《调查研究方法》第十四章描述统计分析方法

第十四章描述统计分析方法第一节单变量数据的基础描述指标

第二节单变量数据集中趋势的度量指标第三节单变量数据离散程度的度量指标第四节数据分布形态的描述第五节案例：单变量数据的描述统计第六节案例：双变量数据的描述统计思考题第一节单变量数据的基础描述指标一、定类数据定类数据本身是对现象特征分类的数字表达。市场调查中关于消费者性别、产品品牌类型、广告形式等的数字表达，都属于定类数据。关于定类数据的基本描述方法主要是频数、比例、比率等。（一）频数频数是指变量分布在各个类别的数据个数，也称作次数。把各个类别的频数分别列出来就是频数分布；用表格的形式列出来就是频数分布表。（二）比例比例是指总体中各类别的频数分别占总频数的比重，通常用来反映总体的构成，反映的是部分与总体之间的关系。将计算出的比例乘以１００％，可得百分比。（三）比率比率是指总体中各个类别之间的频数比值，反映的是总体中部分与部分之间的关系。比率也可以用来反映同一现象在不同时间或空间上的数量关系。二、定序数据定序数据本身是对现象特征在有序分类基础上的数字表达。定序数据具有定类数据的特点，但是强调分类的前后位置和排列顺序。（一）累积频数累积频数方法是把总体中各类别的频数依顺序逐级累加起来的方法。从类别顺序开始的位置依次向后进行累加，称为向上累积；从类别顺序最后的位置依次向前进行累加，称为向下累积。该方法反映某一类别以上或某一类别以下的频数之和。（二）累积频数百分比累积频数百分比方法是将各类别频数占总频数的百分比逐级累加起来的方法。在计算市场集中度的方法中，经常使用的洛伦兹曲线就是应用累积频数百分比方法绘制累积频数分布图的典型。三、定距和定比数据定距和定比数据的数学特性高于定类和定序数据，用来描述定类和定序数据的方法皆适用于定距和定比数据。（一）单变量值分组单变量值分组是把每一个变量值单独作为一组。一个数值即是一组，变量值相同的，视为一组；相同变量值的个数，即是这个变量值的频数。（二）组距分组组距分组是将全部变量值划分为若干区间，每一个区间的变量值即为一组的分组方法。该方法适用于连续变量或变量值比较多的情况。在组距分组中，每一组的最小值称为下限（lowerlimit)，每一组的最大值称为上限（upperlimit）。组距分组需要确定组数、组距和组限等。分组步骤。一是确定组数。组数的确定是为了观察数据分布特征的需要。组数的确定既要参考已有经验，也要结合数据的特点和多少。在实际分组时，也可以按斯特奇斯（Sturges）提出的经验公式来确定组数K，作为确定组数的参考。其中，n为数据的个数；组数K采用四舍五入的方法取整数。二是确定组距。在进行组距分组时，一定要遵循“不重不漏”的原则，既不能有数据被漏掉，也不能有重复出现的数据。为此，在统计分组时，为了避免重复，按照惯例“上组限不在内”原则，当相邻两组的上限和下限重叠时，与上限值和下限值相同的数据，要自动归入下限值所在的组内。如果数据是离散的，那么数据本身就是间断的，分组时相邻两组的组限可以采用间断、不重复的方法解决问题；如果数据是连续的，那么分组时相邻两组的组限可以相同、重叠，此时可以遵照“上组限不在内”原则解决可能产生的重复问题。不等距分组。在进行组距分组时，如果因为特殊原因或研究需要，每组的组距不等，那么这样的分组称作不等距分组。不等距分组的组距差异比较大，各组的绝对频数分布情况不能反映频数分布的实际情况，为此，需要计算频数密度来消除组距不同对频数分布的影响。●等距分组。在进行组距分组时，如果各组的组距相等，那么则称作等距分组。等距分组的各组频数分布不受组距大小的影响，与用来消除组距影响的频数密度的分布是一致的，因此可以直接用每组的绝对频数来观察频数分布的特征和规律。●组中值。组距分组只是对数据的整体情况进行了描述，但是对于组内数据的分布状况没有反映，为此可以采用组中值作为各个分组数据的代表值。第二节单变量数据集中趋势的度量指标集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，寻找一组数据中心点的位置是度量集中趋势的关键。