多元函数的极限与连续课件

61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。62、奇文共欣赞，疑义相与析。63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。64、一生复能几，倏如流电惊。65、少无适俗韵，性本爱丘山。多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。62、奇文共欣赞，疑义相与析。63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。64、一生复能几，倏如流电惊。65、少无适俗韵，性本爱丘山。多元函数的极限与连续第8章多元函数微分法及其应用∫(x,y)8.1多元函数的极限与连续上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用本章在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分方法及其应用以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数同时,还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点第8章多元函微分法近年来，中小学生课业负担重一直是社会话题的焦点，很多人认为小学生失去了原本纯真的童年，中学生失去了原有的青春。的确，现代教育在追求教学质量、培养高素质人才的同时，却忽略了学生的个性发展，忽略了他们的兴趣爱好，往往把他们不喜欢的事物强加给他们，这样的做法往往适得其反，想要更为有效地改变这一现状，为国家培养出高素质的人才，就要实现减轻学生课业负担和提高教学质量的双赢。以下是对这一问题的探讨分析，列举了如何实现双赢的方法。一、学生课业负担过重的原因学生课业负担重，可以说是由三方面的原因组成。其一，社会带给学生的压力。在社会不断的进步过程中，越来越多的人意识到教育的重要性，因此就业压力剧增，使得升学竞争与日俱增，这是造成学生课业负担过重的社会原因。其二，来自家长的压力，家长总是以过来人的身份自居，要求学生将心思放到学习上，学生除了要学习学校的教学内容，往往还会被迫去一些特长班学习，父母不顾学生自己的喜好，强加这些东西，无形之中就增大了学生的课业负担。其三，来自学校的压力，学校为了追求升学率，将成绩放在第一位，使得学生的看课业负担越来越重。二、解决学生课业负担重的问题，实现与教学质量的双赢1.提高教师素质，减轻学生负担教师的素质对减轻学生课业负担起着决定作用。如果教师的教学方法较为死板，不能起到引导的效果，那么学生的思维也会一直停留在浅层，学生得不到较好的学习方法，只会一直死读书。比如，初中语文课文《童趣》，对于初中生来说，刚接触到古文时会觉得很难理解，而这篇课文又要求学生背诵，如果没有较好的方法，学生只能采用死记硬背，这样既浪费时间，又会让学生产生不良的情绪。如果教师能教会学生学习，这样就能相对地减轻学生负担。2.促进学生兴趣发展，引导学生学习中国的教育家孔子曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”它的意思是说，在学习的过程中学习者要从个人内心出发，以学习为快乐，这样才能学到知识。因此，学生在学习的过程中教师要善于引导，让学生体会到学习的快乐，从学生的兴趣出发。例如，在初中语文中，《背影》这篇课文是比较经典的，父亲的背影往往会让人产生思考，教师可以让学生先思考自己父亲的背影是如何的，再来体会其内容，这样引导学生学生会更有兴趣。3.提高课堂效率，充分利用课堂时间减轻学生的课业负担，从根本上说就是减少学生的有效学习时间。如果学生能在课堂上就消化、吸收了该有的知识，那么他们的课余时间也会增多，因此就要求教师提高课堂教学效率。例如，对于初中语文来说，所学文章大多是为了用文中的人物来感染学生，如果教师在课堂上已经充分引导了学生，学生也深切体会到了，这样的课才可以说是高效的。综上所述，造成学生课业负担过重的原因有三方面，社会的压力、家长的压力、学校的压力使得学生的课业负担越来越重。在这些原因的基础上进行分析探讨，实现教学质量和减轻学生课业负担的双赢。教师的素质、学生的兴趣、课堂的效率这些都将影响到这一问题。如果我们能将这些达到最优，那么实现双赢将更为简单，还孩子们一片纯真，给青少年一份青春回忆吧。一、前言目前，社会正处于信息化时代，信息化技术是必备的基本技能之一。