学案双曲线的几何性质

4/4双曲线的几何性质【学习目标】1．通过对双曲线几何性质的学习，培养直观想象素养．2．借助于几何性质的应用，提升逻辑推理，数学运算素养．【学习重难点】1．了解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等）．2．理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程．（重点）3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．（难点）【学习过程】一、新知初探1．双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a＞0，b＞0）性质图形焦点（－c,0），（c,0）（0，－c），（0，c）焦距2范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a离心率e＝eq\f(c,a)∈（1，＋∞）渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2．等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝eq\r(2)．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）等轴双曲线的离心率为eq\r(2)．（）（2）双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x．（）（3）离心率越大，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的渐近线的斜率绝对值越大．（）2．若0<k<a，则双曲线eq\f(x2,a2－k2)－eq\f(y2,b2＋k2)＝1与eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有（）A．相同的实轴B．相同的虚轴C．相同的焦点D．相同的渐近线3．x2－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程为（）A．y＝±2xB．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±4xD．y＝±eq\f(1,4)x4．已知双曲线的焦点为（－4,0），（4,0），离心率为2，则双曲线的标准方程为________．5．已知双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则其离心率为________．三、合作探究类型1：由双曲线的标准方程求其简单的几何性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．类型2：由双曲线的几何性质确定标准方程【例2】根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程．（1）过点P（3，－eq\r(2)），离心率e＝eq\f(\r(5),2)；（2）与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的渐近线，且过点（－3，2eq\r(3)）．类型3：与双曲线有关的离心率问题【例3】已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，求E的离心率．类型4：与渐进线有关的问题【例4】如图，已知F1，F2为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．【学习小结】1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．【精炼反馈】1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）A．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1 B．eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)－eq\f(x2,9)＝1C．eq\f(x2,100)－eq\f(y2,36)＝1 D．eq\f(x2,100)－eq\f(y2,36)或eq\f(y2,100)－eq\f(x2,36)＝12．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(3),3)x，则双曲线的离心率为（）A．eq\f(3,2) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\f(\r(7),4) D．eq\f(\r(5),5)3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(x,2)，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是________．4．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，若顶点到渐近线的距离