1-竺)-3-Idx的敛散性。x分析首先将积分分段处理，记I="10(1-sinx、丄_)-3-1xdx=卜21sin=卜21(1-竺)-3-1dx。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理x的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。对11，分析奇点附近被积函数的阶。由于sinx=xsinx=x-乂+o(x3)3!sinxx2=1—-x3!+o(x2)，sinx丄2因而，⑴丁八：x3，从而，判断出被积函数在奇点处的奇性。sinx对1sinx对12，对被积函数作阶的分析，由于X充分大时<<1，因此，利用函数展开理论得(1+x)a=1+ax+0(x2),xw(-1,1)，由此可以将复杂的函数结构简单化，从而得到相应广义积分的敛散性。解、记I=f1(1-sinx)-3-1dx，I=卜(1-sinx)-3-1dx。10x21x对I1，利用L'Hosptial法则2222sinx因而，limx3(1-因而，limx3(1-x®0+lim=x®0+x216'sinx、1/I、1丁)3=(6)3'故'11收敛。“sinx、丄(1-)“sinx、丄(1-)-3x其中0（沁）＜/、x2C,x2＋¥因而°1sin2xsin（-）dx收敛，又由于严dx条件x21x对I由于忙<1,(x>1)，则2x1sinxsin2x-1二3=+r)收敛，故I条件收敛。2因此，I条件收敛。注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个有效的方法。(a>0)o(a>0)o例7I-J+-丄dx1xPlncos—x分析：这是无穷限广义积分，分析分析：这是无穷限广义积分，分析xT+8时被积函数的性质，此时sin丄T0，故xaln(1+sin丄)〜sin1

xa又cos1-1--^―+o(丄)，故x2x2x3lncos1-ln(1-x2x2x3x2ln(l+sin——)所以斗〜一丄，证明过程就是验证上述函数关系。1Xa+B-2xPIneos—x解、由于limxa+limxa+P-2-XT+8ln(1+sin丄)XaxP丨Ineos11ln(1+sin丄)=limxa-1/xT+w//xa1-x2Ineos1X=-lim1=-lim-=2xT+8x2lneos—tT0lneostx因而，I与广义积分严一1dx同时敛散。故a+p>3时，I收敛；a+p<3时,1xa+P-2I发散。下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。例8证明：设f(x)、g(x)在［a,+w)上连续，g(x)单调且C>g(x)>C>0，21则卜f(x)dx与卜f(x)g(x)dx同时敛散。aa证明：若卜f(x)dx收敛，由Abel判别法，卜f(x)g(x)dx收敛。aa若卜f(x)g(x)dx收敛，则adxg(x)J+sf(x)dx=J+“f(x)gdxg(x)aa仍有丄单调且丄＞丄＞仍有丄单调且丄＞丄＞丄＞0,

g(x)Cg(x)C12由Abel判别法，则J+wf(x)dx收敛。a注、本命题结论非常简单，但命题中体现出来的思想非常有用。即在讨论广义积分的敛散性时，分析被积函数的结构，抓住主要因素，解决主要矛盾，略去次要因素，即将一个复杂的广义积分转化为较为简单的广义积分讨论其敛散性。下面，通过一个例子，说明例8的作用。例9讨论I=尸xpsinxdx(q>0)的敛散性。11+Xq解、由于XpsinX1=Xp-qsmX,1+Xq1+X-q由于1非负单调且1>1>1，因此，利用例8的结论，其与严皿dX1+X-q1+X-q21Xq-p同时敛散。因而，q-p>1时绝对收敛；0<q-p<1时条件收敛；q-p<0时发散。下面一个结论与例8具有类似的思想。例10设函数f(x)、g(x)、h(x)定义在［a,+?)上且对任意有限的实数A>a，它们都在［a,A］上可积，证明：若f(X)#g(X)h(X)且广义积分、、J+8f(X)dX、°+?h(X)dX都收敛，则°+?g(X)dX也收敛。aaa分析题目类似极限的两边夹定理，但是条件较弱，证明思路是通过条件寻找它们之间的关系，利用性质或定义或比较法进行判断。证明：由所给的关系式，则0?g(X)f(X)?h(X)f(X)，由条件和广义积分性质，则“+?(h(X)-f(X))dX收敛，由比较判别法，则aO+?(g(x)-f(X))dX收敛，由于g(X)=g(X)-f(X)+f(x)，再次利