一、众数众数是指一组数据中出现次数最多的变量值，可以用表示。众数适用于对所有数据的集中趋势进行度量，特别适用于定性数据的集中趋势度量。一组数据可能有一个或几个众数。当出现一个众数的时候，代表一组数据中只有这一个变量值的频数最高；如果一组数据出现了两个众数，那么该数据分布称作“双峰分布”；如果一组数据出现了三个众数，则称作“三峰分布”。如果一组数据没有明显的集中趋势，那么也可能不存在众数。二、中位数和分位数（一）中位数中位数是指按某一标志量将一组数据从小到大排序后处于中间位置的变量值，可以用表示。中位数是一个位置的代表值。●根据未分组数据确定中位数。步骤如下：①对数据进行排序。假设某一变量的一组数据值分别为按从小到大排序为。式中的n为数据个数。②确定中位数的位置。③确定中位数的值。当n为奇数时，当n为偶数时，●根据分组数据确定中位数。步骤如下：①确定中位数的位置。②确定中位数所在的组。在向上累积的频数分布中找到“中位数的位置”所在的组，这就是中位数组。③确定中位数的值。由于中位数组是一个区间，可用如下公式计算中位数的近似值：（二）四分位数常用的四分位数是通过三个点将全部数据分为四部分，每部分包括25%的数据，处在分位点上的数值就是四分位数。第一个四分位数称为下四分位数；第二个四分位数，也就是中间四分位数，就是中位数；第三个四分位数称为上四分位数。●根据未分组数据确定四分位数。步骤如下：①对数据进行排序。②确定四分位数的位置。③确定四分位数的值。当四分位数的位置在某一个具体数值上时，这个值就是分位数值；当四分位数的位置不在某一个具体数值上时，需要按照四分位数的位置，按比例分摊四分位数位置两侧数值的差值。●根据分组数据确定四分位数。步骤如下：①确定下分位数QL和上分位数QU的位置。②确定下分位数QL和上分位数QU所在的组。在向上累积的频数分布中找到“四分位数的位置”所在的组，这就是四分位数所在的组。③确定四分位数的值。仿照中位数的近似值计算公式，可得计算下四分位数和上四分位数近似值的公式如下：三、均值均值是指算数平均数，是全部数据加总后除以数据个数而得到的值。均值在统计学中具有重要地位，是数据集中趋势的最主要度量指标。算数平均数的计算方法主要适用于数学特性强的定距数据和定比数据，不适用于定类数据和定序数据。（一）未分组数据的算数平均数的计算方法（二）分组数据的算数平均数的计算方法四、众数、中位数和均值的关系众数、中位数和均值是集中趋势的主要度量指标，具有不同的特点和适用性。对于具有单峰分布的数据而言，众数是一组数据中频数最多的变量值，一定位于数据单峰分布中的最高峰；中位数是处于一组数据中间位置上的值；均值则是全部数据的算数平均值。根据数据分布的特征，众数、中位数和平均数的关系见图14.1。如果数据分布是对称的，那么众数、中位数、均值三者相等，即如果数据分布是左偏的，说明数据存在极小值，拉动均值向极小值方面靠拢，众数、中位数是位置代表值，不受极值的影响，那么三者的关系是;如果数据分布是右偏的，说明数据存在极大值，拉动均值向极大值方面靠拢，众数、中位数是位置代表值，不受极值的影响，那么三者的关系是:图14.1众数、中位数和均值的关系图众数是位置代表值，其特点是不受极端值的影响，但是众数不唯一。虽然所有类型的数据都可以计算众数，但是众数最适用于定类数据的集中趋势度量。中位数也是位置代表值，其特点是不受极端值的影响，当一组数据的分布偏斜程度较大时，使用中位数比较合适。中位数最适用于定序数据的集中趋势度量。分位数与中位数类似。均值是所有数据的平均数，利用了全部数据信息，因此，均值的计算容易受到数据极端值的影响，对于偏态分布的数据，均值的代表性较差。均值最适用于定距和定比数值型数据的集中趋势度量。综上来看，不同类型数据的集中趋势度量需要采用恰当的度量指标（见表12.1）。表14.1数据类型和集中趋势度量指标的选择第三节单变量数据离散程度的度量指标离散程度是指一组数据的各个变量值远离其中心值（均值）的程度，是考察数据分散程度的度量方法。一组数据的离散程度越大，其均值的代表性就越差；一组数据的离散程度越小，其均值的代表性就越好。一、

