立体几何中探索问题

.1如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，1BCCDAD，E为AD的中点.2P（Ⅰ）求证：PACD；（Ⅱ）求证：平面PBD平面PAB；（Ⅲ）在平．．面PAB内是否存在M，使得直线CM平面PBE，请说明理由.C BD E A1证明：（Ⅰ）因为平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，又因为PAAB，所以PA平面ABCD.则PACD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）由已知，BCED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，又CDAD，BCCD，所以四边形BCDE是正方形，P连接CE，所以BDCE，又因为BCAE,BCAE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以CEAB，则BDAB.由（Ⅰ）知PAM平面ABCD，所以PABD，B又因为PAABA，C则BD平面PAB，DEA且BD平面PBD，所以平面PBD平面PAB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.理由如下：由已知，BCED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，所以CDEB，即CMEB，;...又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 4分2.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形，PC平面ABCD，点E在棱PA上.（Ⅰ）求证：直线BD平面PAC；（Ⅱ）若PC//平面BDE，求证：AEEP；P（Ⅲ）是否存在点E，使得四面体ABDE的体积等于四面体PBDC的体积的1？若存在，求出PE的值；若不存在，请说明DE理由.3PACAB;...3．（本小题满分 14分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形， PA 底面ABCD，PA AC．过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点 E,F,G（E,F,G三点均不在棱的端点处） ．（Ⅰ）求证：平面 PAB 平面PBC；（Ⅱ）若PC 平面AEFG，求PF的值；PC（Ⅲ）直线 AE是否可能与平面 PCD平行？证明你的结论．;...3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA平面ABCD，所以PABC．[1分]因为ABCD为正方形，所以ABBC，[2分]所以BC平面PAB．[3分]所以平面PAB平面PBC．[4分]（Ⅱ）连接AF．[5分]因为PC平面AEFG，所以PCAF．[7分]又因为PAAC，所以F是PC的中点．[8分]所以PF1．[9分]PC2（Ⅲ）AE与平面PCD不可能平行．[10分]证明如下：假设AE//平面PCD，因为AB//CD，AB平面PCD．所以AB//平面PCD．[12分]而AE，AB平面PAB，所以平面PAB//平面PCD，这显然矛盾！[13分]所以假设不成立，即AE与平面PCD不可能平行．[14分]4．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF//CD，CDEA，CD2EF2，ED3．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：EDCD；（Ⅱ）求证：AD//MN；（Ⅲ）若ADED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出FM的值；若不能，说明理FC由．;...3．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD为矩形，所以CDAD．[1分]又因为CDEA，[2分]所以CD平面EAD．[3分]所以EDCD．[4分]（Ⅱ）因为ABCD为矩形，所以AD//BC，[5分]所以AD//平面FBC．[7分]又因为平面ADMN平面FBCMN，所以AD//MN．[8分]（Ⅲ）平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：[9分]连接DF．因为ADED，ADCD，所以AD平面CDEF．[10分]所以ADDM．因为AD//MN，所以DMMN．[11分]因为平面ADMN平面BCFMN，若使平面ADMN平面BCF，则DM平面BCF，所以DMFC．[12分]在梯形CDEF中，因为EF//CD，EDCD，CD2EF2，ED3，所以DFDC2．所以若使DMFC能成立，则M为FC的中点．所以FM1．[14分]FC24．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，BAD90，PAPD，ABPA，AD2，ABBC1．（Ⅰ）求证：ABPD；（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE//平面PAB；（Ⅲ）设平面PAB平面PCDPM，点M在平面ABCD上．当PA PD时，求PM的长．;...4．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为BAD90，所以ABAD，[1分]又因为ABPA，[2分]所以AB平面PAD，[3分]所以ABPD．[4分]（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．[5分]1，因为E为棱PD中点，所以EF//AD，EFAD2又因为BC//AD，BC1AD，2所以BC//EF，BCEF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC//BF．[8分]又BF平面PAB，CE平面PAB，所以CE//平面PAB．[9分]（Ⅲ）在平面 ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M AB，所以M 平面PAB；又M CD，所以M 平面PCD，所以平面PAB 平面PCD PM．