函数模型及其应用课件

函数模型及其应用[学习目标]

1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)1谢谢观赏2019-8-23函数模型及其应用1谢谢观赏2019-8-23一、三种函数模型的性质变陡变缓2谢谢观赏2019-8-23一、三种函数模型的性质变陡变缓2谢谢观赏2019-8-23二、三种函数的增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是_________，但__________不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会_________．3．存在一个x0，使得当x>x0时，有___________．增函数增长速度越来越慢logax<xn<ax3谢谢观赏2019-8-23二、三种函数的增长速度的比较增函数增长速度越来越慢logax1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．(

)(2)当x＞100时，函数y＝10x－1比y＝lgx增长的速度快．(

)(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)√4谢谢观赏2019-8-231．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)4谢谢观赏2012．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(

)A．y＝1

B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3x【解析】结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.【答案】

C5谢谢观赏2019-8-232．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()5谢谢观3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(

)A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】

D6谢谢观赏2019-8-233．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期4．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．【解析】

∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3，∴当x增加1个单位时，y减少3个单位．【答案】

减少3个单位7谢谢观赏2019-8-234．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中8谢谢观赏2019-8-23预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中8谢谢9谢谢观赏2019-8-239谢谢观赏2019-8-23则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(

)A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2【解析】

(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2015·2x增长速度最快．10谢谢观赏2019-8-23则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】

(1)D

(2)C11谢谢观赏2019-8-23(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．12谢谢观赏2019-8-231．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？13谢谢观赏2019-8-23某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人【解】

借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．14谢谢观赏2019-8-23【解】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．15谢谢观赏2019-8-231．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；15谢某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：16谢谢观赏2019-8-23某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为2(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解】

(1)设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为y1元，方案二的利润为y2元，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，17谢谢观赏2019-8-23(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．18谢谢观赏2019-8-23∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．18谢谢观赏2019-函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图3­2­1所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.19谢谢观赏2019-8-23函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图3­2­1所示(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2015)，g(2015)的大小．【思路探究】

根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．【解】

(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2，2015＞x2.20谢谢观赏2019-8-23(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；20谢谢观赏2从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2015)＞g(2015)．又g(2015)＞g(6)，∴f(2015)＞g(2015)＞g(6)＞f(6)．21谢谢观赏2019-8-23从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，2根据图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数．22谢谢观赏2019-8-23根据图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a、b的值，并说明理由．【解】

a＝1，b＝9.理由如下：令φ(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x3，则x1，x2为函数φ(x)的零点．由于φ(x)在[1，13]上为连续函数，φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，所以函数φ(x)＝f(x)－g(x)的两个零点x1∈[1，2]，x2∈[9，10]．因此，a＝1，b＝9.23谢谢观赏2019-8-23本例中若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b1．常见的函数模型及增长特点．(1)直线y＝kx＋b(k＞0)模型，其增长特点是直线上升；(2)对数函数y＝logax(a＞1)模型，其增长缓慢；(3)指数函数y＝ax(a＞1)模型，其增长迅速．2．函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．3．要注意化归思想和数形结合思想的运用．24谢谢观赏2019-8-231．常见的函数模型及增长特点．3．要注意化归思想和数形结合思函数模型及其应用[学习目标]

1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)25谢谢观赏2019-8-23函数模型及其应用1谢谢观赏2019-8-23一、三种函数模型的性质变陡变缓26谢谢观赏2019-8-23一、三种函数模型的性质变陡变缓2谢谢观赏2019-8-23二、三种函数的增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是_________，但__________不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会_________．3．存在一个x0，使得当x>x0时，有___________．增函数增长速度越来越慢logax<xn<ax27谢谢观赏2019-8-23二、三种函数的增长速度的比较增函数增长速度越来越慢logax1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3比y＝2x增长的速度更快些．(

)(2)当x＞100时，函数y＝10x－1比y＝lgx增长的速度快．(

)(3)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，称为指数型的函数模型，也常称为“爆炸型”函数．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)√28谢谢观赏2019-8-231．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)4谢谢观赏2012．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(

)A．y＝1

B．y＝xC．y＝3x D．y＝log3x【解析】结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.【答案】

C29谢谢观赏2019-8-232．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()5谢谢观3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用(

)A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D选项对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】

D30谢谢观赏2019-8-233．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期4．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．【解析】

∵[1－3(x＋1)]－(1－3x)＝－3，∴当x增加1个单位时，y减少3个单位．【答案】

减少3个单位31谢谢观赏2019-8-234．已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中32谢谢观赏2019-8-23预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中8谢谢33谢谢观赏2019-8-239谢谢观赏2019-8-23则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为(

)A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2【解析】

(1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝2015·2x增长速度最快．34谢谢观赏2019-8-23则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.【答案】

(1)D

(2)C35谢谢观赏2019-8-23(2)通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．36谢谢观赏2019-8-231．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？37谢谢观赏2019-8-23某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人【解】

借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．38谢谢观赏2019-8-23【解】借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．39谢谢观赏2019-8-231．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；15谢某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：40谢谢观赏2019-8-23某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为2(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解】

(1)设工厂每月生产x件产品时，方案一的利润为y1元，方案二的利润为y2元，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，41谢谢观赏2019-8-23(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1＞y2，∴应选择方案一处理污水．42谢谢观赏2019-8-23∵y1＜y2，∴应选择方案二处理污水．18谢谢观赏2019-函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图3­2­1所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.43谢谢观赏2019-8-23函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图3­2­1所示(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2015)，g(2015)的大小．【思路探究】

根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．【解】

(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2，2015＞x2.44谢谢观赏2019-8-23(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；20谢谢观赏2从图象上可以看出，当x