异众比率异众比率，又称作离异比率或变差比，是指非众数组的频数占总频数的比率。计算公式为：异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差。异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性就越好。异众比率指标适用于定类数据的离散程度的度量，当然也适用于定序、定距和定比数据的离散程度的度量二、四分位差四分位差，也称为内距或四分间距，即上四分位数减去下四分位数的差值，用QD表示。计算公式为：四分位差反映了排序之后的一组数据中间50%数据的离散程度。四分位差的数值越小，说明中间数据越集中。四分位差的数值越大，说明中间数据越分散。三、方差和标准差方差和标准差是最广泛使用的离散程度度量指标。方差是一组数据中变量各个值与其均值的离差平方值的平均数。标准差是方差的平方根。（一）总体方差和标准差与方差不同的是，经过开平方获得的标准差具有与变量值相同的计量单位（量纲），因此其实际意义比方差更清楚，在对实际问题的分析中使用更方便。未分组数据的总体方差和标准差。计算公式为：组距分组数据的总体方差和标准差。计算公式为：（二）样本方差和标准差●未分组数据的样本方差和标准差。计算公式为：组距分组数据的样本方差和标准差。计算公式为：四、离散系数离散系数，又称变异系数，使用比较多的离散系数是标准差系数，是利用一组数据的标准差与其相应的均值对比而获得的系数。可以用V表示。离散系数的计算公式为：离散系数的特点是可以消除标准差、方差等离散程度度量指标的量纲，其作用是可以比较不同总体或样本数据的离散程度。离散系数大的，说明变量数据的离散程度大；离散系数小的，说明变量数据的离散程度小。总结：不同类型的数据适宜采用的离散程度度量方法也不相同，调研人员要根据所收集的数据采用恰当的度量方法（见表14.2）。定类数据适合采用异众比率度量离散程度；定序数据可以采用异众比率来度量离散程度，但是更适合采用四分位差度量方法；定距数据和定比数据最适合采用方差和标准差来度量离散程度，离散系数则最适合用于比较不同总体或样本数据的离散程度。表14.2数据类型和离散程度度量指标的选择第四节数据分布形态的描述一、偏态及其度量偏态是对数据分布的偏斜方向和程度的度量。虽然利用众数、中位数和均值的关系可以判断数据分布是对称的，还是左偏或是右偏的，但是要精确判断数据分布不对称的方向和程度，计算偏度系数更为有效。偏度系数的计算公式为：不分组数据：组距分组数据：当分布对称时，离差三次方后的正负值相互抵消，公式中的分子等于０，则α３＝０。当分布不对称时，分子上的正负值不能相互抵消。当α３＞０时，表示正偏离值比较大，可以判断一组数据的分布呈右偏或正偏状态；当α３＜０时，表示负偏离值比较大，可以判断一组数据的分布呈左偏或负偏状态。总结为：偏度系数α３的值没有一定的分界线，一般当α３＞2时，就表明数据偏斜程度很大了。二、峰度及其度量峰度是指数据分布图形与正态分布相比较的尖峭程度。如果数据分布图形比正态分布更高、更瘦，则称作尖峰分布；如果数据分布图形比正态分布更矮、更胖，则称作平峰分布。判断峰度程度可以用峰度系数指标来度量。峰度系数的计算公式为：正态分布的峰度指标为常数３。因此，与正态分布的峰度相比较，当α４＞３时，数据分布的图形为尖峰分布；当α４＜３时，数据分布的图形为平峰分布。总结为：第五节