初中作为学生学习的基础阶段，应重视信息技术课堂教学的作用，让学生在教学过程中了解、掌握信息技术，进而提高学生的信息素养。小组合作学习是一种有效的学习模式，改变了初中信息技术以往“教”与“学”的方式，注重学生主体作用的发挥，释放学生的学习天性，注重交流沟通，从而促进学生的全面发展。但从小组合作学习的现状来看，教学效果并没有得到有效提升。初中信息技术教师应积极探索高校的应用策略，对合作教学予以规范，全面提升信息技术课堂的教学质量。二、初中信息技术课堂教学中小组合作学习的重要性第一，培养学生自主学习能力。我国传统的信息技术课堂教学采用灌输式教学方式，学生一味地被动接受教师的教学安排，学生的主体性作用没有充分发挥，这种教学模式已无法满足素质教育的发展。在初中信息技术教学中采用合作学习的方式，可以充分考虑每个学生的学习能力和知识吸收能力，让每一名成员在课堂中、在小组学习中都有自己的位置，使其充分参与到课堂教学中，更有利于学生今后的发展。第二，培养学生的集体意识。初中生的心理、生理尚未发展成熟，各方面都处于发展时期，必须依靠社会而存在。学校作为社会的一部分，在初中信息技术课堂教学中引入合作学习模式，能够帮助学生适应班级小社会、适应学校，充分发挥个人的能动性。小组合作学习为学生提供了相互了解的平台，在讨论、探究、合作中共同进步，形成良好的合作意识和集体意识。第三，提升学生的综合能力。在传统的信息技术课堂教学中，教学内容枯燥乏味，教师对教学内容进行简单地讲解，安排学生作简要练习后，便可自主学习。这样的信息技术教学难以集中学生的注意力，学生对教学内容不求甚解，教学效果并不理想。开展合作学习后，教师可以给每个小组布置任务，让小组成员相互讨论、探讨，加深自己对教学知识的热身和理解。同时，也培养了学生的钻研精神和语言表达能力，让学生更加自信地面对学习和生活。三、初中信息技术课堂教学中小组合作学习的应用策略1.合理科学分组合理科学分组是开展小组合作学习的基础和前提，关乎小组合作学习效果。但是，大多数教师没有充分认识到科学分组的重要性，这不仅不利于激发学生学习潜能，更不利于教师的个性化指导。信息技术教学环境与其他学科不同，需要在机房借助计算机完成。合理科学分组，应综合考虑多重影响因素，从以下两面着手：第一，坚持“同组异质、异组同质”的分组原则，确保成员优势互补、相互促进，实现小组成员的最优搭配。第二，，小组可分为4人组、6人组、8人组，学优生、学困生交叉安排，设组长、纪律员等，让每一个成员都有责任感。2.教师要转变教学观念在信息技术课堂教学过程中，教师要摒弃旧的教学观念，将自身是教学活动主导者的角色向引导者、参与者方向转变，不再沿用过去的“填鸭式”教学方法，给学生充足的空间发现问题、讨论问题、分析问题。同时，还要为学生创造轻松愉快的教学氛围，尊重学生的主体地位，尊重?W生的意见，使合作学习的开展成为可能。3.创设适当的教学情境教师要为学生创设适当的教学情境，引导学生进行合作学习，保证信息技术课堂教学质量得到有效提升。例如，在学习制作演示文稿时，可以为学生创设“环境保护”“人身安全”等主题，以小组为单位完成演示文稿的制作，让小组内成员明确风分工，再一起讨论、总结、修改，并推选一名代表进行作品演示。这样，不仅极大地调动了学生的积极性，还提高了课堂教学的有效性和针对性。需要注意的是，教师在设置学习任务时，一定要将教材内容、课堂知识融入其中，充分考虑初中生的认知水平和兴趣，遵循学生学习心理特征，让学生爱上学习。另外，初中生在认知水平、学习能力方面还存在局限性，信息技术课程的实践性较强，学生无法独立完成任务时，教师要适时对学生进行指导，使课堂学习顺利进行。4.对合作学习进行有效评价在信息技术教学中采用小组合作学习方式，旨在提升课堂教学质量、培养学生信息技术能力，有效评价小组合作学习效果非常重要。它能够帮助教师了解该学习方式存在的问题，帮助学生发现自身存在的不足，进而对其进行完善。因此，教师应综合考虑影响小组学习的多方面因素，除任务的完成情况外，还要考虑学生的参与度、学习态度，采用个人自评、组内自评、组间互评、教师评价等多种方式，让学生认识到自己存在的问题并及时解决。总之，初中教师应充分认识小组合作学习的重要性，不断探索合作学习的应用策略，从而发挥合作学习在初中信息技术课堂教学中的效果，提高学生的信息素养和信息技术应用能力，帮助其更好地适应社会。61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。