置换群不可约表示

4.3

杨表和杨算符本节要证明：杨算符与置换群群代数的原始幂等元成比例由杨算符方法可以构造置换群群代数的标准基提供一个简便的方法，计算置换群的不等价不可约表示矩阵一、置换群群代数的原始幂等元ej是原始幂等元的充要条件是：对L中任一矢量t都有下式成立条件可以放宽11.定理五若置换群群代数的矢量X满足两个原始幂等元ei，ej(它们生成两个最小左理想Li，Lj等价)的充要条件是：至少存在一个群元素S，满足下面证明：杨算符Y与置换群原始幂等元成比例，并讨论它们产生的左理想的等价性(1个定理，6个推论)其中P,Q是杨算符Y的任意横向,纵向置换，则X与杨算符Y只差常系数λ，即X=λY证明：杨算符是置换群群元素的代数和，是群代数矢量23群代数矢量X与杨算符Y有相同的对称性质，设4对不属于杨算符Y的置换R，由定理四推论四综上：X=λY，即53.推论二杨算符的平方不为零证明：则由定理五：X=λY，即

YtY=λtY2.推论一设t是置换群群代数的任意矢量，则YtY=λtY，其中λt是依赖于t的数，可为零其中，f由Y产生的右理想RY=YL的维数4.推论三是置换群的原始幂等元(即杨算符Y与置换群的原始幂等元成比例)6由杨算符Y和Y'生成的最小左理想等价的充要条件是：它们对应的杨图相同6.推论五对同一个杨图，设填在杨表Y'的同一列的数字在杨表Y中都不填在同一行，则相应的杨算符乘积Y'Y≠05.推论四Y与置换群原始幂等元成比例Y,Y'生成最小左理想置换群不可约表示置换群不可约表示等价↔杨图相同因此，可用杨图来标记置换群不等价不可约表示置换群不等价不可约表示数目=类的数目，置换群的类可用杨图表示(用配分数表示)两个原始幂等元ei，ej(它们生成两个最小左理想Li，Lj等价)的充要条件是：7对应不同杨图的杨算符Y和Y'相互正交，即Y'Y=YY'=07.推论六二、置换群正交的原始幂等元对应不同杨图的杨算符Y和Y'相互正交对应同一杨图，不同正则杨表的杨算符不一定正交由定理四推论二：对同一杨图，正则杨表Y'>Y时，Y'Y=0当正则杨表Y'<Y时，可以找到Y'Y≠0的例子，只有在n≥5时才会出现1.例：n=5，对杨图[3,2]维数：d[3,2]=5有5个不同的正则杨表8正交要求：Y'Y=0，YY'=0对同一杨图，杨表Y'>Y时，Y'Y=0，即YμYν=0(μ≥ν)当μ<ν时，要逐对检查乘积是否为零，依据定理四：对同一杨图，若对换T0是Y'的纵向置换(列)，Y的横向置换(行)，则Y'Y=0定理四推论三：Y'同一列的数字都不在Y的同一行，则把Y变成Y'的置换R属于Y也属于Y'，即Y'=RYR-1→R=PQ=P'Q'正则杨表由小到大依次排序杨表Y112345杨表Y212435杨表Y312534杨表Y413425杨表Y5135249杨表Y112345杨表Y212435杨表Y312534杨表Y413425杨表Y513524Y

小Y大：只有：其它均为零先写出将Y5变成Y1的置换：（第一行Y5，第二行Y1）将R成无公共客体轮换的乘积10用切断法，将R分解成Y5的PQ，将Y5的横向置换左移，纵向置换右移杨表Y513524与R有关的Y5的横、纵向置换为或者将R分解成Y1的PQ，将Y1的横向置换左移，纵向置换右移杨表Y112345与R有关的Y1的横、纵向置换为11R还可以写成Q1P5Q5P1若要求表示——选基：线性无关，正交希望：给定杨图，正则杨算符作适当组合，使它们正交——可与表示相联系适当组合：杨算符左乘或右乘一个适当的群代数矢量，为以后方便，重点讨论右乘矢量的办法上面的例中，只有Y1Y5≠0，取12大小013上面对S5而言，更一般的，对给定杨图[λ]，若d个正则杨算符不完全正交，我们希望选取合适的群代数矢量yμ右乘到杨算符Yμ上，满足2.构造正交原始幂等元其中，f是杨算符Yμ产生的左(右)理想的维数，与杨图[λ]对应，标记为Y

μ[λ]，计算时，对给定[λ]，为书写方便常省略上标[λ]由上式成立，要求yμ满足正则杨表维数14定义：置换Rμν是把正则杨表Yν变成Yμ的变换，则由定理四推论三：填在Y'同一列的数都不在Y的同一行，则Y'=RYR-1,R=PQ=P'Q'P,Q是杨表Yν的横,纵向置换，上标(μ)表示与杨表Yμ有关15显然YμYν≠0时，有即原始幂等元yμ如何求得，数学归纳法可证明下面的yμ满足前面的要求16用前面S5例验证000P5(1)E与前面结论一致由前面Pμν满足的三个式子可得出群代数矢量，可为0上面讲的是，杨算符右乘群代数矢量yμ，使组合后的杨算符相互正交(以后采用此法)。若采用杨算符左乘群代数矢量组合杨算符，则取17下面是关于置换群正交幂等元的定理3.定理六在与给定杨图[λ]对应的单纯双边理想I[λ]中，下面d[λ]个幂等元eμ[λ]构成一组完备的正交原始幂等元其中，Yμ[λ]对应杨图[λ]的杨算符，恒元可按这些原始幂等元分解18三、置换群不可约表示的表示矩阵每个杨图对应置换群的一个不可约表示现在讨论给定杨图，如何选择标准基，并在此标准基中如何具体计算置换群群元素的表示矩阵因杨图已给定，下面计算中略去标记杨图的指标[λ]1.标准基的选择前面定义的置换Rνμ是把正则杨表Yμ变成Yν的变换对给定杨图[λ]，由定理六：一组完备正交的原始幂等元为19由这些置换Rνμ与正则杨算符构造的原始幂等元可定义d2个基Rνμeμ可以自动产生其左边对应的eν20由Rνμ满足的条件可证明，上面定义的bνμ满足标准基的条件因此，上面定义的bνμ就是置换群的标准基，同一原始幂等元生成的最小左(右)理想在这组基中得到的表示完全相同。选定基后，可计算置换群的不可约表示。2.不可约表示在左理想L1中，找置换群元素S的表示矩阵D(S)δρνb11→e1

