检定与推定计量值与计数值课件

检定与推定

计量值与计数值检定与推定计量值与计数值1關於計量值的檢定假設檢定的步驟：從A、B二個母集團裡，各隨機地抽取大小nA及nB的樣本，根據這樣本數據來調查A、B二母集團的平均值μA及μB是否有差異，通常這種問題是先假設H0。H0：μA=μB其次，計算樣本的數據，在這種假設下，實際能實現的概率有多大，假如所計算的概率比預先所指定的概率α小的話，則放棄假設，假如大於α的話，則承認假設。當判定放棄無效假設後，所要承認的另一假設謂之對立假設，以符號H1表示。關於計量值的檢定假設檢定的步驟：從A、B二個母集團裡，各隨機2假設檢定的步驟由於對立假設H1所設型式的不同，檢定通常有雙邊檢定和單邊檢定兩種。雙邊檢定以『A不同於B』，即『A、B有差異』表示。顧及「是否不同」單邊檢定以『A比B大（或小）』之型式表示。著重於「誰大、誰小」的假設。普通使用單邊檢定時，在技術上，必先曉得，A可能比B大或小，才有用，不然就得使用雙邊檢定。假設檢定的步驟由於對立假設H1所設型式的不同，檢定通常有雙邊3冒險率或有意水準預先所指定的概率α，謂之冒險率或有意水準，α之大小並無一定的規定，但工業上一般採用α=5%。作極重要的判斷時，則採用1%（3個標準差），以有意水準α放棄無效假設H0時，可說是「在有意水準α下A、B二母集團的平均值有差異」。在有意水準α下，不能放棄無效假設H0，即承認H0時，可說是「在有意水準α下，A、B二母集團的平均值不能說有差異」。冒險率或有意水準預先所指定的概率α，謂之冒險率或有意水準，α4假設的檢定設立無效假設H0設立對立假設H1決定冒險率α計算統計量求統計量在無效假設之條件下會出現的概率Pr判斷：雙邊檢定時：Pr≦α/2或Pr≧1-α/2時，承認H1否定H0α/2＜Pr＜1-α/2時，不能否定H0單邊檢定時：Pr≦α時，承認H1否定H0；

Pr＞α時，不能否定H0假設的檢定設立無效假設H05檢定某群體母數是否與已知母數不同：有關母變異檢定有關母平均值之檢定σ已知的母平均檢定檢定某群體母數是否與已知母數不同：有關母變異檢定6有關母變異檢定如果要檢定製程改變以後的母變異σ是否與原來的母變異σ不同時，一般是從改變後的製程裡，隨機的抽取n個樣本，根據此樣本來檢定母變異是否改變。

H0：σ2＝σ02H1：σ2≠σ02則X2＝S/σ2會屬於自由度ψ＝n-1的X2分配所以求統計量X02＝S/σ02有關母變異檢定如果要檢定製程改變以後的母變異σ是否與原來的母7有關母變異檢定H0：σ2＝σ02H1：σ2≠σ02則X2＝S/σ2會屬於自由度ψ＝n-1的X2分配所以求統計量X02＝S/σ02

則X02≧X2（ψ，α/2）orX02≦X2（ψ，1-α/2）時，否定H0承認H1

X2（ψ，1-α/2）

＜X02＜X2（ψ，α/2）時，不能否定H0有關母變異檢定H0：σ2＝σ028有關母變異檢定的案例：某制品依照原來的製造方法製造時，已知其強度的變異為σ02=32，

最近改變了製造方法，因要知道改變後的變異σ2是否與σ02=32不同，而從改變後的製程裡隨機抽取n=10的樣本，測定結果為53、48、54、51、48、52、46、50、51、49，試問製造方法改變後製品強度的母變異是否有改變？有關母變異檢定的案例：某制品依照原來的製造方法製造時，已知其9解：NoXX=X-50X212345678910534854514852465051493-241-22-401-1941614416011計256（1）設立假設H0：σ2=32，H1：σ2≠32（2）決定冒險率α=0.05（3）計算偏差平方和S=55.6（4）求X02=S/σ2=55.6/32（5）ψ=n-1=10-1=9X2（ψ，α/2）=19.02X2（ψ，1-α/2）=2.70（6）判定：X2（ψ，1-α/2）＜X02＜X2（ψ，α/2）故不能否定H0結論：在有意水準5%下判定製造方法改變後不能說製品強度之母變異有改變。解：NoXX=X-50X215339計256（1）設立假設H10有關母平均值之檢定改訂作業標準，或製程的一部分改善後，要知道過去的方法所製造製品之母平均μ0與改變後的母平均μ是否不同的檢定時。假設H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0

求t0=（X-μ0）/（σe/√n）的統計量

ψ=n-1的t分配則t0≧t（ψ，α）時，否定H0承認H1t0＜t（ψ，α）時，不能否定H0有關母平均值之檢定改訂作業標準，或製程的一部分改善後，要知道11案例：某製造廠之一製品，因某化學原料改變，可節省製造成本，由化學原料改變後之製程中抽取n=10樣本，測定其品質特性得數據為219，207，211，220，214，215，212，210，219，223。試問原料改變後所生產之製品之品質特性是否有改變（根據經驗知道標準差σ不會改變，過去製品品質特性之母平均μ0=209.3Kg）。案例：12解：N0XX=x-215X2123456789102192072112202142152122102192234-8-45-10-3-54816641625109251664計0236α=0.01X=215S=236σe=√S/（n-1）=5.12t=（X-μ0）/（σe/√n）=3.52t（ψ，α）=t（9，0.01）=3.25t0＞t（ψ，α）故否定H0承認H1結論：在有意水準1%下，判定原料改變後，製品品質特性之母平均已改變。解：N0XX=x-215X21219416計0236α=0.13σ已知的母平均檢定某自動包裝機為要調整包裝重量為50gr經包裝作業員調整後，先包裝12袋，班長以磅秤測定得數據為58，52，50，48，53，47，54，49，47，47，54，50，試問班長是否可認為此包裝作業員的調整是對的？（但已知此包裝機之包裝重量之母變異σ=3.0）解：設立假設H0：μ=50H1：μ≠50（雙邊檢定）σ已知的母平均檢定某自動包裝機為要調整包裝重量為50gr經包14（2）決定冒險率α=0.05（3）求X=50.75（4）計算u0=（X-μ0）/（σ/√n）=（50.75-50）/（3/√12）=0.866（5）查u表u（0.05/2）=1.96（6）判定：u0＜u（α/2）∴不能否定H0

