概率论初步知识介绍课件

本资料来源本资料来源第三讲

概率知识回顾第三讲概率知识回顾第一章概率论初步第一章概率论初步第一节 基础概念随机试验和随机事件样本空间事件的关系计数法则第一节 基础概念随机试验和随机事件一、概率基本概念1、随机试验在讨论概率时，我们定义试验为产生结果的任何过程。随机试验是指从某一研究目的出发，对随机现象进行观察均称为。

试验 试验结果抛硬币 正面，反面抽取一个零件检查 合格，不合格踢足球 赢，输，平局一、概率基本概念1、随机试验试验 试验结果2、随机试验必须满足的三个条件（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的。并且不止一个；（3）每次试验总只出现这些可能结果中的一个，试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。一、概率基本概念3、随机事件随机试验中可能出现或可能不出现的事件称为随机事件。2、随机试验必须满足的三个条件一、概率基本概念3、随机事件一、概率基本概念4、样本空间试验所有可能的结果所组成的集合，称为样本空间，常用S表示。若样本空间有k个可能结果组成，则可记为S={w1,w2,…wk}。5、样本点随机试验的每一个可能结果。可用只包含一个元素w的单点集{w}表示，称为样本点。一、概率基本概念4、样本空间5、样本点一、基本概念6、基本事件、基本事件组、复合事件随机事件的每一个可能结果称为基本事件（不可再分）；所有基本事件的全体称为基本事件组；若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。例如：一张红颜色的扑克牌一张红色A.一、基本概念6、基本事件、基本事件组、复合事件二、计数法则1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步骤，第一步有n1个可能结果，第二步有n2个可能结果，如此等等，试验结果的总数就是（n1)(n2)….(nk)例如：连续抛掷两枚硬币，结果为：正反正反正反（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）二、计数法则1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步例：进度控制中的树形图肯塔基电力公司（KP&P）进度树形图（2，6）（2，7）（2，8）（3，6）（3，7）（3，8）（4，6）（4，7）（4，8）例：进度控制中的树形图（2，6）（3，6）（4，6）阶乘n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1排列从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。若n=r叫全排列。

=n(n-1)···(n-r+1)

=2.组合计数法则阶乘2.组合计数法则

组合计数法则不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合，组合方法有组合计数法则的特征是不考虑抽样排序例如：质量检查人员从5个零件中随机抽取两个进行检验，共有多少种抽法。A B C D EAB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE组合计数法则不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合三、事件的关系与概率1、必然事件和不可能事件必然事件是指在每一次试验中必然出现的结果。最常见的必然事件是样本空间S；不可能事件是指在每一次试验中不可能出现的结果。2、事件包含若A发生B发生，则事件A含于事件B,或事件B包含事件A。记为AB。3、事件等若AB且BA，则A和B相等，记作A=B。三、事件的关系与概率1、必然事件和不可能事件4、事件和(并)若事件A与B至少有一个发生这一事件，称为A与B的和(并)。记作A∪B若A、B互斥，则记为A+B。5、事件积(交)事件A与B同时发生这一事件，称为A与B的交。记作A∩B或AB。6、事件差事件A发生而B不发生这一事件称为A与B之差。记作A-B或。三、事件的关系4、事件和(并)三、事件的关系7、事件逆样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、对立事件或互补事件。记作。8、互斥事件如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。三、事件的关系7、事件逆三、事件的关系在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？3、某项工程按期完成的“可能”有多大？4、新投资赢利的机率有多大？解决这些不确定性问题的最有效的方法是建立概率这一概念基础上的。概率是某事件将会发生的可能性的一种数量测度。因此概率可以用来测量上述4个事件不确定性的程度。概率的特点概率0.51.0事件是否发生的可能性均等事件发生可能性递增在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题1、如果提高产品价第二节 概率的定义古典概率的定义概率的统计定义主观概率的定义第二节 概率的定义古典概率的定义一项试验，如果只有有限种试验结果n，并且每一种试验出现的可能性相同，而事件A是由其中的m个结果所组成，那么就说事件A出现的概率是m/n,记为：P(A)=m/n一、古典概率的定义各种试验结果发生的可能性均相等一项试验，如果只有有限种试验结果n，并且每一种试验出现的可能

