古代的数学迷宫图形数

6/6古代的数学迷宫——图形数古希腊人曾把数看作是位置不定的点的集合。甚至毕达哥拉斯还说过“数是万物之源〞的那样毫无道理的话。这样,就不得不说,认为宇宙是由点构成的所谓原子论,也可以归结到来源于“点=数的集合〞的古希腊思想。假设把数当作是点的集合,那么,以多少个点表示数的问题,最终将变成可以看得见的图形数是怎样表示出来的问题。例如,数3可以用3个点来表示,也可用等分成三个单位长度来表示。如图1－1。然而古希腊人更关心的是什么数能够排列成正三角形、正方形等等美丽的图形。毕达哥拉斯曾用小石头,如图1－2那样,从上往下1个、2个、3个、4个地依次摆成正三角形,他指着小石头叫别人数。当那个人数完1、2、3、4时,毕达哥拉斯却说：“好啦,你说到的4,我看实际是10。〞毕达哥拉斯把10看成是一个神圣不可侵犯的数。他认为1表示点,2表示线,3表示面〔三角形〕,4表示体〔三角锥〕,总括起来这个美丽的正三角形数10,就可以表现宇宙。像10这样可以排列出美丽的正三角形的数是很多的,这些数都可以叫做三角数〔如图1－3〕。设以Tn来表示第n个三角数,那么Tn就等于1、2、3…n个自然数的和,把它列成数学式就是：Tn=1＋2＋3＋…＋n能排列出正方形的数叫做四角数〔如图1－4〕,四角数构成了平方数。假设以Sn表示第n个四角数,那么数学式就是：Sn=n2但是我们从图1-5可以看出,四角数是由1开始只把奇数加起来构成的。用数学式表示就是：Sn=1＋3＋5＋…＋〔2n-1〕=n2与四角数相对应,假设从2开始,只把偶数加起来就变成所谓的长方数〔如图1－6〕,长方数也叫矩形数。以Rn表示第n个长方数,它的数学式就是：Rn=2＋4＋…＋2n=n〔n＋1〕在作四角数和长方数时,可以用和角尺一样的图形。这种角尺状图形,数学上叫磬折形,其中表示的数叫磬折形数。两个相邻磬折形数之差,实际上是数列的级差。在三角数Tn、四角数Sn、长方数Rn之间存在着各种各样的关系。如图1－7所示,两个三角数的和就等于一个长方数。2Tn=n〔n＋1〕从而,下式是可以成立的。假设我们仔细地观察一下下面的两个数列,不难发现,相邻的两个三角数之和是等于一个四角数的。这种关系,如图1－8,用数学式表示,那么可为：Tn-1＋Tn=Sn=n2让我们再看看图1－9,图中用○符号表示的数是S5；用●表示的数是S6,由图可以看出4T5＋1=S5＋S6从而,一般可以认为下式是成立的。4Tn＋1=Sn＋Sn＋1如果把含有符号×的全体考虑进去的话,那么很清楚地看出下式也是成立的。8Tn＋1=S2n＋1希腊人还研究过如图1－10所示的五角数及图1－11所示的六角数。他们把五角数排列成1、5、12、22、35…把六角数排列成1、6、15、28、45…设Pn表示第n个五角数；Hn表示第n个六角数。我们只要稍微观察一下这两个图,就不难看出,以下的数学公式成立。Pn=Sn＋Tn-1,Hn=2Sn-n假设你观察不出来,你可以把五角数中的○那局部看成是Sn,把●那局部看成是Tn-1,两者相加不就是Pn了吗；另外,可以把六角数中的●局部数两遍,于是就可以把全体看成两个四角数,然后再减去多数一遍的●局部不就成了Hn了吗。下面让我们看看求三角数T1、T2…Tn之和的情况吧。为了醒目起见,我们把T1、T2、T3…Tn先各乘上3,然后把3T1、3T2、3T3…3Tn排列成如图1－12所示的样子,使之成为左右横向是Tn行；上下纵向是n＋2列的长方形。于是由3〔T1+T2+…+Tn〕=〔n+2〕Tn可以得到下边比拟易看的关系式：然后,我们还可以看看求四角数S1、S2…Sn之和的情况。