故此班長不能下判定說此作業員所調整之包裝重量是不對的。（2）決定冒險率α=0.0515檢定兩組母數是否不同有關母變異之檢定有關兩組母平均差的檢定成對的數據之差的檢定檢定兩組母數是否不同有關母變異之檢定16有關母變異之檢定為了要知道A、B二組母集團的變異是否不同，而從A、B二組母集團裡，各隨機抽取nA及nB的樣本，根據此樣本的數據以檢定二組變異是否不同。統計量F0=VA/VBF0≧F（ψA，ψB，α/2）否定H0承認H1F0＜F（ψA，ψB，α/2）不能否定H0VA與VB中，較大者為VA較小者為VB有關母變異之檢定為了要知道A、B二組母集團的變異是否不同，而17案例：A、B兩種製造方法所製造的塑膠製品，其引張強力如下表，試檢定A、B兩種塑膠製品的變異是否不同。XAXA=（xA-0.80）.100XA2XBXB=（xB-0.80）.100XB20.790.820.760.800.790.820.750.800.840.76-12-40-12-504-4141601425016160.820.810.780.850.810.830.800.790.860.8021-25130-160414251901360-7831581案例：A、B兩種製造方法所製造的塑膠製品，其引張強力如下表，18（1）設立假設H0：σA2=σB2

H1：σA2≠σB2（2）決定冒險率α=0.05（3）SA=0.00781，VA=SA/（nA-1）=0.000868SB=0.00585，VB=SB/（nB-1）=0.00065（4）計算F0=VA/VB=0.000868/0.00065=1.34（5）ψA=9，ψB=9

故F（ψA，ψB，α/2）=F（9，9，0.025）=4.03（6）判定：

F0＜=F（9，9，0.025）故不能否定H0結論：在有意水準5%下，判定A、B兩種製造法所製造塑膠製品，其變異不能說有差異。（1）設立假設H0：σA2=σB219有關兩組母平均差的檢定從A、B二組母集團隨機各抽取nA及nB的樣本，根據此樣本檢定A、B二組母集團的母平均值是否有差異，其中σA=σB設立假設H0：μA=μB，H1：μA≠μB

統計量t=（XA-XB）/σe.√（1/nA＋1/nB）t0≧t（ψ，α）否定H0承認H1t0＜t（ψ，α）不能否定H0σe=√（SA＋SB）/（nA＋nB-2）有關兩組母平均差的檢定從A、B二組母集團隨機各抽取nA及nB20案例：某零件，有了彎曲不良的問題。研究結果認為零件經熱處理後，A、B二種冷卻法的其中一種冷卻法所製零件彎曲較少，於是從A、B隨機各作10次實驗，試檢定A、B二種冷卻法所製零件的彎曲程度其平均值是否有差異（已知A、B二種冷卻法所製零件之母變異沒有差異）。XAXA=（xA-0.80）.100XA2XBXB=（xB-0.80）.100XB20.790.820.760.800.790.820.750.800.840.76-12-40-12-504-4141601425016160.820.810.780.850.810.830.800.790.860.8021-25130-160414251901360-7831581案例：某零件，有了彎曲不良的問題。研究結果認為零件經熱處理後21（1）設立假設H0：μA=μB，H1：μA≠μB（2）決定冒險率α=0.05（3）計算平均值XA=0.793，XB=0.815（4）求SA，SB及√VSA=0.00781，SB=0.00585，√V=0.0275（5）計算t0=（XA-XB）/√V√（1/nA+1/nB）=-1.786（6）由t表t（18，0.05）=2.101（7）判定：t0＜2.101故不能否定H0結論：在有意水準5%下，判定A、B二種冷卻法所製零件之彎曲程度不能說有差異。（1）設立假設H0：μA=μB，H1：μA≠μB22成對的數據之差的檢定A與B的數據相互成對時，應該採用成對數據的檢定方法假設H0：μd=0，H1：μd≠0

統計量t0=d/（σe/√n）t0≧t（ψ，α）否定H0承認H1t0

＜t（ψ，α）不能否定H0成對的數據之差的檢定A與B的數據相互成對時，應該採用成對數據23案例：為了要知道某乾燥機的右邊與左邊所乾燥的製品其水分是否不同，而隨機各相對的抽取樣本，測定其水分的結果如下，試檢定之。N0右側左側差dD=d×10D212345678910111216.017.215.415.616.317.414.814.315.416.914.715.715.717.314.815.216.017.614.613.614.817.114.215.30.3-0.10.60.40.3-0.20.20.70.6-0.20.50.43-1643-2276-254913616944493642516計35209案例：為了要知道某乾燥機的右邊與左邊所乾燥的製品其水分是否不24（1）設立假設H0：μd=0，H1：μd≠0（2）決定冒險率α=0.01（3）求d值（4）求D=（35/12）×（1/10）=0.29（5）Sd=1.07，σe=√Vd=√1.07/11=0.31（6）計算t0=0.29/（0.31/√12）=3.24（7）查t表t（11，0.01）=3.106（8）判定：t0＞t（11，0.01）故否定H0承認H1結論：在有意水準1%下，判定乾燥機的左邊及右邊所乾燥出來的製品，其水分不同。（1）設立假設H0：μd=0，H1：μd≠025檢定時的檢出力所謂檢出力是指母集團改變時能檢出其改變的概率（1-β）

