山西省吕梁市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021~2022学年高一上学期期末考试数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“，是4倍数”的否定为（）A.，是4的倍数 B.，不是4的倍数C.，不是4倍数 D.，不是4的倍数【答案】B【解析】【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解．【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”．故选：B2.已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）A.R B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.【详解】设，因为的图象过点，所以，解得，则，故的定义域为．故选：C3.如图所示的时钟显示的时刻为，此时时针与分针的夹角为．若一个半径为的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积.【详解】由图可知，，所以该扇形的面积．故选：C.4.已知，则（）A. B.C. D.的取值范围是【答案】B【解析】【分析】取判断A；由不等式的性质判断BC；由基本不等式判断D.【详解】当时，不成立，A错误．因为，所以，，B正确，C错误．当，时，，当且仅当时，等号成立，而，D错误．故选：B5.“，”是“函数的图象关于点中心对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出函数的图象的对称中心，从而就可以判断.【详解】若函数的图象关于点中心对称，则，，所以“，”是“函数的图象关于点中心对称”的充分不必要条件．故选：A6.已知函数在上具有单调性，则k的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数，求得对称轴的方程为，结合题意，得到或，即可求解.【详解】由题意，函数，可得对称轴的方程为，要使得函数在上具有单调性，所以或，解得或．故选：C.7.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，再由,可得，即可得结果.【详解】因为，所以，解得．又因为，，所以．，，所以．故选：D8.已知函数的部分图象如图所示，若函数的图象由的图象向右平移个单位长度得到，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合图象利用五点法即可求得函数解析式.【详解】由图象可得解得，．因为，所以．又因为，所以．因为，所以，，即，．又因为，所以．．．故选：A.9.尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,由已知可得，则，故．故选：C.10.已知定义在R上的函数满足，且当]时，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得的周期为，利用周期性和单调性化简计算即可得出结果.【详解】因为，所以的周期为．当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减．因为，且所以．故．故选：A.11.已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则（）A.1 B.2 C.-1 D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为两个函数图象的交点问题，然后结合图象即可解答.【详解】有四个不同的零点，，，，即方程有四个不同的解．的图象如图所示，由二次函数的对称性，可得．因为，所以，故．故选：D12.已知函数，现有下列四个结论：①对于任意实数a，的图象为轴对称图形；②对于任意实数a，在上单调递增；③当时，恒成立；④存在实数a，使得关于x的不等式的解集为．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.③④ C.②③④ D.①②④【答案】D【解析】【分析】根据函数的解析式，可知其关于直线，可判断①正确；是由与相加而成，故该函数为单调函数，由此可判断②;根据的函数值情况可判断③;看时情况，结合函数的单调性，可判断④的正误.【详解】对①，因为函数与|的图象都关于直线对称，所以的图象关于直线对称，①正确．对②，当时，函数与都单调递增，所以也单调递增，②正确．对③，当时，，③错误．对④，因为图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，且，所以存在，使得的解集为，④正确．故选：D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知，写出一个满足条件的的值：______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用，可得，，计算即可得出结果.【详解】因为，所以，．则，或，．故答案为：（答案不唯一）14.若，则__________．【答案】【解析】【分析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.【详解】若,则,所以.故答案为:【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.15.已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则______．【答案】##0.75【解析】【分析】根据条件求出，，再代入即可求解.【详解】因为的图象过原点，所以，即．又因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交，所以，，所以，所以．故答案为：16.已知正数a，b满足，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.【详解】，故,则，当且仅当时，等号成立．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，，．（1）求；（2）若，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得集合A，再由集合补集运算和交集运算可求得答案；（2）根据条件建立不等式组，可求得所求的范围.【小问1详解】因为，，所以，．【小问2详解】因为，所以解得．故m的取值范围是．18.已知函数，．（1）求函数的定义域；（2）试讨论关于x的不等式的解集．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）解不等式得出定义域；（2）利用对数函数的单调性解不等式得出解集.【小问1详解】由题意可得解得．故函数的定义域为．【小问2详解】当时，函数是增函数．因为，所以解得．当时，函数是减函数．因为，所以解得．综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．19.已知函数在上的最小值为．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的最大值以及此时x的取值集合．【答案】（1）；（2）最大值为，此时x的取值集合为.【解析】【分析】(1)利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数性质列式计算作答.(2)利用余弦函数性质直接计算作答.【小问1详解】依题意，，令，，解得，．所以的单调递增区间为.小问2详解】由(1)知，当时，，，解得，因此，，当，，即，时，取得最大值1，则取得最大值，所以的最大值为，此时x的取值集合为.20.武威“天马之眼”摩天轮，于2014年5月建成运营．夜间的“天马之眼”摩天轮美轮美奂，绚丽多彩，气势宏大，震撼人心，是武威一颗耀眼的明珠．该摩天轮直径为120米，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮匀速转动，每转动一圈需要t分钟，若小夏同学从摩天轮的最低点处登上摩天轮，从小夏登上摩天轮的时刻开始计时．（1）求小夏与地面的距离y（米）与时间x（分钟）的函数关系式；（2）在摩天轮转动一圈的过程中，小夏的高度在距地面不低于98米的时间不少分钟，求t的最小值．【答案】（1）（2）25【解析】【分析】（1）建立坐标系，由得出所求函数关系式；（2）由得出，由余弦函数的性质得出第一圈满足持续的时间，再解不等式得出t的最小值．【小问1详解】如图，以摩天轮最低点的正下方的地面处为原点，以地平面所在直线为x轴建立平面直角坐标系，摩天轮的最高点距地面128米，摩天轮的半径为60米，摩天轮的圆心O到地面的距离为68米．因为每转动一圈需要t分钟，所以．．【小问2详解】依题意，可知，即，不妨取第一圈，可得，，持续时间为，即，故t的最小值为25．21.已知函数．（1）若是偶函数，求a的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）由偶函数的定义得出a的值；（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a的取值范围．【小问1详解】因为是偶函数，所以，即，故．【小问2详解】由题意知在上恒成立，则，又因为，所以，则．令，则，可得，又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a的取值范围是．22.已知函数，．（1）若的值域为，求a的值．（2）证明：对任意，总存在，使得成立．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得，从而即可求解；（2）利用对勾函数单调性求