多元函数的极限与连1第8章多元函数微分法及其应用∫(x,y)第8章多元函数微分法28.1多元函数的极限与连续上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用本章在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分方法及其应用以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数同时,还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点第8章多元函微分法8.1多元函数的极限与连续38.1多元函数的极限与连续81多元函数的极限与连续functionofmanyvariables平面点集多元函数的概念多元函数的极限■多元函数的连续性■小结思考题作业8.1多元函数的极限与连续48.1多元函数的极限与连续平面点集建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x,y)的全体,即R2=RXR={(x,y)x,y∈R}xOy坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)(x,y)具有性质P8.1多元函数的极限与连续58.1多元函数的极限与连续邻域(Neighborhood)设P0xoyo)是xOy平面上的一个点,δ>0,令U(P,6)={(x,y)(x-xn)2+(y-yn)2<6}它是以P为中心、以S为半径的开圆(“开”意味着不包括边界也称为点P的域,几何表示有时简记为U(P)①将邻域去掉中心,称之为去心邻域U(P,δ)②也可将以P为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域8.1多元函数的极限与连续681多元函数的极限与连续下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.任意一点P∈R2与任意一点集EcR2之间必有以下四种关系中的一种:(1)内点设E为一平面点集,点P∈E,若存在6>0,使U(P)cE,称P为E的内点(P1)显然,E的内点属于EP(0外点如果在在点P的某个邻域Up/使U(P∩E=,则称P为E的外点、(P,)P2(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.(P3)E的边界点的全体称为E的边界,记作OE81多元函数的极限与连续78.1多元函数的极限与连续(4)聚点如果对于任意给定的δ>0,P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点(P本身可属于E,也可不属于E),则称P是E的聚点聚点从直观上讲:这点附近有无穷多个E的点例如设点集E={(x,y)1≤x2+y2<2点P(xn,y)∈R2,若1<x2+y2<2,则P为E的内点;也是E的聚点;若x2+y2=1或x2+y2=2,则P为E的边界点,也是E的聚点;E的边界aE={(x,y)x2+y2=1或x2+y2=2}.8.1多元函数的极限与连续88.1多元函数的极限与连续根据点集所属点的特征,下面再定义一些重要的平面点集的概念开集若点集E的任意一点都是E的内点,称E为开集.例E1={(x,y)1<x2+y2<4}→E1为开集闭集若点集E的边界OE<E,称E为闭集例E2={(x,y)1≤x2+y2≤4}→E2为闭集例E3={(x,y)1≤x2+y2<4}→E3既非开集,也非闭集88.1多元函数的极限与连续98.1多元函数的极限与连续连通集如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,称E是连通集区域(或开区域)连通的开集称为区域或开区域闭区域开区域连同其边界一起所构成的点集,称为闭区域如(x,y)≤x2+y2≤4,(x,y)x+y≥0}都是闭区域8.1多元函数的极限与连续108.1多元函数的极限与连续》连通的开集称为区域或开区域E=(x,y)x+y>0,|E={(x,y)x≠0,y≠0}是区域吗?不是区域.