用积分性质，则°+?g(x)dx收敛。a注、例10结论表明，对待考察的广义积分的被积函数进行适当的估计，去掉一些次要因素的影响，由此得到收敛性，体现了研究广义积分收敛性的又一思想。注、尽管例8和例10体现的处理问题的思想类似，但是，由于例8是一个等价的转化，得到的是同敛散的结论，因此，例8的结论比例10要好。面的命题用于处理另一类广义积分的敛散性。例11设f(x)>0且单调递减，证明卜f(x)dx与卜f(x)sin2xdx同时敛散。aa证明：因为f(x)>0且单调递减，故limf(x)存在。xT+s若limf(x)=0,则由Dirichlet判别法，卜f(x)cos2xdx收敛。由于a2Ja2J+8f(x)sin2xdx=f(x)dx—f(x)cos2xdxaaa故，卜f(x)dx与卜f(x)sin2xdx同时敛散。aa若limf(x)=b>0,此时卜f(x)dx发散。由极限定义，存在A>a，使得xT+sax>A时，f(x)>->02故，取n充分大，使得A=2〃兀+>A=2〃兀+>A，则24JA"f(x)sin2xdx>1b，a，8故,j+sf(x)sin2xdx发散。因而，此时二者同时发散。a下面的例子用上述结论很容易处理。例12讨论I=卜血xdx的敛散性。2xp+sinx

解、由于sinxsinxsin2xxp+sinxxpxp(xp+sinx)对IJ+s^^tdx,已知P>0时收敛，p<0时发散。为讨论12xpI=卜8业dx的敛散性，注意到22xp(xp+sinx)sin2x2x2psin2x2x2psin2x

xp(xp+1)sin2x

xp(xp+sinx)sin2x

xp(xp—1)2sin2xx2p故,I二卜dx与严竺dx同时敛散，由例11,又与卜丄/x同22xp(xp+sinx)2x2p2x2p时敛散'即p>2时收敛，p<2时发散。故，I=卜”空匕dx当p>1时收敛，p<1时发散。2xp+sinx22注、这类题目的讨论技巧性高，得到的结论也深刻。事实上，和「8呱x2xp作对比可以发现，分母上增加因子sinx，深刻改变了其敛散性，使得收敛围变小。这也反映了广义积分敛散性的复杂性。注、例12也表明了因子sinx的复杂作用，当它处在分子上时，可以充分利用其本身有界和积分片段的有界性得到一些敛散性结论；但是，当这个因子处在分母上时，其变号且非单调的性质起到了很大的作用，从而影响到了广义积分的敛散性。也可以通过与例9的结论对比发现这些差异，例9中，分母为1+xq〜xq，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx起到了影响敛散性的作用。例13若J+8f(x)dx收敛，f(x)在［a,+8)单调，则f(x)=o(丄)(xT+8)，ax

即limxf(x)=0。x??分析要证明的结论表明，要研究的是被积函数的极限行为(xT+2),即要控制当X充分大时的Xf(X)，而从广义积分的收敛性的条件能产生与被积函数的无穷远处的行为有关的结论就是Cauchy收敛准则，因此，建立二者的桥梁为Cauchy收敛准则。因此，证明的关键就是如何从Cauchy片段6Af⑴力中分离出xf(X)，因此，必须通过选择与x有关的?达到目的，特别注意f(X)可以由被积函数产生，即从积分号下把被积函数分离出来,而系数显然要通过积分限产生。证明：设f(x)单调递减，由J+sf(x)dx收敛，则f(x)>0。由Cauchyy收敛a准则，存在充分大A>0，使得对任意A>A>A，成立02106A2f(t)dt<e，A1对任意x>2A，取A=x,A=-，贝Q02126xf(t)dt<e，x2利用函数的单调性，则，xf(x)<2&，故，limxf(x)=0。xT+s类例：若J1f(x)dx收敛，limf(x)=+s，则limxf(x)=0。0xT0=xT+s注、此结论比讲义中的结论更强。注、作为最简单的广义积分p注、作为最简单的广义积分p－积分，揭示了广义积分收敛的本质，aa即xT+8时，被积函数趋于0的速度高于一阶时，广义积分收敛。本题说明:在一定的条件下，上述条件还是必要的。步还有:若f+8f(x)dx收敛，xf(x)单调递减，则alimxf(x)lnx=0。事实上，对充分大的x，由Cauchy收敛准则，xT+8=1xf=1xf(x)lnxo2£>fx_f(t)dt=fx_tf(t)1dt-x-xt结论说明，此时f(x)趋于0的速度比趋于0的速度还大。xlnx注、成立更一般的结论：设f(x)在©I】单调，且°1xPf(x)dx收敛,0则limxp+1f(x)=0ox®0+例14设若f(x)在[a,+8)上有连续导数且f(x)单调递减趋于0证明卜。f(x)dx收敛的充要条件是卜xfXx)dx收敛。aa即蝌即蝌Af(x)dx=xf(x)1a-aaAxf&x)dxo从此关系式看，要证明结论关a键是解决极限limxf(x)的存在性。x??证明：必要性。若f+8f(x)dx收敛，则由例13，alimxf(x)=0，xT+8因而，fAxf'(x)dx=xf(x)Ia一fAf(x)dxT一af(a)一卜f(x)dx,

