学案直线与圆锥曲线的位置关系

4/4直线与圆锥曲线的位置关系【学习目标】通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养．【学习重难点】1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．（重点）2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．（重点、难点）【学习过程】一、新知初探1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）平面上到定点A（1,0）和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．（）（2）一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．（）（3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．（）2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于（）A．eq\r(15) B．eq\r(13)C．2eq\r(15) D．2eq\r(13)3．直线y＝x＋1与椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1的位置关系为_________．4．直线y＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2)))与双曲线eq\f(x2,9)－y2＝1交点个数为_________个．5．过椭圆eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,12)＝1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝_________．三、合作探究类型1：直线与圆锥曲线的位置关系【例1】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的位置关系．类型2：弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2eq\r(2)，OC的斜率为eq\f(\r(2),2)，求椭圆的方程．类型3：圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的焦距为3eq\r(2)，其中一条渐近线的方程为x－eq\r(2)y＝0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）若点P为椭圆E的左顶点，eq\o(PG,\s\up14(→))＝2eq\o(GO,\s\up14(→))，求|eq\o(GA,\s\up14(→))|2＋|eq\o(GB,\s\up14(→))|2的取值范围．【学习小结】1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：（1）一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．【精炼反馈】1．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为（）A．10 B．12C．16 D．182．在抛物线y2＝8x中，以（1，－1）为中点的弦所在直线的方程是（）A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝03．已知双曲线C：x2－eq\f(y2,4)＝1，过点P（1,2）的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（）A．1条 B．2条C．3条 D．4条4．若直线x－y