5860L=56.5KgU=59.5Kgβα/2=2.5%α/2=2.5%σ0/√10=0.79Kgσ0/√10=0.79Kgμ0μ1β2β+β2=β1檢定時的檢出力所謂檢出力是指母集團改變時能檢出其改變的概率（26檢出力的計算-u（β1）=（U-μ1）/（σ/√n）=（59.5-60.0）/（2.5/√10）=-0.63查表得β1=0.264-u（β2）=-4.43（因此值非常小，可視為0）β=β1-β2=0.264檢出力為1-β=0.736故μ1=60Kg時，有74%的機會能檢定出其平均值有改變。檢出力的計算-u（β1）=（U-μ1）/（σ/√n）27計量值的推定母平均的點推定母標準差的推定值σ已知時的母平均區間推定X±u（α/2）σ/√nσ未知時的母平均區間推定X±t（ψ，α）σe/√n母平均差的區間推定（XA-XB）±t（ψA+ψB，α）σe/√（1/nA+1/nB）母變異的區間推定上限：S/x12

下限：S/x22μ=X^σ=R/d2計量值的推定母平均的點推定^28σ已知時的母平均區間推定

從N（μ，σ2）的母群體，隨機抽取n個樣本，根據樣本數推定母平均μ在信賴度（1-α）下的信賴界限，如下式： 上限：x＋u（α/2）σ/√n

下限：x－u（α/2）σ/√nσ=1-u（α/2）0u（α/2）α/2α/2σ已知時的母平均區間推定 從N（μ，σ2）的母群體，隨機抽取29案例：某製品強度的母標準差若σ=3kg/mm2已知時，求信賴度95%的強度母平均的信賴界限。α=1-95%=5%，ψ=n-1=10-1=9u（9，0.05/2）=1.96X=50.2∴上限：50.2+1.96（3/√10）=52.1（Kg/mm2）

下限：50.2-1.96（3/√10）=48.3（Kg/mm2）故信賴度95%下，可判定強度的母平均在48.3kg/mm2~52.1kg/mm2之間。xi53485451485246505149502Xj=xi-503-241-22-401-12Xj294161441601156案例：某製品強度的母標準差若σ=3kg/mm2已知時，求信賴30σ未知時的母平均區間推定

利用t分配推定母平均μ在信賴度（1-α）的信賴界線如下式：

上限：x＋t（φ，α）σe/√n

下限：x－t（φ，α）σe/√n

σe為不偏變異V的平方根，但t（φ，α）為自由度φ之t分配表的兩邊或概率α/2的點。σ未知時的母平均區間推定 利用t分配推定母平均μ在信賴度（131案例：某製品強度的母標準差σ若未知時，求信賴度95%的強度母平均的信賴界限。α=1-95%=5%，ψ=n-1=10-1=9t（9，0.05）=2.26S=56-（22/10）=55.6，V=S/（n-1）=6.18σe=√V=2.49，X=50.2∴上限：50.2+2.26（2.49/√10）=51.97（Kg/mm2）

下限：50.2-2.26（2.49/√10）=48.43（Kg/mm2）xi53485451485246505149502Xj=xi-503-241-22-401-12Xj294161441601156案例：某製品強度的母標準差σ若未知時，求信賴度95%的xi532母平均差的區間推定

變異相等的二個母群體A、B的母平均差μA-μB在信賴度（1-α）下的信賴界線如下式： 上限：（xA-xB）+t（φA+φB，α）σe

√（1/nA）+（1/nB） 下限：（xA-xB）-t（φA+φB，α）σe

√（1/nA）+（1/nB） 但從二個母群體A、B各隨機抽取樣本nA，nB，求其偏差平方和SA，SB，則

σe=√（SA+SB）/（φA+φB）母平均差的區間推定 變異相等的二個母群體A、B的母平均差μ33

（例）下表的數據是以同種材料在A，B二種的熱處理方法之下，所處理而成的製品的引張強力（kg/mm2）試求信賴度95%的母平均之差的信賴界線。（但已知兩者的母變異相同）XAYA=（XA-7.0）×10YA2XBYB=（XB-7.0）×10YB21234567891011121314157.17.67.97.87.46.67.17.06.97.316984-410-131368164161610197.86.87.67.77.27.97.87.87.27.77.97.97.07.77.38-267298827990736443649481646444981810499計72.727225113.383639 （例）下表的數據是以同種材料在A，B二種的熱處理方法之下，341、求平均值xA=7.0+（27/10）×（1/10）=7.27xB=7.0+（83/15）×（1/10）=7.552、求平方和SA={225-（27）2/10}×1/102=1.521

SB={639-（83）2/15}×1/102=1.797 φA+φB=（nA-1）+（nB-1）=23 V=（SA+SB）/（φA+φB）=（1.521+1.797）/23=0.1443σe=√V=0.383、求信賴度95%的母平均之差的信賴界限上限：（7.55-7.27）+t（23，0.05）0.38×√（1/10+1/15）=0.60下限：（7.55-7.27）-t（23，0.05）0.38×√（1/10+1/15）=-0.04（以0代替）1、求平均值xA=7.0+（27/10）×（1/10）=35母變異的區間推定

從N（μ，σ2）的母群體隨機抽取n個樣本，根據樣本數據推定母變異在信賴度（1-α）的信賴界限，可利用x2分配： 上限：S/x12

下限：S/x22

但S為平方和，x12為自由度ψ=n-1的x2分配表上的下側概率（1-α/2）的點，x22為自由度ψ=n-1的分配表上的上側概率α/2的點。母變異的區間推定 從N（μ，σ2）的母群體隨機抽取n個樣本，36某化學藥品的製造過程中，製造10次的結果，其收量為8.5，7.3，3.0，10.2，3.5，6.5，9.2，5.5，8.2，5.2，求信賴度95%的收量變異的信賴界限。（1）求平方和S=52.01（2）求X12（ψ，α1），X22（ψ，α2）ψ=10-1=9α1=1-α/2=1-0.025=0.975α2=α/2=0.025X12=（9，0.975）=2.70X22=（9，0.025）=19.02（3）求信賴界限：上限：S/X12=52.01/2.70=19.26（gr）

