不等式解法与证明讲师版

数“不等式解法与不等式证”（学生 授课日期教师 授长知识不等式的证明是十分有技巧性的一件事情。在高，有关不等式证明的要求并不高，一般f(x)0，它与f(x)g(x)0 g(x)子知识点二：绝对值不等式的基本解法。一般地，f(x)g(xf(xg(x)或f(xg(x解；f(x)g(x与g(x)f(xg(x同解【题目】解不等式x1x1x2x2,2(2, 53 x10x22

x1x1x1时x1x1x1x1x1从而：

x当1x1时x1x1x11x从而：x1x12xx2x,x[1, 2xx x 又 0x 2xx x x 当2x1x1x1x1x1从而：

x1 x2,2(2, 53 【知识点】不等式解法与不等式证明（【难度系数】【题目】解关于x的不等式：(xk)(x3)xx【答案】当k2时，解集为

3k2,2 当k0时，解集为3k2(2,k k当2k0时，解集为2,3k2k kkx3k2x当k0时，原不等式即x

0，解集为(2,kx32 k当k0时，原不等式即 0x需要讨论32与2k①当k2时，解集为

3k2,2 ②当k0时，解集为3k2(2,k k③当2k0时，解集为2,3k2k k的正负性的（类似于一元二次不等式【知识点】不等式解法与不等式证明（【难度系数】【题目】解关于x的不等式：(a1)x(2a) (ax【答案】若a22，即a0时a2x2a a若a22，即0a1时2xaa a若a22，即a0xa【解析】等价变形，原不等(x2)[(a1)x2a] 当a1x2xa20a22 a x2xaa 当a1x2xa20 a 若a22，即a0时a2x2a a若a22，即0a1时2xa

aa若a22，即a0xa

a【知识点】不等式解法与不等式证明（【难度系数】

(a2(a2

(a1)2xx23(a1)x2(3a1)0，求a2【答案】a1或1a

(a

(a (a (a (a x x 解得2axa21，记A2aa21x23(a1)x2(3a1)0可以化为(x2)(x3a1)0当a1B[3a1,2]AB322a3a1222a3 a 当a1B[2,3a1]AB3 22

1a3a1a【知识点】不等式解法与不等式证明（【难度系数】证明了问题。不过从本质上来讲，这都是一个从结论出发将现有不等式化简为一个比较容易证【题目】已知三角形三边长为abcSa2b2c24【解析】要证a2b2c243S只需证a2b2c2248S2p(pa)(pb)(p 公式S p(pa)(pb)(p2a2b2c223(abc)(abc)(acb)(bca，即证:a4b4c4a2b2b2c2c2a2由基本不等式a4b42a2b2b4c42b2c2c4a42c2a2，相加a4b4c4a2b2b2c2a2b2c24【难度系数】【题目】已知0x1，比较|loga(1x|与|loga(1x|的大小（其中a0且a1【答案】|loga(1x||loga(1x解法a1时，由0x1|loga(1x)||loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1从而知道|loga(1x||loga(1x当0a1时，由0x1|loga(1x)||loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1从而知道|loga(1x||loga(1x解法2：作商a|loga(1x)|| (1x)a|log(1x) 01x1，1x1log(1x1x从而：| (1x)| (1x) (1x)(1 (1 (1x)1 (11（注意 1x，即11x21综上|loga(1x||loga(1x【难度系数】【题目】已知abcR，且abbcca13（1）abc3aa aa

