微积分下课后习题答案9-4

9.4(P194)4x y z1. .计算(2x3yz)dSS2341在第一卦限中的部分.Sz4解：平面方程变形为2x yz4，3由平面的截距式方程知OA2，OB34CBO2AB 2232 13yA3SDxyOAB，x9.4(P194)4x y z1. .计算(2x3yz)dSS2341在第一卦限中的部分.Sz4解：平面方程变形为2x yz4，3由平面的截距式方程知OA2，OB34CBO2AB 2232 13yA3SDxyOAB，xz2z4，，故dS1(2)(4)2dxdy61dxdyxy333(2x4yz)dS4dS4 61dxdy461SOAB333SSDxy4 611234613 22. xyz)dSSx2y2z2a2zh(0ha的部分.S解：S在xoy面上的投影区域Dxy:x2 a2h2y2xyx2y2a由隐函数求导法得zx ，zy ，故dS 1 dxdyz2dxdyz2zz由变量轮换的对称性(xyz)dS(2xz)dSa( 2x a2(x2y2)SSDxy2a( x dxdyadxdya2(x2y2)DxyDxy第一个 利用对称性0a(a2h2)a(a2h2)第二个由几何意义3. SxyzdSSzx2y2z1截得的下半部分.1/5z解：设S1为S在第一卦限的部分，S1投影区域Dxy:x2 1,x0,y0由对称性得y2SxyzdS4xyzdS4xy(x2y2)14x24y2dxdyS1Dxy22114 d sincos 14d524sincosd 142d解：设S1为S在第一卦限的部分，S1投影区域Dxy:x2 1,x0,y0由对称性得y2SxyzdS4xyzdS4xy(x2y2)14x24y2dxdyS1Dxy22114 d sincos 14d524sincosd 142d50000令t 1421 5125142d(t21)2t2dt01325(t62t4t2)dt125511321420dS4. S，Sz0zh(h0x2y2R2x2y2z2解：RxR2y2，dS 1(x)2(x)2dydzdydzyoz坐标面yzR2y2RyRD，所以yz0zh dS dS 2 dS 2 1 R dydzx2y2z2R2z2R2z2R2z2R2y2SSSD前yzzhR1h 1dyyhR2R0R2z2dzR2R arctan R RR2arctanR0Ry2 205. 1dSSx2y2z2a2zh(0ha截得的上半部分.zS解：S在xoy面上的投影区域Dxy:x2 a2h2y2xyx2y2a由隐函数求导法得zx ，zy ，故dS 1 dxdyz2dxdyzzz22/5z ah 1dS a a2x2y22 22dxdya dda22z00SDxya2h21a2h2 1a2a d(a)aln(a) 2aln20 a22 0 h ah 1dS a a2x2y22 22dxdya dda22z00SDxya2h21a2h2 1a2a d(a)aln(a) 2aln20 a22 0 h2 22 2zdSS6. 计算zdS，S是圆柱面x2 1和平面z0，z1x所围立体的表面.Sy2z解：设S1:x2 1；S2:z0；S3:z1xy2y1OSzoxy1是偶函数，圆柱面在zox坐标面右方的曲面方程为y 1x2，x11dS 1(y)2(y)2dzdxdzdx，在zox坐标面上的投影区域xz1x21x1D，zx0z1xS2、S3在xoy面上的投影区域Dxy:x2 y20dS 11202dxdy 2dxdyzdSzdSzdSzdS2zdSzdSzdSSS1S2S3S前S2S3z 1 dzdx0(1x)2dxdy2Dzx1x2Dxyx 1 12 dx zdz2dxdyDxy2xdxdyDxy101x2第二个 由几何意义I 2120I 第三个利用对称性1(1x)2由对11x211 1xI21dx0 zdz1dx 1称性dx1x21x21x23/51 2 1 2 （1x）dx22101x21x2令xsint23cos2t2220（ ）dtcos23 33cos2t）220（2dt2 2222zdS3 2（3 22SdSSxyz1x01 2 1 2 （1x）dx22101x21x2令xsint23cos2t2220（ ）dtcos23 33cos2t）220（2dt2 2222zdS3 2（3 22SdSSxyz1x0y0z0的边界面.7. S(1xy)2z由变量轮换的对称性知：1 dS dS COAC(1xy)2 OBC(1xy)2dSBSABCOABOACOBCO(1xy)2yA1ABCOAB21xOBC3dxdydxdydydz2(1xy)2(1xy)2(1y)2DDDxyxyyzdy1y dz1x11(31)dx2dy00(1xy)200(1y)231)ln228. z的距离成正比x2 zh(h0的质量，已知圆锥面的密度与该点到原点y2解：Szx2 ，S在xoy面上的投影区域Dxy:x2 h2，y2y2xyz，z，dS 1(z)2(z)dxdy 2dxdyxyxyx2y2x2y24/5Px,y,zx,y,zx,y,z)kx2y2z2，m(x,y,z)dSk x2y2z2dS2k x2y2dxdySSDxyh342 h2k0d d2kPx,y,zx,y,zx,y,z)kx2y2z2，m(x,y,z)dSk x2y2z2dS2k x2y2dxdySSDxyh342 h2k0d d2k2 3kh（k为比例系数）23039. 求密度为常数的均匀半球壳z a2x2 的质心坐标及对于z轴的转动惯量.y2解：设S: z a2x2y2，其投影区域Dxy:x2 a2y2xy0m dS2a22a2dSSSzdSzdSz1x2y2 a dxdya2mmmDxya2x2y2SSaaa3 a3 a