单变量数据的描述统计分析案例所用数据来自于“城市消费者新能源汽车购买意愿的调查数据”。该数据仅用于学习使用，不代表真实的市场情况。数据可从网络电子课件中下载，文件名为“Ch14data”。一、定类数据的描述统计在“城市消费者新能源汽车购买意愿的调查问卷”中，“购买意愿“被分成了”有购买意愿“和”无购买意愿“两类，是典型的二分类变量，变量数据是定类数据。基于这一变量的调查数据，可以进行频数、众数、异众比率的描述统计。（一）频数关于消费者新能源汽车购买意愿的二分类数据的频数统计见表14-3。表14-3城市消费者新能源汽车购买意愿的频数统计购买意愿频率（人）比例百分比无1280.53853.8有1100.46246.2总计2381100.0（二）众数众数是定类数据的唯一的集中趋势描述指标。根据频数分布表14-3可以看出，“无购买意愿”是“消费者购买新能源汽车意愿”的众数。（三）异众比率异众比率是非众数组的频数占总频数的比率。根据表14-3可知，购买意愿的非众数组是“有购买意愿“，异众比率为46.2%。这个异众比率的值比较大，说明，用”无购买意愿“来反映“城市消费者对新能源汽车的购买意愿”的一般趋势，代表性比较差。二、定序数据的描述统计在“城市消费者新能源汽车购买意愿的调查问卷”中，“消费者对气候变化关注度”被分成了“完全不关注“、”比较不关注“、”一般关注“、”比较关注“、”非常关注“五个层次，这五个层次代表了消费者对气候变化关注度的不同，是一个定序变量，变量的赋值依次为“1“、”2“、”3“、”4“、”5”。有序数据的变量可以进行频数、众数、中位数、四分位数、四分位差的描述统计。（一）频数关于“消费者对气候变化关注度”的频数统计见表14-4。表14-4

城市消费者对气候变化关注程度的频数统计关注程度频率（人）百分比向上累积频数（人）累积百分比完全不关注2811.82811.8比较不关注4418.47230.2一般关注6226.113456.3比较关注5824.419280.7非常关注4619.3238100.0总计238100

（二）众数根据表14-4的数据可知，出现次数最多的“一般关注”是“消费者对气候变化关注度”的众数。（三）中位数“消费者对气候变化关注度”变量本身是一个定序数据，5个选项就是变量值，且是排序的。“消费者对气候变化关注度”变量的数据个数n为238，是偶数。根据未分组数据的中位数计算方法，将238个数据从小到大进行排列。计算中位数的位置为

，即表示中位数位置落在第119个数和第120个数之间，计算可得中位数值是3，是“一般关注”的值。因此，中位数是“一般关注”。另外，根据表14.4中的向上累积频数分布可知，中位数的位置119.5也是落在“一般关注”这一类中，也证明了中位数是“一般关注”。（四）四分位数仍以消费者对气候变化的关注程度为例，四分位数的确定步骤如下：对数据进行排序；确定四分位数的位置和值。。表示下四分位数的位置落在第59和第60个之间，计算可得中位数值是2，是“比较不关注”的值。因此，下四分位数等于“比较不关注”。另外，根据表14.4中的向上累积频数分布可知，中位数的位置59.75也是落在“比较不关注”这一类中，也证明了下四分位数等于“比较不关注”。。同理，中间四分位数=“一般关注“，其值为3。。同理，上四分位数=“比较关注“，其值为4。（五）四分位差利用上述计算的上四分位数

