《实变函数》课程教学大纲

《实变函数》教学大纲一、课程基本信息课程名称实变函数RealVariableFunctions课程编码SCC211621030开课院部理学院课程团队理学院实变函数与泛函分析教学团队学分3.0课内学时48讲授48实验0上机0实践0课外学时48适用专业信息与计算科学授课语言中文先修课程数学分析（3-1）、数学分析（3-2）、数学分析（3-3）课程简介（限选）实变函数是现代数学领域的理论基础，是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门重要专业基础理论课。它是数学分析课程的继续和深化，又是学习概率论和泛函分析等课程的基础，更是后期研究近代分析的理论基础。实变函数的主要研究对象是定义在可测集上的可测函数，并细致剖析其可积性和可微性。实变函数的核心内容是测度和积分理论，重点内容是测度论的知识，n维欧式空间上的Lebesgue测度和Lebesgue积分，兼顾抽象理论的磨合。通过本课程的学习，全面提升学生的数学思想、数学技巧和数学抽象思维的能力,掌握近代抽象分析的基本思想，系统地获得测度理论、函数的可测性概念、Lebesgue积分理论等实变函数的基础理论知识，深刻培养学生抽象思维及逻辑推理能力，为进一步学习现代数学理论打下坚实的基础。Realvariablefunctionsisthefoundationofmodernmathematics.Itisanimportanttheoreticalcoursenotonlyforthemathematicalandapplicationstudentsbutalsofortheinformationandcomputationstudents.Itisacontinuousofmathematicalanalysis,abasiccourseforstudyingtheprobabilityandfunctionanalysis,andabasiclectureofresearchingthemodernanalysisinthefuture.ThemainresearchobjectofRealvariablefunctionsisthemeasurablefunctionsdefinedonthemeasurablesets.Theintegralanddifferentialofthemeasurablefunctionsarethebasicresearch.ThecorecontentofRealvariablefunctionsistheknowledgeofthemeasureandtheintegral,andtheimportantcontentsarethetheoriesofthemeasure,LebesguemeasureandLebesgueintegral,andsomeideasofabstracttheories.Bystudyingthiscourse,thestudentscanacquirethebettermathematicalthought,mathematicalskillsandmathematicallyabstractthinkingtraining.Furthermore,thestudentscanmasterthebasicthoughtsofthemodernabstractanalysis,systematicconceptofmeasuretheory,andthetheoryofLebesgueintegraltheory,etc.Moreover,wecancultivatethestudentshaveacertainabstractthinkingandlogicalreasoningability,tolayanecessaryfoundationforthefurtherstudyofmodernmathematicstheory.负责人大纲执笔人审核人二、课程目标序号代号课程目标OBE毕业要求指标点任务自选1M1目标1：掌握实变函数的研究背景、研究现状及在课程体系中的作用，能对所学数学理论建立一个整体知识体系，为理论应用以及理论创新提供了思想和基础。是3.43.42M2目标2：掌握实变函数的集合，测度论基本概念、基本理论和方法，能综合测度论的知识判断集合的可测性，估计需要集合的Lebesgue测度，了解抽象理论。掌握可测函数的基本概念，基本性质，积分理论和微分理论，能根据理论及性质熟练分析实函数的可测性，可积性及可微性。是2.12.13M3目标3：综合掌握实变函数的知识，熟练应用知识理论，深刻培养学生抽象思维及逻辑推理能力，培养学生认识问题、发现问题以及解决实际理论问题的能力。是8.1,8.38.1,8.3三、课程内容序号章节号标题课程内容/重难点支撑课程目标课内学时教学方式课外学时课外环节1第1章第1章集合本章重点难点：实变函数的发展历史,研究对象和特点等。集合的运算，基数的概念，可数集合和不可数集合的定义及性质。M1,M2,M36讲授、讨论6自学资料、作业21.11.1绪论和集合的表示实变函数的发展历史,研究对象和特点等。集合的表示方法，集合的包含关系，集合相等的判定。M12讲授、讨论2自学资料31.21.2集合的运算掌握集合的运算包括并集，交集、差集、补集、直积和集合列的上极限和下极限。M21讲授1作业41.31.3对等与基数对等的概念和判定；基数的相等的判定。M21讲授1课后作业51.41.4可数集合可数集合与无限集合的关系，运算性质，经典的可数集合。M21讲授1课后作业61.51.5不可数集合实数集与不可数集合的关系，连续基数的定义，性质，无最大基数定理。M2,M31讲授、讨论1课后作业7第2章第2章点集本章重点难点：欧氏空间的定义，邻域、有界点集、聚点、内点、界点、开集、闭集、完备集等基本概念的定义，实直线上开集的构造定理，康托尔三分集的构造、性质。M1,M2,M37讲授、讨论7课后作业82.12.1度量空间，n维欧氏空间度量空间，欧氏空间的定义，邻域、有界点集、两集合的距离、区间等基本概念的定义。