21为简化上式，把两个杨算符之间的量移开以消去一个杨算符，依据等式右边的量与e1成正比。yν是群元素的组合，组合系数为+1,-1,可以在形式上写成设(Tk)-1是把杨表Yν变成杨表Yνk；S是把杨表Yμ变成Yμ(S)；则上式可化为22(Tk)-1：Yν→YνkS：Yμ→Yμ(S)

计算YνkYμ(S)

若存在一对数，在杨表Yμ(S)中填在同一行，且在杨表Yνk中填在同一列，则反之，若填在杨表Yμ(S)同一行的数都不在杨表Yνk的同一列，则存在置换R=Pμ(S)Qμ(S)

Yνk=RYμ(S)R-123对应Yνk的置换之积方括号中的置换是Yνk的纵向置换，其作用是将Yμ(S)→Yνk；其逆变换可把

Yνk→Y'，使Y'和Yμ(S)每一对应行包含的填数相同，但填数顺序不一定相同前面24e1

25看方括号中的表达式，置换乘积从右向左作用方括号中的置换是一个恒等变换→等式右边正比于e1选择标准基，置换群的不可约表示的矩阵元素都是整数{1，0，-1}，因此置换群的不可约表示都是实表示263.表示矩阵元的计算δk：yν的展开系数(n<5时yν=E)

方法：若存在一对数，填在Yμ(S)同一行，且在Yνk的同一列，则δ(Qνk)=0；

若填在Yμ(S)同一行的数都不在Yνk的同一列，则找Yνk的纵向置换Qνk-1，它将Yνk→Y'，使Y'与Yμ(S)每行的填数相同，δ(Qνk)是Qνk的置换宇称δ(Qνk)：可通过对比Yνk与Yμ(S)得到首先写出杨图[λ]对应的正则杨表Yν及yν（得到Tk）用列表法计算群元素S在表示[λ]中的表示矩阵27逐项计算(Tk-1)对Yν作用，得到新杨表Yνk用新杨表Yνk代替Yν中的Tk，得到杨表的组合式，按ν增加的次序填在表的左一列，这一列对计算任何群元素表示矩阵都相同例：n=5，对杨图[3,2]，S=(12345)杨表Y112345杨表Y212435杨表Y312534杨表Y413425杨表Y513524将要计算的矩阵元素S作用在正则杨表Yμ上得到Yμ(S)按μ的增加顺序列于表的最上一行Table28表的内容d×d，通过比较Yνk与Yμ(S)，得到δ(Qνk)用δ(Qνk)代替最左一列第ν行中的杨表Yνk得到组合系数就是Dνμ(S)，填入表中ν行μ列位置表中对角元之和就是特征标Qνk：Yνk→Y'与Yμ(S)每行填数相同(YνkYμ(S)≠0时)，因此，要先判断YνkYμ(S)是否为零Table练习：S5,[3,2]和S4,[2,2]:S=(12),S=(23)的表示2912(-1)-00-11-00-(-1)0-0(-1)(-1)(-1)0000000000100(-1)01130四、计算特征标的等效方法前面列表法计算出置换群不等价不可约表示矩阵→不可约表示的特征标，但这种方法比较复杂下面介绍一种等效方法，无需计算表示矩阵，只根据表示[λ]和类(l)这两个配分数，就可方便地计算出特征标步骤把描写类的非零配分数按顺序排列(由小到大)例：n=5，对杨图[λ]=[3,2]表示特征标表S5的类(15)(13,2)(1,22)(12,3)(2,3)(1,4)(5)31排定后，用l1个1,l2个2,...,lj个j填入杨图[λ]，要满足正则填充法：每个数字填完后，已填格子必须构成“正则杨表”填充同一数字的格子必须相连由填同一数字的最左下方格子开始，沿向右或向上的方向，可以不回头地一次走遍填该数的全部格子这些格子所占行数减1得到的奇偶性是该数字的填充宇称+1或-1，即(-1)r-1：r是同一数字填格所占行数按上面方法将全部数字填入杨图，称一次正则填充；一次正则填充的宇称是所有数字填充宇称的乘积将各次正则填充的填充宇称相加即得到类(l)在表示[λ]中的特征标χ[λ](l)恒元(1n):自成一类，特征表示不可约表示[λ]的维数，用前面钩形规则计算32杨图[λ]=[3,2],S5的类(15)(13,2)(1,22)(12,3)(2,3)(1,4)(5)(15)：d[3,2]=5(1,22):将1个1，2个2，2个3填入[3,2]123441→+1；2→+13→+1；4→+1数字的填充宇称(-1)r-1124341342414423(13,2):将1个1，1个2，1个3，2个4填入[3,2]12233χ(1,22)=1χ(13,2)=1133221233233练习：用等效方法计算S6群各类在下列不可约表示中的特征标(1)[3,2,1](2)[3,3](3)