[11分]在△ADM中，因为BC//AD，BC 1AD，2所以 AM 2AB 2．[12分]因为PA PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以 PA 2．[13分]由（Ⅰ）得 AM 平面PAD，所以AM PA．在直角△PAM中，PM PA2 AM2 6．[14分];...6（12分）在四棱锥 A BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE 底面BCDE，O,F分别为BE,DE的中点． A（Ⅰ）求证： AO CD；（Ⅱ）求证：平面AOF平面ACE；EFD（Ⅲ）侧棱AC上是否存在点P，使得BP//平面AOF?APO若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．BCPC6.解：（Ⅰ）因为 ABE为等边三角形，O为BE的中点，所以AO BE．又因为平面 ABE 平面BCDE，平面ABE 平面BCDE BE，AO 平面ABE，所以AO 平面BCDE．又因为CD 平面BCDE，所以AO CD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）连结 BD，因为四边形 BCDE为菱形，所以CE BD．因为O,F分别为BE,DE的中点，所以OF//BD，所以CE OF．由（Ⅰ）可知， AO 平面BCDE．因为CE 平面BCDE，所以AO CE.因为AO OF O，所以CE 平面AOF．又因为CE 平面ACE，;...所以平面AOF 平面ACE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅲ）当点P为AC上的三等分点（靠近 A点）时，BP//平面AOF．证明如下：A设CE与BD,OF的交点分别为 M,N，连结AN,PM．P因为四边形 BCDE为菱形，O,F分别为BE,DE的中点，所以NM1EFD．ONMC2BM设P为AC上靠近A点的三等分点，C则APNM1，所以PM//AN．PCMC2因为AN平面AOF，PM平面AOF，所以PM//平面AOF．由于BD//OF，OF平面AOF，BD平面AOF，所以BD//平面AOF，即BM//平面AOF．因为BMPMM，所以平面BMP//平面AOF．因为BP平面BMP，所以BP//平面AOF.可见侧棱AC上存在点P，使得BP//平面AOF，且AP1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分PC27如图，在多面体ABCDEF中，侧面ABFE底面ABCD,底面ABCD为矩形，四边形ABFE为梯形，AB//EF,EAAB,AB3EF,AEEBG为线段CD上的一点，若AFFG.EF,GE（1）求DG的值；GC（）若ADAE，点A到平面CDE的距离为G2;...8．（本小题满分 12分）如图，直角三角形 ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．1）求证：PE⊥BD；2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若 PE∥平面DMN，求DE的值．DC8.解析：（1）因为BD是AC边上的高，所以BDCD,BDPD，又PDCDD，∴BD平面PCD.∵PE平面PCD，所以PEBD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）连接BE，交DM与点F，PE//平面DMN，且PE平面PEB，平面PEB平面DMNNF，∴PE//NF,∴DF1BEEF，又BCD900600300，∴DEF是等边三角形2DE1设DEa，则BD3a，DC3BD3a，∴DC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分39． 如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，侧面 ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B1＝60°，AC＝2 3．（1）求证：ABl⊥CCl；（2）若AB1＝3 2，D1为线段A1C1上的点，且三 棱锥 C—B1C1D1;...的体积为 3，求A1D1 的值．C1D110如图（1），已知平行四边形 ACDP中，AD⊥AP，AD＝AP，延长PA至B，使得1AB＝ AP＝1，连接BC。现沿AD进行4翻折，使得平面 ABCD⊥平面ADP，连接PB、PC，得到如图（2）所示的空间图形，点Q在线段PC上，且CQ＝m．PQ（1）若BQ∥平面ADP，求m的值；（2）在（1）的条件下，求点Q到平面ABP的距离．;...11.(本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面 PAD是边长为2的正三角形，ABBD5,PB7.（Ⅰ）求证：平面PAD平面ABCD；（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA//平面BDQ时，求QB与面ABCD成角的正弦值。解答：（1）取AD中点O，连结OP,OB，因为PAD是边长为2的正三角形，所以OPAD,OP3，ABBD5OBAD,OB2，OB2OP2PB2OPOBOPABCDOPPAD平面PAD平面ABCD（2）3311;...12已知等腰梯形(图1),AB//EC,ABBC14,0,D是EC,ADE2沿AD折起,构成四棱锥PABCD(图2),M,N分别是BC,PC的中点.1）求证:AD平面DMN;（2）当平面PAD平面ABCD时,求点C到平面PAB的距离.PEDCNDCABMA图1图2B证明：取AD的中点O,连接PO,OB,BD.PAD, ABD都是等边三角形 , PO AD,BO AD,PO BO O, AD 平面POB.M,N分别为BC,PC的中点, MN//PB,AD//BC OD//BM, 四边形OBMD是平行四边形 . DM//OBMN DM M, 平面DMN//平面POB AD 平面DMN设点C到平面PAB的距离为h平面PAD 平面ABCD,PO AD PO 平面ABCDVCPABVPABC,PO23,SABC43,SPAB215SABCPO=415.hSPAB513（1）证明：