古希腊的三角学史

5/5古希腊的三角学史学夫子三角学像其他数学分支一样,也不是任何一个人或一个民族的工作。关于相似三角形的边之比的那些定理,古埃及人和巴比伦人早就知道并加以利用了。考虑到前希腊时代缺乏角的度量的概念,这样的研究最好是称作“三边学〞,或三边形的度量,而不是“三角学〞——?数学史?要说起几何研究,从古埃及、巴比伦那里就已经开始,不管是研究圆,还是研究其他几何图形,三角形的影子绝对是随处可见。对三角形的研究应该是最为系统才对,不过一开始,对“边〞的概念要比“角〞的概念要深刻得多,所以早起的三角学严格来说更应该称之为“三边学〞,关于三角形的边的很多定理早就被希腊人所熟悉,在研究圆的性质时,涉及到圆心角的定理,都是以弦与弧的关系来建立的,这些结论假设翻译成现代数学语言,那么你会发现其本质上就是如今的三角公式,比方欧几里得在?几何原本?就用几何语言描述了钝角和锐角的余弦法那么；在阿基米德的著作中,也用几何方法描述了等同于“两角和与差的正弦公式〞的定理——折弦定理。然而在亚历山大时代,这种纯粹的几何语言描述的局限性逐渐开始显现,特别是在埃拉托斯特尼与阿里斯塔克斯对天文学的研究中,对“角度与弦长的系统知识〞的需求变得越加迫切。一：三角学的孕育阿里斯塔克斯一个最有名的论断,就是提出日心说,这比哥白尼的学说早1500多年,不过这一学说的著作全部都失传,我们倒是有一篇名为?论太阳和月亮的大小和距离?的文章,这篇文章比提出日心说的时间要早,因为其内容还是假定地球为中心。在这篇文章里,他观察到：当月亮刚好半满的时候,太阳和月亮的视线之间的夹角小于四分之一圆的三十分之一。用现代语言来说,这意味着月亮与太阳的距离之比是sin3°,阿里斯塔克斯利用他那个时代的定理,得出这个值的范围在1/20到1/18之间,于是他断言：地球与太阳的距离之比大于它与月亮的距离18倍,但小于20倍。这个结果跟现代的“约400倍〞相差甚远,但是阿里斯塔克斯的计算方法是无懈可击的,错就错在观察结果上：视线的夹角应该是1/6°而不是3°。不过总比欧多克索斯的9倍和菲迪亚斯〔阿基米德的老爸〕的12倍要好些。不仅如此,阿里斯塔克斯还利用他的观察计算出了太阳、月亮、地球的直径之比,虽然结果与真实相差甚远,但其中涉及到的数学特别是三角知识,绝对具有标志性。仅仅得到大小的比值当然不够,人类还想得到太阳月亮确实切大小,所需要的自然是地球的大小数据,于是,对地球半径的测量就变得必要起来。亚里士多德曾经得到的半径为40000英里,还有一些人的结果是30000英里。一个更为准确、也更为著名的计算,要归功于埃拉托斯特尼。埃拉托斯特尼注意到,夏至那天的正午,太阳的光线直射进塞尼城的一口深井里,而在同一时间、同一经线上的亚历山大城,太阳光的投影外表：太阳距离定点之间的角度是圆的五十分之一,如下列图所示：这意味着∠S'AZ是圆的五十分之一,自然弧长AS也是地球周长的五十分之一,测出塞尼城与亚历山大城之间的距离,就能得到地球的周长,大约为25000英里。阿里斯塔克斯和埃拉托斯特尼的工作已经让大家感觉到,是有必要建立起专门的“角度〞的学科了,而到这里,甚至于关于角度的测量都还没建立起来,有两个人的工作,把三角学向前推进了一步,值得我们提起——希帕克斯和梅涅劳斯。二：三角学的过渡从希波克拉底到埃拉托斯特尼,希腊的数学家一直在研究直线与圆之间的关系,并且把这些关系应用于天文学,但是都没有产生系统的三角学,虽然人们已经注意到圆里面弧与弦的关系。一直到公元前2世纪的下半叶,才由天文学家希帕克斯编制出了第一章三角函数表,他因此获得了“三角学之父〞的资格。其实阿里斯塔克斯就已经注意到,弧长与弦长之比,随着他们所对的圆心角的递减〔从180°到0°〕而递减,趋近于极限值1,我估计也不止他一个人知道,但不管怎么样,始终没有一个人把整个一系列角度所对应的弧弦之比列出一个表格出来。也许是因为天文观测的需要,埃拉托斯特尼完成了这一任务,这就是人类数学史上的第一章三角函数表——实际上就是不同角度的弦长与弧长之比。而梅涅劳斯这个名字,相信大家首先想到的就是那著名的“梅涅劳斯定理〞,这个定理如此美妙,如果考虑进当时连系统的角度制都还没有建立的社会背景,我们就不得不佩服他的工作。他对球面三角和平面几何的研究,在古代天文学中扮演着重要角色,他的著作是第一部三角学的系统作品,里面所涉及到的三角学结论也是开创性的。在希帕克斯和梅涅劳斯的工作下,三角学的系统建立犹如黎明前的最后一丝黑暗,最终在托勒密的怒吼下逐渐清晰可见。三：托勒密和海伦的工作托勒密是一位非常了不起的数学家和天文学家,我们对他的生平信息的了解依然很少,就好似我们对阿基米德和欧几里得的生平也根本上是一无所知一样。提起这个名字,大家印象最深的恐怕要数几何中著名的托勒密定理了。托勒密利用他所制定的法那么,成功建立起一个更为详细的三角函数表,虽然这个表很有可能是参考了希帕克斯的成果。360度的角度制也就是从他这里开始走向正轨,虽然这并非托勒密的创造。在天文学中,他设计出了“均轮〞的设想,以此来解决前辈们思想上的一些矛盾。但是这个思想太过于偏激,以致后来哥白尼看了以后也大呼受不了。他不接受埃拉托斯特尼估算的25000英里的地球周长,而采用波西多尼乌斯的18000英里,并且认为的欧亚世界占据地球圆周的180度以上,而不是130度,这个巨大的错误让后来的航海家们〔包括哥伦布〕误认为,从欧洲向西航行到印度也许并不远。倘假设哥伦布知道托勒密对地球尺寸的低估是多么离谱的话,他可能就不起航了。托勒密不仅热衷于天文学,还对光学感兴趣,在他的?光学?一书中,论述了反射几何学,以及探索早期折射定律的早期努力。海伦这个名字大概也是因那著名的三角形面积公式而知名,这说明海伦在几何学中应该有颇深的造诣。我们从他的作品中得知,海伦的数学研究看来多偏向于实用性,不过正是他,将三角学玩弄得越发成熟。另外,他在科学史上被人铭记的原因,乃是因为他创造了一种原始型号的蒸汽机。但是,不管是你读了这篇文章也罢,还是读过托勒密和海伦的著作也罢,他们的工作实际上并没有对三角形的系统开展做出过多大奉献。实际上三角学也没有大的进展,只不过三角学作为一门学科的界限开始清晰起来而已。到了这里,也就是公元150年前后,希腊数学实际上已经开始停滞,即便三角学有了一些开展,他的地位也仅仅是充当天文学的测量工具而已。希腊数学从毕达哥拉斯就开始的“纯理论〞上的开展,慢慢地向实践靠拢,这正是希腊数学开始衰落的结果。有人把希腊数学的衰落归咎于希腊几何代数的缺乏和困难,另一些人那么