与下四分位数

，可以计算二者之差

。这说明，中位数（一般关注）两侧共有50%的消费者对气候变化的关注度介于“比较不关注“和”比较关注“之间。三、定距和定比数据的描述统计以“城市消费者新能源汽车购买意愿的调查”获得的样本数据为例。“消费者家庭年总收入”变量收集的是连续的数值型数据，属于定距和定比数据类型。样本变量可以采用分组、均值、方差、标准差等多个指标进行描述统计。（一）分组对于“城市消费者家庭年总收入”连续变量，可以采取分组的方法进行描述。1.等距分组步骤是：首先，确定组数。9（组）。其次，确定组距。最后，进行分组。分组结果见表14-5。表14-5家庭年总收入等距分组的频数分布和组中值家庭年总收入分组组中值（万元）频数（人）百分比向上累积频数（人）累积百分比5~10万元7.52912.22912.210~15万元12.57129.810042.015~20万元17.54820.214862.22025万元22.53514.718376.925~30万元27.5218.820485.730~35万元32.5156.321992.035~40万元37.593.822895.840~45万元42.562.523498.345~50万元47.541.7238100.0总计

238100

图14-2城市消费者家庭总收入分组的直方图2.不等距分组根据表14-5展示的分组结果，可以发现，等距分组的结果是高收入组的频数较少，频数在各组间的分布不均衡。虽然这样的分组并不影响对数据的基本了解，但是为了进一步量化分析的需要，特别是为了判断低收入组消费者对于新能源汽车的购买意愿的影响，那么显然表14-3的分组不利于进一步的分析。另外，基于对数据的基本了解，可以发现，全部数据中最大值和最小值与其他数据相差比较大，为了避免出现空白组或者数据被漏掉的情况，可以考虑设置第一组和最后一组作为开口组。为了简化分组，下面采用不等距分组的方法，对家庭总收入进行分组，结果见表14-6。表14-6家庭年总收入不等距分组的频数分布表收入分组频数（人）百分比向上累积频数（人）累积百分比10万元以下2912.22912.210~15万元7129.810042.015~25万元8334.918476.925~40万元4518.922895.840万元以上104.2238100.0总计238100

注：根据“上组限不在内”原则解决数据不重复的问题。（二）样本均值根据未分组原始数据计算的消费者“家庭年总收入”变量的均值为：根据表14-5的分组数据，可知家庭年总收入的数据被分成了9组，根据各组的组中值和频数，可得消费者“家庭年总收入”变量的均值为：

（元）根据原始数据计算的均值193030元肯定是一个准确的数，分组数据计算的均值与之相差593元，这个误差是比较小的。使用组中值代表各组的实际数据需要假定各组数据在组内分布均匀，如果实际数据与这一假定相吻合，那么用分组数据计算均值的结果相对是比较准确的，否则会存在较大的误差。（三）样本方差和标准差。根据未分组原始数据计算的消费者“家庭年总收入”变量的样本方差和标准差为：

（元）根据分组数据计算的消费者“家庭年总收入”变量的样本方差和标准差为：

（元）（四）离散系数。按照样本未分组原始数据计算的消费者“家庭年总收入”变量的离散系数为：离散系数说明了单样本数据的家庭年总收入数据的离散程度。如果是不同样本数据，那么可以通过离差系数来比较不同样本数据的质量。第六节案例：双变量数据的描述统计一、双变量交叉列表双变量交叉列表，也称为列联表、交互分析表，常用来对双变量和多变量的关系进行分析。交叉列表是由行和列组成的，行与列交叉的部分被称作“交叉列表单元格”。一般来讲，交叉列表中的“行”指标用来表示“因变量Y”，“列”指标用来表示“自变量X”。下面以城市消费者新能源汽车购买意愿的调查数据为例，用消费者新能源汽车的购买意愿变量（will）和对气候变化的关注度变量（cc）构建交叉列表，并进行交叉分析，判断两个变量之间的关系。（一）频数交叉列表。表14.7是两个变量数据的频数交叉列表，反映了消费者新能源汽车的购买意愿和对气候变化的关注度两个变量的交互信息，构成了一个２行、５列的列联表，也记作２×５列联表。表14-7will与cc的频数交叉表单位：人