aaaa故，f+8xfr(x)dx收敛。

充分性。由于limf(x)=0，下面利用卜sxf'(x)dx的收敛性研究极限limxf(x)的存在性，由于xf(x)=x蝌I?f尊)dt=x?(-f(t))dt=??x(-fRt))dtTOC\o"1-5"\h\zxxx<\+st(-f'(t))dt=卜tf'(t)dtxx由J+sxf'(x)dx收敛，则limxf(x)=0。axT+s又，同样成立JAxf(x)dx=xf(x)|A-JAf(x)dx，因而J+sf(x)dx收敛。注、证明过程中，用到了结论：若°注、证明过程中，用到了结论：若°+f(x)dx收敛，则lim°+?f(x)dx=0A??A事实上，记°+f(x)dx=1,则lim蝌lim蝌+?f(x)dx=lim[I-Af(x)dx]=0A?斗AA+例15证明：若f(x)在[a,+s)上有连续导数且卜f(x)dx、卜f'(x)dx都收aa敛，则limf(x)=0证明：由收敛性定义，对任意A>a，J+sf(x)dx=limJAf(x)dx=lim[f(A)-f(a)]aAT+saAT+s因而，limf(x)存在，又卜f(x)dx收敛，则必有limf(x)=0。AT+saxT+s注、也可以用Cauchy收敛准则证明。但本题采用定义证明更简单，因此既要掌握处理某一类型问题的一般原则，又要学会灵活应用。注、此例还说明，对数项级数成立的收敛性的必要条件对广义积分并不成立，必须增加一定的条件才能保证其成立。例16证明：若非负函数f(x)在[1,+Q单调减少，则卜f(x)dx与数项级1数艺f(n)同时敛散。n=1分析本题要求在两种不同形式间进行比较，处理这类问题的思想方法是形式统一法，将积分转化为和式即J+Sf(x)dx=n+1f(x)dx，由此看出，命题1nn=1的证明实际就是比较f(n)与Jn+1f(x)dx的关系。n证明：由于f(x)>0且f(x)在[1,+s)单调减少，故f(n)>f(x)>f(n+1),xe[n,n+1]因而f(n)=Jn+1f(n)dx>Jn+1f(x)dx>Jn+1f(n+1)dx=f(n+1)nnn故，工f(k)>Jn+1f(x)dx>艺f(k)，k=11k=2因而，卜f(x)dx与数项级数艺f(n)同时敛散。1n=1例17设f(x)在任意有限区间[a,A]上可积且limf(x)=0xT+wlimJnf(x)dx=A，证明：J+“f(x)dx=A。nT+waa分析从条件和结论很发现证明的思路。证明：由limf(x)=0和limJnf(x)dx二A，则对任意e>0，存在N>0,xT+wnT+aa使得当x>N和n>N时，If(x)l<£,Jnf(x)dx-A<£a对任意M>N+1，存在n>N，使得n?Mn+1，故JMf(x)dx-A=JMf(x)dx-Jnf(x)dx+Jnf(x)dx-Aaaaa<IJMf(x)dxI+Jnf(x)dx-Ana<(M-n)e+e<2e故，J+8f(x)dx=A。a下面给出几个广义积分的计算题目。关于广义积分的计算，基本思路和方法是利用N-L公式、分部积分、极限运算。技巧是选择合适的变量代换。例18(Frullani积分)证明：若f(x)eC[0,+w)且对任意A>0，广义积分J+8竺dx收敛，则I=J+8f(ax)-f(bx)dx=f(0)lnbAx0xa分析解题思想是将待计算的未知的积分转化为已知的积分，手段是利用变量代换。事实上，已知的是积分形式J+8竺dx，待计算的量是形式Ax+?f(ax)-f(bx)°dx，因此，可以利用极限将两种形式，也将已知和未0x知的量联系起来。证明：对任意的e>0，则J+8凹dxt=J+8他t；