下限：S/X22=52.01/19.02=2.73（gr）某化學藥品的製造過程中，製造10次的結果，其收量為8.5，737母不良率的檢定如果x屬於二項分配，P≦0.5，且np≧5時，此二項分配可近似為μ=np，σ=√np（1-p）之常態分配，所以u=（x-np）/√np（1-p）會屬N（0，12）之常態分配。統計量u0=（x-np0）/√np0（1-p0）則u0≧u（α/2）時，否定H0承認H1u0＜u（α/2）時，不能否定H0母不良率的檢定如果x屬於二項分配，P≦0.5，且np≧5時，38（例）某鑄鐵工廠，過去製程的不良率P0=0.12，最近變更鑄造方法，為要調查變更後的不良率有否改變，而從變更鑄造方法後所產出製品裡，隨機抽取80個樣品，發現3個不良品，試檢定鑄造方法變更後，不良率是否改變。（1）設立假設：H0：P=P0（=0.12）H1：P≠P0（=0.12）（雙邊檢定）（2）決定冒險率α=0.05（3）求統計量np0=80×0.12=9.6＞5，p0＜0.5

所以可近似為N（np0，√np0（1-p0））n=80，x=3u0=（3-np0）/√np0（1-p0）=-2.28（4）求u（α/2）=u（0.025）=1.96（5）判定u0＞u（α/2）故否定H0承認H1（例）某鑄鐵工廠，過去製程的不良率P0=0.12，最39母不良率差的檢定

例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果想知道A、B兩種製造方法所生產之製程不良率是否不同時，一般是從兩種方法所生產之製品裡，各別隨機抽取nA，nB個樣本，檢查各別之不良品數xA，xB個，根據此數據，檢定其製程母不良率是否不同。

xA屬於二項分配可近似為

μA=nApA，σA=√nApA（1-pA）之常態分配

xB屬於二項分配可近似為

μB=nBpB，σB=√nBpB（1-pB）之常態分配

母不良率差的檢定 例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果40

pA=xA/nA可近似的屬於μA=pA，σA=√pA（1-pA）/nA

pB=xB/nB可近似的屬於μB=pB，σB=√pB（1-pB）/nB（pA-

pB）近似的屬於μ=pA-

pB

，σ=√pA（1-pA）/nA+

pB（1-pB）/nB∴u0=（pA-

pB）/√p（1-p）（1/nA+1/nB）

則u0

≧u（α/2）否定H0承認H1

u0

＜u（α/2）不能否定H0pA=xA/nA可近似的屬於μA=pA，σA=√pA（141母不良率差的檢定：例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果想知道A、B兩種製造方法所生產之製品不良率是否不同時，一般是從兩種製造方法所生產之製品裡，各別隨機抽取nA，nB個樣本，檢查各別之不良品數xA，xB個，根據此數據，檢定其製程母不良率是否有不同。（1）設立假設H0：pA=pB，H1：pA≠PB（2）α=0.01（3）推定母不良率P=（xA+xB）/（nA+nB）=0.096（4）u0=（pA-pB）/√P（1-P）（1/nA+1/nB）=4.29（5）u（α/2）=u（0.01/2）=2.58（6）判定：u0

＞u（α/2）故否定H0承認H1鑄造方法檢查數不良品數A法1100133B法80049母不良率差的檢定：例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果42母缺點數的檢定X會屬於波松分布，如果m≧5時此波松分布可近似為N（μ=m，σ=√m）的常態分布，所以u=（x-m）/√m會屬於N（0，12）的常態分布。H0：m=m0H1：m≠m0求統計量u0=（x-m0）/√m0時則u0

≧u（α/2）時否定H0承認H1u0

＜u（α/2）時不能否定H0母缺點數的檢定X會屬於波松分布，如果m≧5時此波松分布可近似43例：某鋼管製造工廠，其電鍍工程，過去平均每1立方公尺有12處刮痕，經某工程師研究結果，改變電鍍方法，今從改變電鍍方法所生產之電鍍製品中檢查刮痕結果，發現每1立方公尺中有6處括痕，試問此工程師所提出之電鍍方法之改善案是否可判定有效？（1）H0：m=m0（=12），H1：m＜m0（=12）（2）α=0.05（3）求統計量u0=（x-m0）/√m0=（6-12）/√12=-1.73（4）求u（α）=u（0.05）=1.645（5）判定u0＞u（0.05）故否定H0承認H1結論：在有意水準5%下，判定電鍍方法改變後，製程刮痕有減少，故判定此改善案有效。例：某鋼管製造工廠，其電鍍工程，過去平均每1立方公尺有12處44母不良率的區間推定不良率P雖屬於二項分步，但np＞5，p≦0.5時可近似為N（μ=p，σ=√p（1-p）/n）的常態分布，故推定母不良率p在信賴度（1-α）的信賴界限為：p（上限）=p+μ（α/2）√p（1-p）/np（下限）=p-μ（α/2）√p（1-p）/n母不良率的區間推定不良率P雖屬於二項分步，但np＞5，p≦045例：某鑄鐵工廠已經知道鑄鐵方法改變後，不良率也變更，今在製程中檢查80個製品裡，發現6個不良品，試推定鑄鐵方法變更後的製程不良率之信賴度95%的信賴界限。解：因np＞5，故可近似常態分布求信賴界限（1）求p=x/n=6/80=0.075（2）求u=（α/2）=u（0.05/2）=1.96（3）求信賴界限

p（上限）=p+u（α/2）√p（1-p）/n=0.075+1.96√0.075（1-0.075）/80=0.133p（下限）=p-u（α/2）√p（1-p）/n=0.017故不良率之信賴度95%的信賴界限為0.017~0.133例：某鑄鐵工廠已經知道鑄鐵方法改變後，不良率也變更，今在製程46母不良率差的推定樣本數充分大（一般是n≧30），並且各別的不良個數大於5時，可近似為常態分布。今有A、B二個群體，其樣本的大小各為nA，nB，不良數各為xA，xB。則二者之不良率為pA=xA/nA，pB=xB/nB