因为不连通是区域连结两点的任何折线都与x+y=0x+y>0y轴相交,相交点不属于Ey8.1多元函数的极限与连续11多元函数的极限与连续课件12多元函数的极限与连续课件13多元函数的极限与连续课件14多元函数的极限与连续课件15多元函数的极限与连续课件16多元函数的极限与连续课件17多元函数的极限与连续课件18多元函数的极限与连续课件19多元函数的极限与连续课件20多元函数的极限与连续课件21多元函数的极限与连续课件22多元函数的极限与连续课件23多元函数的极限与连续课件24多元函数的极限与连续课件25多元函数的极限与连续课件26多元函数的极限与连续课件27多元函数的极限与连续课件28多元函数的极限与连续课件29多元函数的极限与连续课件30多元函数的极限与连续课件31多元函数的极限与连续课件32多元函数的极限与连续课件33多元函数的极限与连续课件34多元函数的极限与连续课件35多元函数的极限与连续课件36多元函数的极限与连续课件37多元函数的极限与连续课件38多元函数的极限与连续课件39多元函数的极限与连续课件40多元函数的极限与连续课件41多元函数的极限与连续课件42多元函数的极限与连续课件43多元函数的极限与连续课件44多元函数的极限与连续课件45多元函数的极限与连续课件46多元函数的极限与连续课件47多元函数的极限与连续课件48多元函数的极限与连续课件49多元函数的极限与连续课件50多元函数的极限与连续课件51多元函数的极限与连续课件5241、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

42、只有在人群中间，才能认识自己。——德国

43、重复别人所说的话，只需要教育；而要挑战别人所说的话，则需要头脑。——玛丽·佩蒂博恩·普尔

44、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬

45、自己的饭量自己知道。——苏联41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜5361、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。62、奇文共欣赞，疑义相与析。63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。64、一生复能几，倏如流电惊。65、少无适俗韵，性本爱丘山。多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。62、奇文共欣赞，疑义相与析。63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠深巷中，鸡鸣桑树颠。64、一生复能几，倏如流电惊。65、少无适俗韵，性本爱丘山。多元函数的极限与连续第8章多元函数微分法及其应用∫(x,y)8.1多元函数的极限与连续上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用本章在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分方法及其应用以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数同时,还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点第8章多元函微分法近年来，中小学生课业负担重一直是社会话题的焦点，很多人认为小学生失去了原本纯真的童年，中学生失去了原有的青春。的确，现代教育在追求教学质量、培养高素质人才的同时，却忽略了学生的个性发展，忽略了他们的兴趣爱好，往往把他们不喜欢的事物强加给他们，这样的做法往往适得其反，想要更为有效地改变这一现状，为国家培养出高素质的人才，就要实现减轻学生课业负担和提高教学质量的双赢。以下是对这一问题的探讨分析，列举了如何实现双赢的方法。一、学生课业负担过重的原因学生课业负担重，可以说是由三方面的原因组成。其一，社会带给学生的压力。在社会不断的进步过程中，越来越多的人意识到教育的重要性，因此就业压力剧增，使得升学竞争与日俱增，这是造成学生课业负担过重的社会原因。其二，来自家长的压力，家长总是以过来人的身份自居，要求学生将心思放到学习上，学生除了要学习学校的教学内容，往往还会被迫去一些特长班学习，父母不顾学生自己的喜好，强加这些东西，无形之中就增大了学生的课业负担。其三，来自学校的压力，学校为了追求升学率，将成绩放在第一位，使得学生的看课业负担越来越重。二、解决学生课业负担重的问题，实现与教学质量的双赢1.提高教师素质，减轻学生负担教师的素质对减轻学生课业负担起着决定作用。如果教师的教学方法较为死板，不能起到引导的效果，那么学生的思维也会一直停留在浅层，学生得不到较好的学习方法，只会一直死读书。比如，初中语文课文《童趣》，对于初中生来说，刚接触到古文时会觉得很难理解，而这篇课文又要求学生背诵，如果没有较好的方法，学生只能采用死记硬背，这样既浪费时间，又会让学生产生不良的情绪。如果教师能教会学生学习，这样就能相对地减轻学生负担。2.