对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，可用通过大量观察或重复实验的方法求出事件的频率，再根据频率随实验次数变化的趋势来确定概率的方法，就是概率的统计定义。二、概率的统计定义（试验概率）例：KP&P公司40项工程资料样本点工程项目样本点概率（2，6）60.15（2，7）60.15（2，8）20.05（3，6）40.10（3，7）80.20（3，8）20.05（4，6）20.05（4，7）40.10（4，8）60.15

对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，可用通过大

统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但有些实验或不可能重复进行（如社会经济现象、政治变革等。如俄国革命、文革）或代价太昂贵等，因此就以有理智和经验丰富的专家对某一事件进行的主观判断作为其发生的概率。三、主观概率的定义统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但有些实验或不可能分配概率的基本要求

每种试验结果分配到的概率在0和1之间所有试验结果的概率之和必须等于1。P(E1)+P(E2)+…….+P(En)=1分配概率的基本要求每种试验结果分配到的概率在0和1之间P第三节 概率的基本运算法则概率的加法定理概率的乘法定理第三节 概率的基本运算法则概率的加法定理一、概率的加法定理若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)=P(A)+P(B)一般，若A1,A2,…,An中任取两两事件均互不相容，则有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)[例]100件产品中有70件一等品，25件二等品，5件废品。问任抽1件产品是h合格品的概率是多少？解：P(A∪B)=P(A)+P(B)=70/100+25/100=0.951、互斥事件的加法定理KP&P公司案例：十个月完工的概率是多少？工期超过十个月的概率是多少？一、概率的加法定理若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)一、概率的加法定理如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记为AB。两个相容事件A与B之和的概率为：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)[例]投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚钱的概率为多少？解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.92、相容事件的加法定理一、概率的加法定理如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称加法定理举例：小型装配线工厂业绩评价：50名雇员

5人未及时完成工作，6人产品中有次品，2人未及时完成且出现次品。未按时完成任务定义为实践L，有次品定义为事件DP(L)=5/50=0.1P(D)=6/50=0.12P(LD)=2/50=0.04

工人被认为低业绩等级的概率为：

P(L+D)=P(L)+P(D)-P(LD)=0.18加法定理举例：二、概率的乘法定理在事件A出现的条件下，事件B出现的概率，或者事件B出现的情况下A出现的概率。用P(A|B)表示。

P(AB)是事件A、B同时发生的概率；

P(A)和P(B)是事件A或B的边缘概率。1、相容事件的条件概率二、概率的乘法定理在事件A出现的条件下，事件B出现的概率，或二、概率的乘法定理由条件概率可知，在一次实验中事件A与事件B同时出现的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积。即：P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)2、相容事件的联合概率二、概率的乘法定理由条件概率可知，在一次实验中事件A与事件B二、概率的乘法定理相容事件的边缘概率等于包括单一事件出现的那些联合概率的总和。即：其中，ΣBi=S是必然事件，BiBj=Φ。3、相容事件边缘概率二、概率的乘法定理相容事件的边缘概率等于包括单一事件出现的那二、概率的乘法定理事件A、B独立P(AB)=P(A)·P(B)一般，若A1,A2,…,An两两相互独立P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。4、独立事件的概率二、概率的乘法定理事件A、B独立P(AB)=P(A案例：美国某警察局问题共有警察1200人，男性960人，女性240人，过去两年中，男性提升288人，女性提升36人（共提升324人）判断：是否有性别歧视。升职信息表

男性（M）女性(W)合计提升人数28836324未提升人数672204876合计9602401200

案例：美国某警察局问题升职信息表

男性（M）女性(W)合计提由上表得出概率信息

P(MY)=288/1200=0.24P(MN)=6721200=0.56P(WY)=361200=0.03P(WN)=2041200=0.17联合概率分布及边缘概率为