而A、B母不良率差的信賴度（1-α）的信賴界限為PU=（pA-pB）+u（α/2）√[pA（1-pA）/nA+pB（1-pB）/nB]PL=（pA-pB）-u（α/2）√[pA（1-pA）/nA+pB（1-pB）/nB]母不良率差的推定樣本數充分大（一般是n≧30），並且各別的不47例：A、B二台機械所生產的製品，檢查結果如下表，問A、B二台機械間所生產製品不良率是否不同？若不同時，問其差有多大？（95%的信賴區間）解：檢定：p=36/300=0.12u0=2.26u（α/2）=1.96u0＞u（α/2）

故有意水準5%下，可判斷二者之不良率有差異。推定：pA=30/200=0.15，pB=6/100=0.06p（上限）=（0.15-0.06）+1.96√0.15（1-0.15）/200+0.06（1-0.06）/100=0.158p（下限）=0.022其差為2.2%~15.8%項目AB合格17094不合格306計200100例：A、B二台機械所生產的製品，檢查結果如下表，問A、B二台48母缺點數的推定缺點數c雖屬於波松分布，但m≧5時可近似為N（μ=m，σ=√m）之常態分布，故推定母缺點數m在信賴度（1-α）的信賴界限為m（上限）=c+u（α/2）√cm（上限）=c-u（α/2）√c母缺點數的推定缺點數c雖屬於波松分布，但m≧5時可近似為49例：某玻璃製造工廠，過去其玻璃成品平均每100平方公尺有36個氣泡，製造課長為想降低氣泡缺點，研究改進新的製造方法，經實驗新方法先生產500個玻璃製品發現每100平方公尺平均有19個氣泡，試問此新製造方法是否使氣泡缺點減少，若有改善，試問採用新製造方法生產時，其製程每100平方公尺，玻璃成品中將有氣泡若干？（1）檢定：α=0.05，c=19，m0=36u0=（c-m0）/√m0=（19-36）/√36=-2.83u（α）=u（0.05）=1.645u0＞u（α）故否定H0承認H1（2）推定：m（上限）=c+u（α/2）√c=19+1.96√19=27.54m（下限）=c-u（α/2）√c=19-1.96√19=10.46例：某玻璃製造工廠，過去其玻璃成品平均每100平方公尺有3650谢谢！谢谢！51检定与推定

计量值与计数值检定与推定计量值与计数值52關於計量值的檢定假設檢定的步驟：從A、B二個母集團裡，各隨機地抽取大小nA及nB的樣本，根據這樣本數據來調查A、B二母集團的平均值μA及μB是否有差異，通常這種問題是先假設H0。H0：μA=μB其次，計算樣本的數據，在這種假設下，實際能實現的概率有多大，假如所計算的概率比預先所指定的概率α小的話，則放棄假設，假如大於α的話，則承認假設。當判定放棄無效假設後，所要承認的另一假設謂之對立假設，以符號H1表示。關於計量值的檢定假設檢定的步驟：從A、B二個母集團裡，各隨機53假設檢定的步驟由於對立假設H1所設型式的不同，檢定通常有雙邊檢定和單邊檢定兩種。雙邊檢定以『A不同於B』，即『A、B有差異』表示。顧及「是否不同」單邊檢定以『A比B大（或小）』之型式表示。著重於「誰大、誰小」的假設。普通使用單邊檢定時，在技術上，必先曉得，A可能比B大或小，才有用，不然就得使用雙邊檢定。假設檢定的步驟由於對立假設H1所設型式的不同，檢定通常有雙邊54冒險率或有意水準預先所指定的概率α，謂之冒險率或有意水準，α之大小並無一定的規定，但工業上一般採用α=5%。作極重要的判斷時，則採用1%（3個標準差），以有意水準α放棄無效假設H0時，可說是「在有意水準α下A、B二母集團的平均值有差異」。在有意水準α下，不能放棄無效假設H0，即承認H0時，可說是「在有意水準α下，A、B二母集團的平均值不能說有差異」。冒險率或有意水準預先所指定的概率α，謂之冒險率或有意水準，α55假設的檢定設立無效假設H0設立對立假設H1決定冒險率α計算統計量求統計量在無效假設之條件下會出現的概率Pr判斷：雙邊檢定時：Pr≦α/2或Pr≧1-α/2時，承認H1否定H0α/2＜Pr＜1-α/2時，不能否定H0單邊檢定時：Pr≦α時，承認H1否定H0；

Pr＞α時，不能否定H0假設的檢定設立無效假設H056檢定某群體母數是否與已知母數不同：有關母變異檢定有關母平均值之檢定σ已知的母平均檢定檢定某群體母數是否與已知母數不同：有關母變異檢定57有關母變異檢定如果要檢定製程改變以後的母變異σ是否與原來的母變異σ不同時，一般是從改變後的製程裡，隨機的抽取n個樣本，根據此樣本來檢定母變異是否改變。

H0：σ2＝σ02H1：σ2≠σ02則X2＝S/σ2會屬於自由度ψ＝n-1的X2分配所以求統計量X02＝S/σ02有關母變異檢定如果要檢定製程改變以後的母變異σ是否與原來的母58有關母變異檢定H0：σ2＝σ02H1：σ2≠σ02則X2＝S/σ2會屬於自由度ψ＝n-1的X2分配所以求統計量X02＝S/σ02

