极坐标方程的应用优秀教学设计

极坐标方程的应用的教学设计一、考纲解析1.坐标系（1）理解坐标系的作用.（2）了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.（3）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（4）能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.（5）了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.二、学情解析通过一轮的复习，学生初步掌握了极坐标方程，普通方程与参数方程的互化，但对于在极坐标系下解决解析几何中数量关系及位置关系有关的问题还不够熟练。三、学习目标解析准确把普通方程转化为极坐标方程，能把曲线的几何特征用极坐标或方程表示，熟练利用极坐标方程解决与交点、距离等有关的问题。四、教学过程设计（一）典例解析例1.【2015新课标2文23】在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（=1\*ROMANI）求与交点的直角坐标；（=2\*ROMANII）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.试题解析：解：（=1\*ROMANI）曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得或,所以与交点的直角坐标.（=2\*ROMANII）曲线极坐标方程为其中,因此点A的极坐标为,点B的极坐标为,所以,当时取得最大值,最大值为4.设计意图：通过分析在不同坐标系下解决问题的思路，对比不同方法的难易程度，体会选择适当坐标系或方程对解决问题的快捷性，体会什么情况下选择极坐标系及方程对解决问题更方便。师生活动：1.学生尝试解题，展示学生解题过程，根据解题情况分析在直角坐标系下及在极坐标系下的解题过程，若学生解决不了可先分析思路再接着做。2.再提出问题1：什么条件下用极坐标方程解题可能更方便？3.探索解题思路：判断在什么坐标系下解决——统一方程（坐标）——联立方程求解——转化为题目要求形式。4.提出问题2：利用极坐标方程解决有关问题时要注意些什么？点与坐标不一一对应，注意ρ、（二）对点训练1.在平面直角坐标系中，直线的方程为，在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，求的值.【解析】试题分析：（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程；（2）根据（1）所得到的结果代入到极坐标方程中，利用几何意义可得结果.试题解析：（1）∵直线C1的方程为，∴直线C1的极坐标方程．（2）设，，将代入，得：，∴，∴．设计意图：体会选择极坐标系及方程对解决问题更方便，熟练在极坐标系下解决问题的思路及方法。师生活动：1.学生审题，提问：请你根据已知条件初步判断用哪种坐标方程解决会比较方便？2.学生解题，然后展示解题过程。2.【2017课标=2\*ROMANII，文22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。解法1：（1）设的极坐标为，M的极坐标为，由题设知。由得的极坐标方程。因此的直角坐标方程为。（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是面积当时，S取得最大值。所以面积的最大值为。解法2：（1）曲线的普通标方程为x=4,设P（x,y）,M(4,yM),由已知O，P，M三点共线，所以yx=yM4,即yM=4yx所以x因此的直角坐标方程为。（2）点A的极坐标为，所以点A的直角坐标为（1，3），所以|OA|=2,直线OA的方程:y=3由（1）知的直角坐标方程为，圆心坐标（2，0），半径为2，所以到直线OA的距离d=3,所以B到直线OA的最大值为2+3，此时SΔOAB=12×2×（2+3）=2+设计意图：判断并把能用距离及角来表示曲线的几何特征量转化为极坐标及极坐标方程表示，进而求解有关问题。师生活动：1.学生解题，展示解题过程，若学生没有写出极点坐标，可分析为什么失解，怎么才能防止此类问题发生；2.让学生小结此题的解题思路。（四）课堂小结问题1：用极坐标方程解题的基本思路是什么？设计意图：总结解题的一般思路，巩固用极坐标方程解题的模式。师生活动：提问学生，教师归纳补充。考查问题：极坐标方程，普通方程与参数方程的互化，并由方程及其它几何条件求解与曲线有关的数量关系问题。考查本质：极坐标方程，普通方程与参数方程的互化，选择适当坐标系及方程解决解析几何中与数量有关的几何问题，体现了选择适当坐标系及方程对解决问题的便利化及优越性。命题的方向：极坐标方程，普通方程与参数方程的互化，根据一些几何条件求出简单的轨迹方程，利用已知的方程及几何条件求结合三角函数求与距离、线段长、角等有关的几何问题。（五）课后练习1．在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆和的极坐标方程；（Ⅱ）射线：与圆交于点、，与圆交于点、，求的最大值.【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ)4.【解析】试题分析：（1）圆C1的参数方程分别是（φ为参数），利用平方关系可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．圆C2的参数方程（β为参数），利用平方关系可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程．（2）依题意得点、的极坐标分别为，，从而表示出，利用正弦函数的有界性问题迎刃而解.试题解析：（Ⅰ）圆和的普通方程分别是和.∴圆和的极坐标方程分别为，.（Ⅱ）依题意得点、的极坐标分别为，。∴，，从而，当且仅当，即时，上式取“”，取最大值4.2．在直角坐标系中，直线为参数，)与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0相交于点，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线与圆的极坐标方程；(2)求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析（1）根据参数方程与普通方程的互化以及直角坐标与极坐标的互化公式，即可求解直线的极坐标方程和圆的极坐标方程；（2）把，代入圆的极坐标方程中，得，进而得到，即可利用三角函数的性质求解其最大值.试题解析：（1）直线的极坐标方程为圆的极坐标方程为（2），代入，得显然所以的最大值为3.在直角坐标系中，圆的参数方程为参数)，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆的极坐标方程；(2)直线的极坐标方程是，射线与圆的交点