b cb（1）要证abc3，由于abcR，abc23，a2b2c22abbcca由条件，只需证明a2b2c21abbca2 b2 c2 而这是可以由abbcca

bcabcab（2abcab并且在（1）中已经证得abc3a因此，要让原不等式成立，只需证： a

bcb即：abcbac abbcab而： abcaab2

abbc，2

cbca2abcbac

abbc【难度系数】1213 n1n【题目】求证2(n11) 1213 n1nk1kkk k kk

1 kkkkk

k1kk12 121nn1nn

13n13

22 3 2 n1 n2n1112131213

0 21

n12n1213nn1从而即知：2(n11) 1213nn1k1k k 1n1n1213 nn1121213 1213

12n【难度系数】a2 a2a22【解析】采用三角换元：令a2tan

2a24tan2 1 1a254tan254sec213(1cos2)3a24tan2 1 1 2 2【难度系数】【题目】已知abc，求证 a b a

2 令xab ybc0，那么：acxy，原式转化为证明11 x

1

1xy42

y

【难度系数】【题目】已知a1, ,an都是正数，求证对于任意的 ，下面的不等式成立 n

(aa

a)2n(a2a2

a2 f(x)a2a2

a2)x22(aa

an)xn 易知：f(x)(ax1)2(ax1)2 (ax1)2 4(aa a)24n(a2a2 a20 (aa

a)2n(a2a2

a2 n【难度系数】习题 【题目】若不等 x 0的解集为x|1xa或x2，求实数a的 x23x【答案】1a【解析 x 0 x 0(xa)(x2)(x1)x23x (x2)(x利用标根法就可以知道1a

x1,x【知识点】不等式解法与不等式证明（【难度系数】【题目】已知集合Ax 2x 0，Bx|x2axb0，且ABx1x3，求实数a,

x23x 【答案】7a23b 【解析】注意到：2x 0 2x 0(x1)(x2)(2x1)x23x (x1)(x从而：

Ax|x

1或2x

，另外若设x2axb0两根为xx(xx)，那么有：2 2 Bx|

xx，由于AB x312 12 所以：x1,x3再利 定理就容易知道7a2，3b 【难度系数】【题目】设a,b是满足ab0的实数，那 A．|ab||abC．|ab|a||b【答案】

B．|ab||ab|D．|ab|a||b【解析】可以假设a0,b0B【难度系数】1x2【题目】不等式 2 A．1,C．1,【答案】

2x的解集 D．1,01

2

1

1 x2|x|0|x|12 2 2【难度系数】【题目】设ab0，则下列不等|ab||a|；②|ab||b||ab||ab|；④|ab||a||b|其中正确的 【答案】【解析】可以分a0,b0或a0,b0【难度系数】【题目】不等式|x1||2x3|20的解集 【答案】0,【解析】x1x32【难度系数】【题目】解不等式|log3x2||log3x2|1,9【答案】 【解析】先作换元tlog3x，然后不等式即为：|2t2||t2|2，然后分类讨论，画出不等式左边【难度系数】2【题目】解不等式|x3||2x1|x2【答案

,

22, 5 2【难度系数】【题目】1

1【解析】当k2k 1 1 1n212 n112nn

k(k

k 【难度系数】【题目】已知|a|1,|b|1,|c|1，求（1）|1abc||abc（2）abcabc(2)(a1)(b1)0abab1(ab1)(c1)0abcabc故abcabc【难度系数】

2,

22

4bb（2）2

4bb4

2,【解析（1）2,2(2)(2(2)(2)

故知：(4)2()42()4，根据定理2

4b，显b

4【难度系数】2【题目】已知abRa2b

aa2b2 a22222a【解析（1）只需证明a a 2 ab 2 aa2ab2a2b1b2 a 2baa2ab2a2b1b2【难度系数】【题目】已知三角形三边长为abc4abbcacab4abbcacabc2(bca)a(cab)b(abc)c【难度系数】【题目】abcR，且abc1124 【解析】abc33abc，124 ，注意到两个等号不能同时成立，故知 124(abc)12433abc

c

【难度系数】【题目】已知0,，且tantan2tan 2

cos

tantan2 ) coscos cos

coscos coscos coscos

1cos2

2

coscos【难度系数】【题目】已知三角形三边长为a，b，c，求证 bc ca ab 3 19bcacabab bca1cab1ab (abc)