則X02≧X2（ψ，α/2）orX02≦X2（ψ，1-α/2）時，否定H0承認H1

X2（ψ，1-α/2）

＜X02＜X2（ψ，α/2）時，不能否定H0有關母變異檢定H0：σ2＝σ0259有關母變異檢定的案例：某制品依照原來的製造方法製造時，已知其強度的變異為σ02=32，

最近改變了製造方法，因要知道改變後的變異σ2是否與σ02=32不同，而從改變後的製程裡隨機抽取n=10的樣本，測定結果為53、48、54、51、48、52、46、50、51、49，試問製造方法改變後製品強度的母變異是否有改變？有關母變異檢定的案例：某制品依照原來的製造方法製造時，已知其60解：NoXX=X-50X212345678910534854514852465051493-241-22-401-1941614416011計256（1）設立假設H0：σ2=32，H1：σ2≠32（2）決定冒險率α=0.05（3）計算偏差平方和S=55.6（4）求X02=S/σ2=55.6/32（5）ψ=n-1=10-1=9X2（ψ，α/2）=19.02X2（ψ，1-α/2）=2.70（6）判定：X2（ψ，1-α/2）＜X02＜X2（ψ，α/2）故不能否定H0結論：在有意水準5%下判定製造方法改變後不能說製品強度之母變異有改變。解：NoXX=X-50X215339計256（1）設立假設H61有關母平均值之檢定改訂作業標準，或製程的一部分改善後，要知道過去的方法所製造製品之母平均μ0與改變後的母平均μ是否不同的檢定時。假設H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0

求t0=（X-μ0）/（σe/√n）的統計量

ψ=n-1的t分配則t0≧t（ψ，α）時，否定H0承認H1t0＜t（ψ，α）時，不能否定H0有關母平均值之檢定改訂作業標準，或製程的一部分改善後，要知道62案例：某製造廠之一製品，因某化學原料改變，可節省製造成本，由化學原料改變後之製程中抽取n=10樣本，測定其品質特性得數據為219，207，211，220，214，215，212，210，219，223。試問原料改變後所生產之製品之品質特性是否有改變（根據經驗知道標準差σ不會改變，過去製品品質特性之母平均μ0=209.3Kg）。案例：63解：N0XX=x-215X2123456789102192072112202142152122102192234-8-45-10-3-54816641625109251664計0236α=0.01X=215S=236σe=√S/（n-1）=5.12t=（X-μ0）/（σe/√n）=3.52t（ψ，α）=t（9，0.01）=3.25t0＞t（ψ，α）故否定H0承認H1結論：在有意水準1%下，判定原料改變後，製品品質特性之母平均已改變。解：N0XX=x-215X21219416計0236α=0.64σ已知的母平均檢定某自動包裝機為要調整包裝重量為50gr經包裝作業員調整後，先包裝12袋，班長以磅秤測定得數據為58，52，50，48，53，47，54，49，47，47，54，50，試問班長是否可認為此包裝作業員的調整是對的？（但已知此包裝機之包裝重量之母變異σ=3.0）解：設立假設H0：μ=50H1：μ≠50（雙邊檢定）σ已知的母平均檢定某自動包裝機為要調整包裝重量為50gr經包65（2）決定冒險率α=0.05（3）求X=50.75（4）計算u0=（X-μ0）/（σ/√n）=（50.75-50）/（3/√12）=0.866（5）查u表u（0.05/2）=1.96（6）判定：u0＜u（α/2）∴不能否定H0

故此班長不能下判定說此作業員所調整之包裝重量是不對的。（2）決定冒險率α=0.0566檢定兩組母數是否不同有關母變異之檢定有關兩組母平均差的檢定成對的數據之差的檢定檢定兩組母數是否不同有關母變異之檢定67有關母變異之檢定為了要知道A、B二組母集團的變異是否不同，而從A、B二組母集團裡，各隨機抽取nA及nB的樣本，根據此樣本的數據以檢定二組變異是否不同。統計量F0=VA/VBF0≧F（ψA，ψB，α/2）否定H0承認H1F0＜F（ψA，ψB，α/2）不能否定H0VA與VB中，較大者為VA較小者為VB有關母變異之檢定為了要知道A、B二組母集團的變異是否不同，而68案例：A、B兩種製造方法所製造的塑膠製品，其引張強力如下表，試檢定A、B兩種塑膠製品的變異是否不同。XAXA=（xA-0.80）.100XA2XBXB=（xB-0.80）.100XB20.790.820.760.800.790.820.750.800.840.76-12-40-12-504-4141601425016160.820.810.780.850.810.830.800.790.860.8021-25130-160414251901360-7831581案例：A、B兩種製造方法所製造的塑膠製品，其引張強力如下表，69（1）設立假設H0：σA2=σB2

H1：σA2≠σB2（2）決定冒險率α=0.05（3）SA=0.00781，VA=SA/（nA-1）=0.000868SB=0.00585，VB=SB/（nB-1）=0.00065（4）計算F0=VA/VB=0.000868/0.00065=1.34（5）ψA=9，ψB=9

故F（ψA，ψB，α/2）=F（9，9，0.025）=4.03（6）判定：

F0＜=F（9，9，0.025）故不能否定H0結論：在有意水準5%下，判定A、B兩種製造法所製造塑膠製品，其變異不能說有差異。（1）設立假設H0：σA2=σB270有關兩組母平均差的檢定從A、B二組母集團隨機各抽取nA及nB的樣本，根據此樣本檢定A、B二組母集團的母平均值是否有差異，其中σA=σB設立假設H0：μA=μB，H1：μA≠μB