促进学生兴趣发展，引导学生学习中国的教育家孔子曾说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”它的意思是说，在学习的过程中学习者要从个人内心出发，以学习为快乐，这样才能学到知识。因此，学生在学习的过程中教师要善于引导，让学生体会到学习的快乐，从学生的兴趣出发。例如，在初中语文中，《背影》这篇课文是比较经典的，父亲的背影往往会让人产生思考，教师可以让学生先思考自己父亲的背影是如何的，再来体会其内容，这样引导学生学生会更有兴趣。3.提高课堂效率，充分利用课堂时间减轻学生的课业负担，从根本上说就是减少学生的有效学习时间。如果学生能在课堂上就消化、吸收了该有的知识，那么他们的课余时间也会增多，因此就要求教师提高课堂教学效率。例如，对于初中语文来说，所学文章大多是为了用文中的人物来感染学生，如果教师在课堂上已经充分引导了学生，学生也深切体会到了，这样的课才可以说是高效的。综上所述，造成学生课业负担过重的原因有三方面，社会的压力、家长的压力、学校的压力使得学生的课业负担越来越重。在这些原因的基础上进行分析探讨，实现教学质量和减轻学生课业负担的双赢。教师的素质、学生的兴趣、课堂的效率这些都将影响到这一问题。如果我们能将这些达到最优，那么实现双赢将更为简单，还孩子们一片纯真，给青少年一份青春回忆吧。一、前言目前，社会正处于信息化时代，信息化技术是必备的基本技能之一。初中作为学生学习的基础阶段，应重视信息技术课堂教学的作用，让学生在教学过程中了解、掌握信息技术，进而提高学生的信息素养。小组合作学习是一种有效的学习模式，改变了初中信息技术以往“教”与“学”的方式，注重学生主体作用的发挥，释放学生的学习天性，注重交流沟通，从而促进学生的全面发展。但从小组合作学习的现状来看，教学效果并没有得到有效提升。初中信息技术教师应积极探索高校的应用策略，对合作教学予以规范，全面提升信息技术课堂的教学质量。二、初中信息技术课堂教学中小组合作学习的重要性第一，培养学生自主学习能力。我国传统的信息技术课堂教学采用灌输式教学方式，学生一味地被动接受教师的教学安排，学生的主体性作用没有充分发挥，这种教学模式已无法满足素质教育的发展。在初中信息技术教学中采用合作学习的方式，可以充分考虑每个学生的学习能力和知识吸收能力，让每一名成员在课堂中、在小组学习中都有自己的位置，使其充分参与到课堂教学中，更有利于学生今后的发展。第二，培养学生的集体意识。初中生的心理、生理尚未发展成熟，各方面都处于发展时期，必须依靠社会而存在。学校作为社会的一部分，在初中信息技术课堂教学中引入合作学习模式，能够帮助学生适应班级小社会、适应学校，充分发挥个人的能动性。小组合作学习为学生提供了相互了解的平台，在讨论、探究、合作中共同进步，形成良好的合作意识和集体意识。第三，提升学生的综合能力。在传统的信息技术课堂教学中，教学内容枯燥乏味，教师对教学内容进行简单地讲解，安排学生作简要练习后，便可自主学习。这样的信息技术教学难以集中学生的注意力，学生对教学内容不求甚解，教学效果并不理想。开展合作学习后，教师可以给每个小组布置任务，让小组成员相互讨论、探讨，加深自己对教学知识的热身和理解。同时，也培养了学生的钻研精神和语言表达能力，让学生更加自信地面对学习和生活。三、初中信息技术课堂教学中小组合作学习的应用策略1.合理科学分组合理科学分组是开展小组合作学习的基础和前提，关乎小组合作学习效果。但是，大多数教师没有充分认识到科学分组的重要性，这不仅不利于激发学生学习潜能，更不利于教师的个性化指导。信息技术教学环境与其他学科不同，需要在机房借助计算机完成。合理科学分组，应综合考虑多重影响因素，从以下两面着手：第一，坚持“同组异质、异组同质”的分组原则，确保成员优势互补、相互促进，实现小组成员的最优搭配。第二，，小组可分为4人组、6人组、8人组，学优生、学困生交叉安排，设组长、纪律员等，让每一个成员都有责任感。2.教师要转变教学观念在信息技术课堂教学过程中，教师要摒弃旧的教学观念，将自身是教学活动主导者的角色向引导者、参与者方向转变，不再沿用过去的“填鸭式”教学方法，给学生充足的空间发现问题、讨论问题、分析问题。同时，还要为学生创造轻松愉快的教学氛围，尊重学生的主体地位，尊重?W生的意见，使合作学习的开展成为可能。3.创设适当的教学情境教师要为学生创设适当的教学情境，引导学生进行合作学习，保证信息技术课堂教学质量得到有效提升。例如，在学习制作演示文稿时，可以为学生创设“环境保护”“人身安全”等主题，以小组为单位完成演示文稿的制作，让小组内成员明确风分工，再一起讨论、总结、修改，并推选一名代表进行作品演示。