因为每个四角数,都是由1起,依次只把奇数加起来的和表示的,所以S1、S2…Sn的和就可以排列出如图1－13所示的摩天楼样形状。图中○表示奇数编号的四角数S1、S3、S5…●表示偶数编号的四角数S2、S4…假设在摩天楼的两侧各加上S1、S2…Sn的话,那么,从上到下的Tn行与从左到右的2n＋1列所形成的长方形就可以表示3S1、3S2…3Sn之和。因而3〔S1＋S2＋…＋Sn〕=〔2n＋1〕Tn故可将上式变成也就是可以得到下述的公式：13世纪中国数学家杨辉用堆积小立方体的方法证明了上述公式。他把12个、22个、32个…n2个小立方体堆积成A、B、C三个阶梯状的四角锥形。把这三个四角锥粘结在一块,如图1－15所示,在C上就会凸出来Tn个小立方体,如把这些凸出的小立方体切去一半放在A上,就可以形成一个底面是由作图得出的结果,所以也得到以下公式：现在看看关于13、23…n3的求和公式。让我们首先参看图1－16左上角的那个最小的中间有点的小正方形,我们把它看成是1的正方形,设它各边长为一单位,然后把它相邻的两边各延长2单位,再作一个每边长为1＋2=3的正方形。这样在原来1的正方形右边添加的磬折形数就是2个22的正方形,也就是22×2=23。为什么可以这样说呢？我们只要注意到图中打有双重斜线的地方,正好和空白的地方相抵消,于是就可以说添加的就是两个边长各是2的正方形,其中一个打右斜线,另一个打左斜线。然后在相邻的两个边上再延长3个单位长,作一个每边长为1＋2＋3=6的正方形。于是,添加的磬折形数就是33〔3个32〕。进一步,相邻两边再延长4个单位长,又出现了空白抵消掉双斜线局部,添加了4个42,磬折形数成为43。这样作出的正方形,因为每边都是1＋2＋3＋4单位长度,所以就成为：13＋23＋33＋43=〔1＋2＋3＋4〕2其一般通式,可以证明为：13＋23＋…＋n3=〔1＋2＋3＋…＋n〕2希腊人不仅仅研究了把点排列在平面上的多角数,而且还研究了把点排列在空间的锥形数。如果把点排列成三角锥的形状,它的样子就如图1－17所示。其第n个三角锥数是再看看排列成四角锥形状的图形,就可以得出其第n个四角锥数应是：古希腊人不但由一个顶点引出射线,并在射线上取点作出多角数及锥形状,而且还由图形的中心点引出射线,依*射线作出了有心多角形。其有心三角形,如图1－19所示是：1、4、10、19、31、46…图中三条实线,每两条线间都有三个点,连同线上的点,排列成一个三角数。其中中心点是三个三角数共有的,实线上的点是相邻两个三角数共有的。因此第n个有心三角数的通式应为：有心四角数如图1－20所示为：1、5、13、25、41…同理,第n个有心四角数,可以用下式表示：4Tn-1＋1=2n〔n-1〕＋1前边的图1－9也是一个有心四角数。你不妨翻开前边看看,它对你理解有心四角数是会有帮助的。此外,还可以按上述方法,进一步研究有心五角数及有心六角数等等。那么,第n个有心五角数应该是由5Tn-1＋1给出,而第n个有心六角数那么是由6Tn-1＋1给出。如果在第n个有心六角数外边,再附加上6个第n-1号的三角数,那就可以作出一个星形六角数〔如图1－22所示〕,其第n个星形六角数,可以由12Tn-1＋1给出。我们从卡道纳所编的?数学游戏Ⅲ?中得知：可以构成平方数的星形六角数有一些性质是很有意思的。例如,假设令第n个星形六角数6n〔n-1〕＋1等于一个平方数m2,即：m2=6n〔n-1〕＋1然后将上式的左边乘3再加2,其值就可以表示成三个连续自然数的平方和,同时还可以表示成两个连续自然数的平方和,用数学式表示就是：3m2＋2=〔m-1〕2＋m2＋〔m＋1〕2=〔3n-2〕2＋〔3n-1〕2