男性（M）女性(W)合计提升（Y）0.240.030.27未提升(N)0.560.170.73合计0.800.201.00

由上表得出概率信息联合概率分布及边缘概率为

男性（M）女性(计算及结论：P(Y/M)=288/960=0.30即：P(Y/M)=P(MY)/P(M)=0.24/0.8=0.30同理：

P(Y/W)+P(YW)/P(W)=0.03/0.2=0.15结论：女性提升率明显偏低。练习：p149,34计算及结论：P(Y/M)=288/960=0.30同理第四节 全概率公式和Bayes定理全概率公式Bayes定理—Bayes决策的基础概率修正过程先验概率新信息Bayes定理后验概率第四节 全概率公式和Bayes定理全概率公式概率修正过程一、全概率公式设A1,A2,…,An是一个完备事件组，事件B仅当完备事件组中任意事件Ai(I=1,2,…,n)发生时才能发生，且P(Ai)>0，则有B=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn第四节 全概率公式和Bayes定理一、全概率公式设A1,A2,…,An是一个完备事件组，事件B二、Bayes定理—Bayes决策的基础若存在一个完整的和互斥的事件A1,A2,…An的集合，事件Ai中的某一个事件的出现是另外一个事件B发生的必要条件。P(B|Ai)和先验概率P(Ai)是已知的。给定B已发生，事件Ai的后验概率为：第四节 全概率公式和Bayes定理二、Bayes定理—Bayes决策的基础若存在一个完整的和互案例：两家供货商（A!,A2)质量等级问题描述A1(0.65)A2(0.35)G(0.98)B(0.02)G(0.95)B(0.05)P(A1G)=P(A1)P(G/A1)P(A1B)=P(A1)P(B/A1)P(A2G)=P(A2)P(G/A2)P(A2B)=P(A2)P(B/A2)注释：G表示零件质量优良；B表示零件质量糟糕案例：两家供货商（A!,A2)质量等级问题描述A1A2G(0两家供货商(A1,A2)质量等级分析：P(G/A1)=0.98P(B/A1)=0.02P(G/A2)=0.95P(B/A2)=0.05P(A1,G)=P(A1)P(G/A1)=0.65*0.98=0.6370P(A1,B)=0.0130P(A2,G)=P(A2)P(G/A2)=0.35*0.95=0.3325P(A2,B)=0.0175

购买零件后发现质量问题，来自A1或A2的概率为

P(A1/B)=0.4262P(A2/B)=0.5738两家供货商(A1,A2)质量等级分析：P(G/A1)=0练习：医生分析后得出病人得两类疾病D1,D2的先验概率P(D1)=0.60,P9D2)=0.40;疾病伴随一定的症状（S1,S2或者S3),并知道每一症状出现的概率P(s1)=0.41,P(S2)=0.12,P(S3)=0.102,及以下信息：先验概率 S1 S2 S3D1(0.6) 0.15 0.10 0.15D2(0.4) 0.80 0.15 0.03要求计算后验概率：1）病人有症状S12)病人有症状S23）病人有症状S3练习：医生分析后得出病人得两类疾病D1,D2的先验概率先验概某公司有50000元富余资金，如用于某项开发事业估计成功率为96%，成功时一年可获利12%，但一旦失败，有丧失全部资金的危险。如把资金存放于银行，则可稳得年利6%。为获取更多情报，该公司拟求助于咨询服务，咨询费用500元，但咨询意见仅供参考，帮助下决心。咨询公司过去类似200例咨询意见实施结果见下表。

完成结果

咨询意见投资成功投资失败合计可以投资不宜投资154次

38次2次6次156次

44次合计192次8次200次某公司有50000元富余资金，如用于某项开发事业估计成功率为本资料来源本资料来源第三讲

概率知识回顾第三讲概率知识回顾第一章概率论初步第一章概率论初步第一节 基础概念随机试验和随机事件样本空间事件的关系计数法则第一节 基础概念随机试验和随机事件一、概率基本概念1、随机试验在讨论概率时，我们定义试验为产生结果的任何过程。随机试验是指从某一研究目的出发，对随机现象进行观察均称为。

