数的开方与二次根式讲义

数的开方与二次根式讲义数的开方与二次根式讲义数的开方与二次根式讲义数的开方与二次根式讲义编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:数的开方与二次根式讲义〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。内容分析1．二次根式的有关概念(1)二次根式式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质3．二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．(2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。考查题型1．下列命题中，假命题是（）（A）9的算术平方根是3（B）eq\r(16)的平方根是±2（C）27的立方根是±3（D）立方根等于－1的实数是－12．在二次根式eq\r(45)，eq\r(2x3)，eq\r(11)，eq\f(\r(5),4)，eq\r(\f(x,4))中，最简二次根式个数是（）1个（B）2个（C）3个（D）4个（2）下列各组二次根式中，同类二次根式是（）（A）eq\f(1,3)eq\r(6)，3eq\r(2)（B）3eq\r(5)，eq\r(15)（C）eq\f(1,2)eq\r(12)，eq\r(\f(1,3))（D）eq\r(8)，eq\r(\f(2,3))3.化简并求值，eq\f(a+\r(ab),\r(ab)+b)＋eq\f(\r(ab)－b,a－\r(ab))，其中a＝2＋eq\r(3)，b＝2－eq\r(3)4．eq\r(2)＋1的倒数与eq\r(2)－eq\r(3)的相反数的和列式为，计算结果为5．（－eq\f(1,4)）2的算术平方根是，27的立方根是，eq\r(\f(4,9))的算术平方根是，eq\r(\f(49,81))的平方根是.考点训练：1．如果x2＝a，已知x求a的运算叫做，其中a叫做x的；已知a求x的运算叫做，其中x叫做a的。2．(－eq\r(2))2的平方根是，9的算术平方根是，是－64的立方根。3．当a<0时，化简∣a∣＋eq\r(a2)＋eq\r(3,a3)＝。4．若eq\r=，eq\r=，eq\r(x)=，则x等于（）（A）（B）（C）（D）5．设x是实数，则(2x＋3)(2x－5)＋16的算术平方根是（）（A）2x－1（B）1－2x（C）∣2x－1∣（D）∣2x＋1∣6．x为实数，当x取何值时，下列各根式才有意义：（1）eq\r(－3x－2)（）（2）eq\r(x2＋5)（）（3）eq\r(\f(1,x2))（）（4）eq\f(1,eq\r(3,1－x))（）(5)eq\f(1,1－eq\r(x＋2))（）（6）eq\r(x)＋eq\r(－x)（）7．等式eq\r(\f(3－x,x＋2))＝eq\f(\r(3－x),eq\r(x＋2))成立的条件是（）（A）－2<x≤3（B）－2≤x≤3（C）x>－2（D）x≤38．计算及化简：（1）(－7eq\r(\f(2,7)))2（2）eq\r(ab2(c＋1)2)（3）eq\r(\f×64,×324))（4）eq\f(2a2,3b)eq\r(\f(b3,a4)－\f(b2,a4))（b>1）（5）eq\f(x,x－3y)eq\r(\f(x2y－6xy2＋9y3,x))（x>3y）（6）(eq\r(48)－6eq\r)(4eq\r(3)＋eq\r(18))－(2eq\r(3)－3eq\r(2))2（7）已知方程4ｘ2－2ａｘ＋2ａ－3＝0无实数根，化简eq\r(4ａ2－12ａ＋9)＋｜ａ－6｜解题指导1．下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）42．已知eq\r(3,=，eq\r(3,5)=，eq\r(3,50)=，则eq\r(3,5000)等于（）（A）（B）（C）（D）3．当1<x<2时，化简∣1－x∣＋eq\r(4－4x＋x2)的结果是（）（A）－1（B）2x－1（C）1（D）3－2x4．eq\r((x－2)2)＋(eq\r(2－x))2的值一定是（）（A）0（B）4－2x（C）2x－4（D）45．比较大小：（1）3eq\r(\f(1,5))eq\r(1\f(1,4))（2）eq\r(7)－eq\r(2)2eq\r(2)－1（3）eq\r(35)－eq\r(34)eq\r(34)－eq\r(33)6．化简：eq\f(a,a－2b)eq\r(\f(a2b－4ab2＋4b3,a))（2b>a）7．计算：（eq\r(32)＋eq\r－2eq\r(\f(1,3))）－（eq\r(\f(1,8))－eq\f(1,5)eq\r(75)）8．已知a＝eq\f(\r(3)－\r(2),\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(\r(3)＋\r(2),\r(3)－\r(2))，求a2－5ab＋b2的值。9．计算：9eq\r(45)÷3eq\r(\f(1,5))×eq\f(3,2)eq\r(2\f(2,3))10．化简：eq\f(\r(6),3\r(2)－2\r(3))11.设eq\f(\R(,5)+1,\R(,5)-1)的整数部分为ａ，小数部分为ｂ，求ａ2＋eq\f(1,2)ａｂ＋ｂ2的值。独立训练1．eq\r(2)－eq\r(3)的倒数是；eq\r(2)－eq\r(3)的绝对值是。2．eq\r(8)的有理化因式是，eq\r(x－y)的有理化因式是。3．eq\f(1,\r(x)－\r(x－1))与eq\f(1,\r(x－1)＋\r(x))的关系是。4．三角形三边a＝7eq\r(50)，b＝4eq\r(72)，c＝2eq\r(98)，则周长是。5．直接写出答案：（1）eq\r(3)·eq\r(2)÷eq\r(30)＝，（2）eq\f(4xy,\r(2x))=，（3）(eq\r(3)－2)8(eq\r(3)＋2)8=。6．如果eq\r(a)－eq\r(b)的相反数与eq\r(a)＋eq\r(b)互为倒数，那么（）（A）a、b中必有一个为0（B）∣a∣＝∣b∣（C）a＝b＋1（D）b＝a＋17．如果eq\r((2－x)2)＋eq\r((x－3)2)＝（x－2）＋（3－x），那么x的取值范围是（）（A）x≥3（B）x≤2（C）x>3（D）2≤x≤38．把（a－b）eq\r(－\f(1,a－b))化成最简二次根式，正确的结果是（）（A）eq\r(b－a)（B）eq\r(a－b)（C）－eq\r(b－a)（D）－eq\r(a－b)9．化简－3xeq\r(x)－eq\r(\f(1,x))＋eq\r(4x3)的结果必为（）（A）正数（B）负数（C）零（D）不能确定10．计算及化简：（1）（5eq\r(\f(8,27))·eq\r(1\f(1,3))·3eq\r(54)）（2）eq\r(18)＋eq\f(2,\r(2)－1)－4eq\r(\f(1,2))－2(eq\r(2)＋1)0（3）（eq\f(3x,2)eq\r(\f(x,y))－eq\f(2,5)eq\r(\f(3,xy))+eq\f(1,3)eq\r(\f(xy,2))）÷eq\f(x,2)eq\r(\f(x,y))（4）eq\f(a,a－b)eq\r(\f(a2－ab,a3－2a2b+ab2))（a>b）11.已知eq\f(ｘ＋3,ｘ＋2)＝eq\f(1,\r(,3)+\r(,2)+1),求eq\f(x-3,2x－4)÷(eq\f(5,x－2)－的值x－2)。12.先化简,再求值:(eq\f(ｘ＋2EQ\R(,xy)+y,EQ\R(,x)＋EQ\R(,y))+eq\f(1,