cc

完全不关注比较不关注一般关注比较关注非常关注行合计will购买意愿无1524332630128有1320293216110列合计2844625846238在表14.7中，“行合计”，也称作“行边缘频数”，由行数据加总而得的，如“无购买意愿”的消费者为128人，“有购买意愿”的消费者为110人；“列合计”，也称作“列边缘频数”，是由各列的数据汇总而得的，如表格中的28人、44人、62人、58人、46人；“总合计”是行合计或列合计的频数之和，如表中的238人。这样，列联表所表现的就是在变量X条件下变量Y的分布，或者在变量Y条件下变量X的分布，因此，列联表中的观察值分布称为条件分布，每个具体的观察值就是条件频数，如表中的15人、24人、33人、26人、30人、13人、20人、29人、32人、16人就是条件频数。（二）百分比交叉列表按照百分比计算方式不同，百分比交叉列表可以分成三类：原始百分比交叉列表、列百分比交叉列表和行百分比交叉列表。表14.8是由表14.7的条件频数分布表转化为原始百分比交叉列表。原始百分比交叉列表展示的是交叉列表单元格中的原始条件频数占总合计的百分比。表14.8will与cc的原始百分比交叉列表(%)cc

完全不关注比较不关注一般关注比较关注非常关注行合计wii无6.310.113.910.912.653.8

有5.58.412.213.46.746.2列合计11.818.526.124.419.3100.0表14.9是由表14.7的条件频数分布表转化为列百分比交叉列表。列百分比交叉列表展示的是交叉列表单元格中的原始条件频数占列合计的百分比。

表14-9will与cc的列百分比交叉表(%)

cc

完全不关注比较不关注一般关注比较关注非常关注行合计wii购买意愿无53.654.553.244.865.253.8有46.445.546.855.234.846.2列合计100.0100.0100.0100.0100.0100.0表14.10是由表14.7的条件频数分布表转化为行百分比交叉列表。行百分比交叉列表展示的是交叉列表单元格中的原始条件频数占行合计的百分比。

表14-10will与cc的行百分比交叉表(%)

cc

完全不关注比较不关注一般关注比较关注非常关注行合计will购买意愿无11.718.825.820.323.4100.0有11.818.226.429.114.5100.0列合计11.818.526.124.419.3100.0二、相关测量以上的双变量交叉表是对两个变量数据的交互频数进行描述，根据交叉表，我们可以做一些可能的推断，但是对于变量间是否存在相关关系，还需要进一步进行相关测量，用一个统计值来表示变量和变量间的关系，这个值通常称为相关系数。相关系数的测量方法比较多，主要的选择准则包括：一是考虑变量数据的测量类型，根据数据的数学特性来确定变量类型。二是考虑两个变量的影响方向，当两个变量是纯粹的独立变量，不分自变量和因变量时，那么这两个变量之间是对称关系；当两个变量划分自变量和因变量时，那么这两个变量之间是不对称关系。三是考虑统计值的意义。根据定类、定序和定距数据的特点，主要考虑以下几种统计量（见表14.11）表14.11双变量的数据类型与统计量资料来源：李沛良著.社会研究的统计应用（第2版）.北京：社会科学文献出版社，2001：84-86.消费者新能源汽车的购买意愿是定类变量，对气候变化的关注度是定序变量。如果按照相关统计量的构建，我们假定两个变量之间是非对称关系，那么可以测量两个变量之间的非对称关系。下面利用tau-y统计量进行不对称相关测量。计算tau-y值的步骤为：首先，求出全部误差E１。E１是指“不知X而预测Y时的误差”。其计算公式为：其次，求出误差E２。E２是指“知道X而预测Y时的误差”。其计算公式为：最后，求出tau-y统计量。其值也是指削减误差的比例。其计算公式为：

仍以14.7为例，利用SPSS26版本可以输出两个变量消费者新能源汽车的购买意愿（will）与对气候变化的关注度（cc）的不同相关系数统计量的结果。结果展示了Lambda、古德曼和克鲁斯卡尔tau、不确定性系数的估计值，其中，古德曼和克鲁斯卡尔tau估计值的结果为0.018，与我们上面利用公式计算出来的结果是一致的。表14-12定向测量

值渐近标准误差a近似Tb渐进显著性名义到名义Lambda对称.031.047.666.505will因变量.055.067.789.430cc因变量.0