试验 试验结果抛硬币 正面，反面抽取一个零件检查 合格，不合格踢足球 赢，输，平局一、概率基本概念1、随机试验试验 试验结果2、随机试验必须满足的三个条件（1）试验可以在相同的条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的。并且不止一个；（3）每次试验总只出现这些可能结果中的一个，试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果。一、概率基本概念3、随机事件随机试验中可能出现或可能不出现的事件称为随机事件。2、随机试验必须满足的三个条件一、概率基本概念3、随机事件一、概率基本概念4、样本空间试验所有可能的结果所组成的集合，称为样本空间，常用S表示。若样本空间有k个可能结果组成，则可记为S={w1,w2,…wk}。5、样本点随机试验的每一个可能结果。可用只包含一个元素w的单点集{w}表示，称为样本点。一、概率基本概念4、样本空间5、样本点一、基本概念6、基本事件、基本事件组、复合事件随机事件的每一个可能结果称为基本事件（不可再分）；所有基本事件的全体称为基本事件组；若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件。例如：一张红颜色的扑克牌一张红色A.一、基本概念6、基本事件、基本事件组、复合事件二、计数法则1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步骤，第一步有n1个可能结果，第二步有n2个可能结果，如此等等，试验结果的总数就是（n1)(n2)….(nk)例如：连续抛掷两枚硬币，结果为：正反正反正反（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）二、计数法则1.多步骤试验（乘法原理）：如果一个试验有K个步例：进度控制中的树形图肯塔基电力公司（KP&P）进度树形图（2，6）（2，7）（2，8）（3，6）（3，7）（3，8）（4，6）（4，7）（4，8）例：进度控制中的树形图（2，6）（3，6）（4，6）阶乘n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1排列从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。若n=r叫全排列。

=n(n-1)···(n-r+1)

=2.组合计数法则阶乘2.组合计数法则

组合计数法则不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合，组合方法有组合计数法则的特征是不考虑抽样排序例如：质量检查人员从5个零件中随机抽取两个进行检验，共有多少种抽法。A B C D EAB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE组合计数法则不考虑顺序，从n个对象中每次抽取r个进行组合三、事件的关系与概率1、必然事件和不可能事件必然事件是指在每一次试验中必然出现的结果。最常见的必然事件是样本空间S；不可能事件是指在每一次试验中不可能出现的结果。2、事件包含若A发生B发生，则事件A含于事件B,或事件B包含事件A。记为AB。3、事件等若AB且BA，则A和B相等，记作A=B。三、事件的关系与概率1、必然事件和不可能事件4、事件和(并)若事件A与B至少有一个发生这一事件，称为A与B的和(并)。记作A∪B若A、B互斥，则记为A+B。5、事件积(交)事件A与B同时发生这一事件，称为A与B的交。记作A∩B或AB。6、事件差事件A发生而B不发生这一事件称为A与B之差。记作A-B或。三、事件的关系4、事件和(并)三、事件的关系7、事件逆样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、对立事件或互补事件。记作。8、互斥事件如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。三、事件的关系7、事件逆三、事件的关系在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？3、某项工程按期完成的“可能”有多大？4、新投资赢利的机率有多大？解决这些不确定性问题的最有效的方法是建立概率这一概念基础上的。概率是某事件将会发生的可能性的一种数量测度。因此概率可以用来测量上述4个事件不确定性的程度。概率的特点概率0.51.0事件是否发生的可能性均等事件发生可能性递增在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题1、如果提高产品价第二节 概率的定义古典概率的定义概率的统计定义主观概率的定义第二节 概率的定义古典概率的定义一项试验，如果只有有限种试验结果n，并且每一种试验出现的可能性相同，而事件A是由其中的m个结果所组成，那么就说事件A出现的概率是m/n,记为：P(A)=m/n一、古典概率的定义各种试验结果发生的可能性均相等一项试验，如果只有有限种试验结果n，并且每一种试验出现的可能

对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，可用通过大量观察或重复实验的方法求出事件的频率，再根据频率随实验次数变化的趋势来确定概率的方法，就是概率的统计定义。二、概率的统计定义（试验概率）例：KP&P公司40项工程资料样本点工程项目样本点概率（2，6）60.15（2，7）60.15（2，8）20.05（3，6）40.10（3，7）80.20（3，8）20.05（4，6）20.05（4，7）40.10（4，8）60.15

对于试验中其结果的出现并不具等可能性时，可用通过大

统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但有些实验或不可能重复进行（如社会经济现象、政治变革等。如俄国革命、文革）或代价太昂贵等，因此就以有理智和经验丰富的专家对某一事件进行的主观判断作为其发生的概率。三、主观概率的定义统计定义的缺陷在于需要大量的重复实验，但有些实验或不可能分配概率的基本要求

