平面几何中的向量方法课件1

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5平面向量应用举例1向量的相关概念及其形式a=λb向量的相关概念及其形式a=λb2

向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件a∥b

.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥b

.向量在几何中的应用3利用夹角公式

(3)求夹角问题

，

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|=

或|AB|=|AB|=

.利用夹角公式(3)求夹角问题4ABCD问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，

你能发现对角线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？对角线DB？对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？涉及到长度问题常常考虑向量的数量积AB²AC²AD²DB²ABCD问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。对角5ABCDAB²=a²AD²=b²设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，分析：AC²=AC+AC=(a+b)(a-b)·=aa+ab+ba+bb····=a²+2ab+b²·DB²=a²-2ab+b²·同理DB²=AC

²+2(a²+b²)AB

²+AD²=2()平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.ABCDAB²=a²AD²=b²设AB=6利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量7ABCDEFRT例2

如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT例2如图，ABCD中，点E、F分别是8故AT=RT=TCABCDEFRT故AT=RT=TCABCDEFRT9在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？在日常生活中，你是否有这样的经验：10在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？GFF1F2θ在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹11GFF1F2θ即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力∴当θ由0°～180°逐渐增大时，由0°～90°逐渐增大，而的值逐渐缩小，因此逐渐增大解：设则由向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识可知GFF1F2θ即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省12GFF1F2θ当θ=0，最小，最小值是当θ时，

例3.

在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？GFF1F2θ当θ=0，最小，最小值是当θ13例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从14例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少？ABCD例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从15例3

证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证：∠ACB=90°证明：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐标形式证明？xy例3证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已16已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行则实数m的值为（）A.-1B.1C.2D.-1或2D利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直ABCD已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)与l平行A17练习1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为，水速为已知船可垂直到达对岸，则（）2、已知作用在A点的三个力，A(1，1)则合力的终点坐标是（）A.(8,0)B.(9,1)C.(-1,9)D.(3,1)BB练习1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为，水速为2183、一个物体受到两个相互垂直的力的作用，两边大小都为，则两个力的合力的大小为（）4、三个力同时作用于点O且处于平衡状态，已知的夹角为120°，又，则C20N3、一个物体受到两个相互垂直的力的作用，192.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5平面向量应用举例20向量的相关概念及其形式a=λb向量的相关概念及其形式a=λb21

向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件a∥b

.(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥b

.向量在几何中的应用22利用夹角公式

(3)求夹角问题

，

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|=

或|AB|=|AB|=

.利用夹角公式(3)求夹角问题23ABCD问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，

你能发现对角线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？对角线DB？对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？涉及到长度问题常常考虑向量的数量积AB²AC²AD²DB²ABCD问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。对角24ABCDAB²=a²AD²=b²设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，分析：AC²=AC+AC=(a+b)(a-b)·=aa+ab+ba+bb····=a²+2ab+b²·DB²=a²-2ab+b²·同理DB²=AC

²+2(a²+b²)AB

²+AD²=2()平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.ABCDAB²=a²AD²=b²设AB=25利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。利用向量法解决平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量26ABCDEFRT例2

如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT例2如图，ABCD中，点E、F分别是27故AT=RT=TCABCDEFRT故AT=RT=TCABCDEFRT28在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？在日常生活中，你是否有这样的经验：29在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？GFF1F2θ在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹30GFF1F2θ即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力∴当θ由0°～180°逐渐增大时，由0°～90°逐渐增大，而的值逐渐缩小，因此逐渐增大解：设则由向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识可知GFF1F2θ即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省31GFF1F2θ当θ=0，最小，最小值是当θ时，

例3.

在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？GFF1F2θ当θ=0，最小，最小值是当θ32例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从33例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)思考：要使船行驶的时间最短，所用时间是多少？ABCD例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从34例3

证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证：∠ACB=90°证明：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐标形式证明？xy例3证明直径所对的圆周角是直角ABCO已知：如图所示，已35已知直线l：mx＋2y＋6＝0，