这样，不仅极大地调动了学生的积极性，还提高了课堂教学的有效性和针对性。需要注意的是，教师在设置学习任务时，一定要将教材内容、课堂知识融入其中，充分考虑初中生的认知水平和兴趣，遵循学生学习心理特征，让学生爱上学习。另外，初中生在认知水平、学习能力方面还存在局限性，信息技术课程的实践性较强，学生无法独立完成任务时，教师要适时对学生进行指导，使课堂学习顺利进行。4.对合作学习进行有效评价在信息技术教学中采用小组合作学习方式，旨在提升课堂教学质量、培养学生信息技术能力，有效评价小组合作学习效果非常重要。它能够帮助教师了解该学习方式存在的问题，帮助学生发现自身存在的不足，进而对其进行完善。因此，教师应综合考虑影响小组学习的多方面因素，除任务的完成情况外，还要考虑学生的参与度、学习态度，采用个人自评、组内自评、组间互评、教师评价等多种方式，让学生认识到自己存在的问题并及时解决。总之，初中教师应充分认识小组合作学习的重要性，不断探索合作学习的应用策略，从而发挥合作学习在初中信息技术课堂教学中的效果，提高学生的信息素养和信息技术应用能力，帮助其更好地适应社会。61、辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。多元函数的极限与连54第8章多元函数微分法及其应用∫(x,y)第8章多元函数微分法558.1多元函数的极限与连续上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用本章在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分方法及其应用以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数同时,还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点第8章多元函微分法8.1多元函数的极限与连续568.1多元函数的极限与连续81多元函数的极限与连续functionofmanyvariables平面点集多元函数的概念多元函数的极限■多元函数的连续性■小结思考题作业8.1多元函数的极限与连续578.1多元函数的极限与连续平面点集建立了坐标系的平面称为坐标面.二元有序实数组(x,y)的全体,即R2=RXR={(x,y)x,y∈R}xOy坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)(x,y)具有性质P8.1多元函数的极限与连续588.1多元函数的极限与连续邻域(Neighborhood)设P0xoyo)是xOy平面上的一个点,δ>0,令U(P,6)={(x,y)(x-xn)2+(y-yn)2<6}它是以P为中心、以S为半径的开圆(“开”意味着不包括边界也称为点P的域,几何表示有时简记为U(P)①将邻域去掉中心,称之为去心邻域U(P,δ)②也可将以P为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域8.1多元函数的极限与连续5981多元函数的极限与连续下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.任意一点P∈R2与任意一点集EcR2之间必有以下四种关系中的一种:(1)内点设E为一平面点集,点P∈E,若存在6>0,使U(P)cE,称P为E的内点(P1)显然,E的内点属于EP(0外点如果在在点P的某个邻域Up/使U(P∩E=,则称P为E的外点、(P,)P2(3)边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.(P3)E的边界点的全体称为E的边界,记作OE81多元函数的极限与连续608.1多元函数的极限与连续(4)聚点如果对于任意给定的δ>0,P的去心邻域U(P,δ)内总有E中的点(P本身可属于E,也可不属于E),则称P是E的聚点聚点从直观上讲:这点附近有无穷多个E的点例如设点集E={(x,y)1≤x2+y2<2点P(xn,y)∈R2,若1<x2+y2<2,则P为E的内点;也是E的聚点;若x2+y2=1或x2+y2=2,则P为E的边界点,也是E的聚点;E的边界aE={(x,y)x2+y2=1或x2+y2=2}.8.1多元函数的极限与连续618.1多元函数的极限与连续根据点集所属点的特征,下面再定义一些重要的平面点集的概念开集若点集E的任意一点都是E的内点,称E为开集.例E1={(x,y)1<x2+y2<4}→E1为开集闭集若点集E的边界