每种试验结果分配到的概率在0和1之间所有试验结果的概率之和必须等于1。P(E1)+P(E2)+…….+P(En)=1分配概率的基本要求每种试验结果分配到的概率在0和1之间P第三节 概率的基本运算法则概率的加法定理概率的乘法定理第三节 概率的基本运算法则概率的加法定理一、概率的加法定理若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)=P(A)+P(B)一般，若A1,A2,…,An中任取两两事件均互不相容，则有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)[例]100件产品中有70件一等品，25件二等品，5件废品。问任抽1件产品是h合格品的概率是多少？解：P(A∪B)=P(A)+P(B)=70/100+25/100=0.951、互斥事件的加法定理KP&P公司案例：十个月完工的概率是多少？工期超过十个月的概率是多少？一、概率的加法定理若AB=Φ,P(AB)=0,且P(A+B)一、概率的加法定理如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记为AB。两个相容事件A与B之和的概率为：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)[例]投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚钱的概率为多少？解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.92、相容事件的加法定理一、概率的加法定理如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称加法定理举例：小型装配线工厂业绩评价：50名雇员

5人未及时完成工作，6人产品中有次品，2人未及时完成且出现次品。未按时完成任务定义为实践L，有次品定义为事件DP(L)=5/50=0.1P(D)=6/50=0.12P(LD)=2/50=0.04

工人被认为低业绩等级的概率为：

P(L+D)=P(L)+P(D)-P(LD)=0.18加法定理举例：二、概率的乘法定理在事件A出现的条件下，事件B出现的概率，或者事件B出现的情况下A出现的概率。用P(A|B)表示。

P(AB)是事件A、B同时发生的概率；

P(A)和P(B)是事件A或B的边缘概率。1、相容事件的条件概率二、概率的乘法定理在事件A出现的条件下，事件B出现的概率，或二、概率的乘法定理由条件概率可知，在一次实验中事件A与事件B同时出现的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件出现下的条件概率的乘积。即：P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)2、相容事件的联合概率二、概率的乘法定理由条件概率可知，在一次实验中事件A与事件B二、概率的乘法定理相容事件的边缘概率等于包括单一事件出现的那些联合概率的总和。即：其中，ΣBi=S是必然事件，BiBj=Φ。3、相容事件边缘概率二、概率的乘法定理相容事件的边缘概率等于包括单一事件出现的那二、概率的乘法定理事件A、B独立P(AB)=P(A)·P(B)一般，若A1,A2,…,An两两相互独立P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)。4、独立事件的概率二、概率的乘法定理事件A、B独立P(AB)=P(A案例：美国某警察局问题共有警察1200人，男性960人，女性240人，过去两年中，男性提升288人，女性提升36人（共提升324人）判断：是否有性别歧视。升职信息表

男性（M）女性(W)合计提升人数28836324未提升人数672204876合计9602401200

案例：美国某警察局问题升职信息表

男性（M）女性(W)合计提由上表得出概率信息

P(MY)=288/1200=0.24P(MN)=6721200=0.56P(WY)=361200=0.03P(WN)=2041200=0.17联合概率分布及边缘概率为

男性（M）女性(W)合计提升（Y）0.240.030.27未提升(N)0.560.170.73合计0.800.201.00

由上表得出概率信息联合概率分布及边缘概率为

男性（M）女性(计算及结论：P(Y/M)=288/960=0.30即：P(Y/M)=P(MY)/P(M)=0.24/0.8=0.30同理：

P(Y/W)+P(YW)/P(W)=0.03/0.2=0.15结论：女性提升率明显偏低。练习：p149,34计算及结论：P(Y/M)=288/960=0.30同理第四节 全概率公式和Bayes定理全概率公式Bayes定理—Bayes决策的基础概率修正过程先验概率新信息Bayes定理后验概率第四节 全概率公式和Bayes定理全概率公式概率修正过程一、全概率公式设A1,A2,…,An是一个完备事件组，事件B仅当完备事件组中任意事件Ai(I=1,2,…,n)发生时才能发生，且P(Ai)>0，则有B=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn第四节 全概率公式和