exaet同样，J+8fbx)dx'=xJ+8型dt。因而，exbet

I=lim卜f@)-f(bx)dx=lim卜他xET0+&xETO+a£x利用积分中值定理，I=limf(g)卜ET0+a£Xa例19证明：卜f(ax+-)dx=1卜f(、；t2+4ab)dt,0xaa其中a>0,b>0，积分有意义。分析从证明的结论中可以发现所应该采取的方法和手段，即应该是选择b.一个合适的变换，使得ax+-=<t2+4ab，从这一关系式中可以发现，变换不x唯一。证明：令ax-—=t，则ax+—=Jt2+4abxxI11t+yt2+4a—i且x=(t+\t2+4a—),dx=dt，故2a2a12+4a—卜f(ax+-)dx=丄卜fG.12+4a—)巴"2+4a—dt0x2a—g=丄［卜+卜］fdo—)巴12+4a—dt,

2a-g012+4a—又fot+t2+4a—+gt2+4a——tJ0f(、：t2+4a—)dt=J+f(*12+4a—)dt，—g12+4a—012+4a—由此可证明命题。b注、也可以取一-xaxb注、也可以取一-xax=t，此时x=12a(t+12+4a—)例20计算I=J+gJ^dx。01+x2分析这类题目是无法直接计算出来的，常用的技巧是分段，选择适当的0000分析与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。证明：设f(x)在分析与例16类似，将积分转化为有限和，进而考察相互的关系。证明：设f(x)在(0,1］单调递增，则Pnk=1nf(x)dx—f(-)—f

nk+lf(x)dx,n山n变量代换，在两个积分段之间寻找连续。解、由于卜J^xL—f1型二dx，而二者都收敛，故,11+x2o1+x2I=》卫乂dx+卜_^dx=0。o1+x211+x2+adx(a>0)与a+adx(a>0)与a无关。0(1+x2)(1+xa)证明：由于f+a1dx仝f1dt1(1+x2)(1+xa)o(1+t2)(1+ta)因而I=f11dx+卜1dx=f11—dto(1+x2)(1+xa)1(1+x2)(1+xa)o1+t2故其与a无关。面讨论广义积分和无穷和的极限的关系。例22设f(x)在(0,1］单调，x=0为其奇点，广义积分f1f(x)dx收敛,o证明：nT+an’、nk=1f1f(x)nT+an’、nk=10因而，利用f1f(x)dx的收敛性，则k=1f(x)dx—)=乞-f(k)+-f(1)nnnnnk=1k=1斗/(x)dx+1f(1)=j1f(x)dx+1f(1)，nkk=1n由此，命题得证。注、由此可得lim=limeln予=limennt+snt+snt+s1”klnj1lnxdxnnlnxdx-1k=101即：n!~e-nnn。例23设对任意A>O,f(x)eR[0,A]且limf(x)=a，证明:xt+slimtj+se-txf(x)dx=a。tt00分析题目中所给的定量条件只有limf(x)=a，为了利用这个条件，仍然

xt+s可以利用形式统一方法对结论进行变形，从中可以看到要证明结论等价于limtj+se-tx(f(x)-a)dx=0,ttO0为利用条件，只需分段处理即可，即分别研究tjAe-tx(f(x)-a)dx、0tj+se-tx(f(x)-a)dx=Aj+se-ytA(f(丰)-a)dt的极限行为。证明：因为limf(x)=a，故存在M>0,使得x>M时，丨f(x)-al<1;又xt+sf(x)eR[0,M+1]，因而,f(x)有界C。注意到tj+se-txdx=1，故只需证明limtj+se-tx|f(x)-a|dx=0。0tt00由于对任意£>0，存在A>0,使得x>A时If(x)-a1<£，故e-e-tx|f(x)-a|dxtj+se-tx|f(x)-a|dx=0tjAe-tx|f(x)-a|dx＋tj+s(C+a)tfAe-txdx+eJ+8te一txdx(C+a)tfAe-txdx+e0A<(C+a)(1-e-tA)+e由于1-e-tAt0,(tt0)，故，存在6>0,90<t<8时，11一e-tAl<，因而C+atf+se-txlf(x)-aldx<2e0故，limtf+se-tx|f(x)-aldx=0。tt00面是一些判断题。22、判断下列命题是否成立。1)、设f(x)在任意区间［a,A］上可积，若对任意的e>0、B>0，存在A,则f则f+sf(x)dx收敛。a