統計量t=（XA-XB）/σe.√（1/nA＋1/nB）t0≧t（ψ，α）否定H0承認H1t0＜t（ψ，α）不能否定H0σe=√（SA＋SB）/（nA＋nB-2）有關兩組母平均差的檢定從A、B二組母集團隨機各抽取nA及nB71案例：某零件，有了彎曲不良的問題。研究結果認為零件經熱處理後，A、B二種冷卻法的其中一種冷卻法所製零件彎曲較少，於是從A、B隨機各作10次實驗，試檢定A、B二種冷卻法所製零件的彎曲程度其平均值是否有差異（已知A、B二種冷卻法所製零件之母變異沒有差異）。XAXA=（xA-0.80）.100XA2XBXB=（xB-0.80）.100XB20.790.820.760.800.790.820.750.800.840.76-12-40-12-504-4141601425016160.820.810.780.850.810.830.800.790.860.8021-25130-160414251901360-7831581案例：某零件，有了彎曲不良的問題。研究結果認為零件經熱處理後72（1）設立假設H0：μA=μB，H1：μA≠μB（2）決定冒險率α=0.05（3）計算平均值XA=0.793，XB=0.815（4）求SA，SB及√VSA=0.00781，SB=0.00585，√V=0.0275（5）計算t0=（XA-XB）/√V√（1/nA+1/nB）=-1.786（6）由t表t（18，0.05）=2.101（7）判定：t0＜2.101故不能否定H0結論：在有意水準5%下，判定A、B二種冷卻法所製零件之彎曲程度不能說有差異。（1）設立假設H0：μA=μB，H1：μA≠μB73成對的數據之差的檢定A與B的數據相互成對時，應該採用成對數據的檢定方法假設H0：μd=0，H1：μd≠0

統計量t0=d/（σe/√n）t0≧t（ψ，α）否定H0承認H1t0

＜t（ψ，α）不能否定H0成對的數據之差的檢定A與B的數據相互成對時，應該採用成對數據74案例：為了要知道某乾燥機的右邊與左邊所乾燥的製品其水分是否不同，而隨機各相對的抽取樣本，測定其水分的結果如下，試檢定之。N0右側左側差dD=d×10D212345678910111216.017.215.415.616.317.414.814.315.416.914.715.715.717.314.815.216.017.614.613.614.817.114.215.30.3-0.10.60.40.3-0.20.20.70.6-0.20.50.43-1643-2276-254913616944493642516計35209案例：為了要知道某乾燥機的右邊與左邊所乾燥的製品其水分是否不75（1）設立假設H0：μd=0，H1：μd≠0（2）決定冒險率α=0.01（3）求d值（4）求D=（35/12）×（1/10）=0.29（5）Sd=1.07，σe=√Vd=√1.07/11=0.31（6）計算t0=0.29/（0.31/√12）=3.24（7）查t表t（11，0.01）=3.106（8）判定：t0＞t（11，0.01）故否定H0承認H1結論：在有意水準1%下，判定乾燥機的左邊及右邊所乾燥出來的製品，其水分不同。（1）設立假設H0：μd=0，H1：μd≠076檢定時的檢出力所謂檢出力是指母集團改變時能檢出其改變的概率（1-β）

5860L=56.5KgU=59.5Kgβα/2=2.5%α/2=2.5%σ0/√10=0.79Kgσ0/√10=0.79Kgμ0μ1β2β+β2=β1檢定時的檢出力所謂檢出力是指母集團改變時能檢出其改變的概率（77檢出力的計算-u（β1）=（U-μ1）/（σ/√n）=（59.5-60.0）/（2.5/√10）=-0.63查表得β1=0.264-u（β2）=-4.43（因此值非常小，可視為0）β=β1-β2=0.264檢出力為1-β=0.736故μ1=60Kg時，有74%的機會能檢定出其平均值有改變。檢出力的計算-u（β1）=（U-μ1）/（σ/√n）78計量值的推定母平均的點推定母標準差的推定值σ已知時的母平均區間推定X±u（α/2）σ/√nσ未知時的母平均區間推定X±t（ψ，α）σe/√n母平均差的區間推定（XA-XB）±t（ψA+ψB，α）σe/√（1/nA+1/nB）母變異的區間推定上限：S/x12

下限：S/x22μ=X^σ=R/d2計量值的推定母平均的點推定^79σ已知時的母平均區間推定

從N（μ，σ2）的母群體，隨機抽取n個樣本，根據樣本數推定母平均μ在信賴度（1-α）下的信賴界限，如下式： 上限：x＋u（α/2）σ/√n

下限：x－u（α/2）σ/√nσ=1-u（α/2）0u（α/2）α/2α/2σ已知時的母平均區間推定 從N（μ，σ2）的母群體，隨機抽取80案例：某製品強度的母標準差若σ=3kg/mm2已知時，求信賴度95%的強度母平均的信賴界限。α=1-95%=5%，ψ=n-1=10-1=9u（9，0.05/2）=1.96X=50.2∴上限：50.2+1.96（3/√10）=52.1（Kg/mm2）

下限：50.2-1.96（3/√10）=48.3（Kg/mm2）故信賴度95%下，可判定強度的母平均在48.3kg/mm2~52.1kg/mm2之間。xi53485451485246505149502Xj=xi-503-241-22-401-12Xj294161441601156案例：某製品強度的母標準差若σ=3kg/mm2已知時，求信賴81σ未知時的母平均區間推定

利用t分配推定母平均μ在信賴度（1-α）的信賴界線如下式：

上限：x＋t（φ，α）σe/√n

下限：x－t（φ，α）σe/√n

σe為不偏變異V的平方根，但t（φ，α）為自由度φ之t分配表的兩邊或概率α/2的點。σ未知時的母平均區間推定 利用t分配推定母平均μ在信賴度（182案例：某製品強度的母標準差σ若未知時，求信賴度95%的強度母平均的信賴界限。α=1-95%=5%，ψ=n-1=10-1=9t（9，0.05）=2.26S=56-（22/10）=55.6，V=S/（n-1）=6.18σe=√V=2.49，X=50.2∴上限：50.2+2.26（2.49/√10）=51.97（Kg/mm2）