M1,M21讲授1课后作业92.22,2聚点，内点和界点聚点的定义及其判定，内点、界点，开核，导集，边界，孤立点，闭包等基本概念，波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的内容。M21讲授1课后作业102.32.3开集，闭集，完备集开集、闭集、紧集和完备集的定义和性质，海涅-博雷尔有限覆盖定理。M2,M32讲授、讨论2自学资料112.42.4直线上开集、闭集及完备集的构造构成区间和余区间的定义，直线上开集、闭集及完备集的构造定理。M21讲授1课后作业122.52.5康托尔三分集康托尔三分集的构造及其性质。M2,M32讲授、讨论2课后作业13第3章第3章测度论本章重点难点：外测度的定义，性质，常见集合的外测度；可测集的判定及运算；常见的可测集及可测集的构造。M1,M2,M37讲授、讨论7自学资料、课后作业143.13.1外测度外测度的定义，性质，常见集合的外测度。M1,M21讲授1作业153.23.2可测集Lebesgue可测集的定义，可测的等价条件，Lebesgue可测集的运算性质。M23讲授3作业163.33.3可测集类常见的可测集:零测度集，区间，开集，闭集，博雷尔集的可测性及性质。可测集的构造定理。M2,M33讲授3作业17第4章第4章可测函数本章重点难点：可测函数的定义及判定、叶果洛夫定理、鲁津定理及其逆定理的内容，证明。依测度收敛定义及性质。M1,M2,M39讲授、讨论9作业184.14.1可测函数及其性质可测函数的定义及等价条件，连续函数和可测函数的关系，可测函数的运算性质，简单函数的概念，可测函数与简单函数的关系。M1,M22讲授、讨论2作业194.24.2叶戈罗夫定理几乎处处成立的定义及性质，叶戈罗夫定理及其逆定理的内容，叶戈罗夫定理的证明方法。M22讲授2作业204.34.3可测函数的构造鲁津定理及其逆定理的内容和证明，鲁津定理的推广。M22讲授2作业214.44.4依测度收敛依测度收敛定义，依测度收敛与几乎处处收敛的关系即里斯定理内容与证明，勒贝格定理内容及证明。课后习题解析，检测等。M2,M33讲授3作业22第5章第5章积分论本章重点难点：非负简单函数，非负可测函数，一般可测函数的Lebesgue积分的定义和性质、莱维定理、法图定理，勒贝格控制收敛定理的内容及证明；Lebesgue积分与Riemann积分的关系，Fubini定理的内容。M1,M2,M311讲授、讨论11作业235.15.1黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介黎曼积分的局限性的介绍，勒贝格积分的思想。M1,M21讲授、讨论1作业245.25.2非负简单函数的勒贝格积分非负简单函数的勒贝格积分定义，运算性质。M22讲授2作业255.35.3非负可测函数的勒贝格积分非负可测函数的勒贝格积分定义，运算性质；莱维定理、逐项积分定理和法图定理的内容，证明和应用。M22讲授2作业265.45.4一般可测函数的勒贝格积分一般可测函数的勒贝格积分定义，运算性质；勒贝格控制收敛定理内容及其应用。M23讲授3作业275.55.5黎曼积分和勒贝格积分黎曼积分和勒贝格积分的关系及其性质。M1,M21讲授1作业285.65.6勒贝格积分的几何意义，富比尼定理截面定理的内容，非负可测函数积分的几何意义内容及分析，富比尼定理的内容。M2,M32讲授2作业29第6章第6章微分与不定积分本章重点难点：维塔利定理的内容，单调函数的微分性质及其应用，有界变差函数的定义及性质，不定积分的定义及性质。M1,M2,M38讲授8自学资料、作业306.16.1单调函数的可微性维塔利定理的内容及应用。列导数的定义及性质，单调函数的导数性质。M22讲授2作业316.26.2有界变差函数有界变差函数的定义，运算，性质；若当分解定理内容及证明，有界变差函数的导数的可积性判定。M23讲授3作业326.36.3不定积分不定积分的定义，绝对连续的定义，可积和绝对连续的关系判定。M1,M2,M33讲授3作业四、考核方式序号考核环节操作细节总评占比1平时作业1.每周布置至少4道题目，平均每次课1道题以上。2.成绩采用等级评分制，根据作业完成准确性、是否按时上交、是否独立完成评分。3.考核学生对实变函数基本知识的掌握能力，学生综合运用所学知识理解能力、分析问题、解决问题的能力。题型主要有填空题、选择题、判断题、和证明题等。20%2期中在线测试1.闭卷考试，成绩采用百分制，卷面成绩总分100分。2.主要考核学生对前四章知识，即集合论，测度论，可测函数等基本概念，性质和综合应用。题型有判断题，选择题等。20%3考勤和课堂表现随机点名、刷卡点名等。随机检查学生上课精神状态、回答问题情况10%4期末考试1.闭卷考试，成绩采用百分制，卷面成绩总分100分。3.主要考核学生对实变函数基本理论的掌握能力，学生综合运用测度论，积分论和微分论的知识分析问题、解决问题的能力，题型主要有填空题，判断题，选择题和证明题等50%五、评分细则序号课程目标考核环节大致占比评分等级1M1平时作业50%A-作业完成准确，按时上交，独立完成。B-作业基本正确，按时上交，独立完成。C-作业完成错误，不按时上交，或者有抄袭现象。2M1期末考试30%见试卷评分标准。3M1考勤和课堂表现20%A-无迟到早退现象，上课精神饱满，回答问题积极。B-偶有迟到早退现象，上课精神状态尚可。C-经常迟到旷课，上课不积极。4M2期末考试50%见试卷评分标准。5M2平时作业30%A-作业完成准确，按时上交，独立完成。B-作业基本正确，按时上交，独立完成。C-作业完成错误，不按时上交，或者有抄袭现象。6M2期中在线测试20%见试卷评分标准。7M3期中在线测试50%见试卷评分标准。8M3期末考试50%见试卷评分标准。评分等级说明：[A,B,C,D,E]=[90-100,80-89,70-79,60-69,0-59];[A,B,C,D]=[90-100,75-89,60-74,0-59];[A,B,C