下限：50.2-2.26（2.49/√10）=48.43（Kg/mm2）xi53485451485246505149502Xj=xi-503-241-22-401-12Xj294161441601156案例：某製品強度的母標準差σ若未知時，求信賴度95%的xi583母平均差的區間推定

變異相等的二個母群體A、B的母平均差μA-μB在信賴度（1-α）下的信賴界線如下式： 上限：（xA-xB）+t（φA+φB，α）σe

√（1/nA）+（1/nB） 下限：（xA-xB）-t（φA+φB，α）σe

√（1/nA）+（1/nB） 但從二個母群體A、B各隨機抽取樣本nA，nB，求其偏差平方和SA，SB，則

σe=√（SA+SB）/（φA+φB）母平均差的區間推定 變異相等的二個母群體A、B的母平均差μ84

（例）下表的數據是以同種材料在A，B二種的熱處理方法之下，所處理而成的製品的引張強力（kg/mm2）試求信賴度95%的母平均之差的信賴界線。（但已知兩者的母變異相同）XAYA=（XA-7.0）×10YA2XBYB=（XB-7.0）×10YB21234567891011121314157.17.67.97.87.46.67.17.06.97.316984-410-131368164161610197.86.87.67.77.27.97.87.87.27.77.97.97.07.77.38-267298827990736443649481646444981810499計72.727225113.383639 （例）下表的數據是以同種材料在A，B二種的熱處理方法之下，851、求平均值xA=7.0+（27/10）×（1/10）=7.27xB=7.0+（83/15）×（1/10）=7.552、求平方和SA={225-（27）2/10}×1/102=1.521

SB={639-（83）2/15}×1/102=1.797 φA+φB=（nA-1）+（nB-1）=23 V=（SA+SB）/（φA+φB）=（1.521+1.797）/23=0.1443σe=√V=0.383、求信賴度95%的母平均之差的信賴界限上限：（7.55-7.27）+t（23，0.05）0.38×√（1/10+1/15）=0.60下限：（7.55-7.27）-t（23，0.05）0.38×√（1/10+1/15）=-0.04（以0代替）1、求平均值xA=7.0+（27/10）×（1/10）=86母變異的區間推定

從N（μ，σ2）的母群體隨機抽取n個樣本，根據樣本數據推定母變異在信賴度（1-α）的信賴界限，可利用x2分配： 上限：S/x12

下限：S/x22

但S為平方和，x12為自由度ψ=n-1的x2分配表上的下側概率（1-α/2）的點，x22為自由度ψ=n-1的分配表上的上側概率α/2的點。母變異的區間推定 從N（μ，σ2）的母群體隨機抽取n個樣本，87某化學藥品的製造過程中，製造10次的結果，其收量為8.5，7.3，3.0，10.2，3.5，6.5，9.2，5.5，8.2，5.2，求信賴度95%的收量變異的信賴界限。（1）求平方和S=52.01（2）求X12（ψ，α1），X22（ψ，α2）ψ=10-1=9α1=1-α/2=1-0.025=0.975α2=α/2=0.025X12=（9，0.975）=2.70X22=（9，0.025）=19.02（3）求信賴界限：上限：S/X12=52.01/2.70=19.26（gr）

下限：S/X22=52.01/19.02=2.73（gr）某化學藥品的製造過程中，製造10次的結果，其收量為8.5，788母不良率的檢定如果x屬於二項分配，P≦0.5，且np≧5時，此二項分配可近似為μ=np，σ=√np（1-p）之常態分配，所以u=（x-np）/√np（1-p）會屬N（0，12）之常態分配。統計量u0=（x-np0）/√np0（1-p0）則u0≧u（α/2）時，否定H0承認H1u0＜u（α/2）時，不能否定H0母不良率的檢定如果x屬於二項分配，P≦0.5，且np≧5時，89（例）某鑄鐵工廠，過去製程的不良率P0=0.12，最近變更鑄造方法，為要調查變更後的不良率有否改變，而從變更鑄造方法後所產出製品裡，隨機抽取80個樣品，發現3個不良品，試檢定鑄造方法變更後，不良率是否改變。（1）設立假設：H0：P=P0（=0.12）H1：P≠P0（=0.12）（雙邊檢定）（2）決定冒險率α=0.05（3）求統計量np0=80×0.12=9.6＞5，p0＜0.5

所以可近似為N（np0，√np0（1-p0））n=80，x=3u0=（3-np0）/√np0（1-p0）=-2.28（4）求u（α/2）=u（0.025）=1.96（5）判定u0＞u（α/2）故否定H0承認H1（例）某鑄鐵工廠，過去製程的不良率P0=0.12，最90母不良率差的檢定

例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果想知道A、B兩種製造方法所生產之製程不良率是否不同時，一般是從兩種方法所生產之製品裡，各別隨機抽取nA，nB個樣本，檢查各別之不良品數xA，xB個，根據此數據，檢定其製程母不良率是否不同。

xA屬於二項分配可近似為

μA=nApA，σA=√nApA（1-pA）之常態分配

xB屬於二項分配可近似為

μB=nBpB，σB=√nBpB（1-pB）之常態分配

母不良率差的檢定 例如從A、B兩種製造方法所生產的製品，如果91

pA=xA/nA可近似的屬於μA=pA，σA=√pA（1-pA）/nA

pB=xB/nB可近似的屬於μB=pB，σB=√pB（1-pB）/nB（pA-

pB）近似的屬於μ=pA-

pB

，σ=√pA（1-pA）/nA+

pB（1-pB）/nB∴u0=（pA-

pB）/√p（1-p）（1/nA+1/nB）

則u0

≧u（α/2）否定H0承認H1

u0

＜u（α/2）不能否定H0pA=xA/nA可近似的屬於μA=pA，σA=√pA（192