江苏省南京市第二十七中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题

试卷第=page44页，总=sectionpages44页试卷第=page33页，总=sectionpages44页江苏省南京市第二十七中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（）A． B． C． D．2．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．， B．，C．， D．，3．复数，若复数，则在复平面内，复数对应的点与复数对应的点（）A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称C．关于原点对称 D．关于点对称4．已知向量，，且，则（）A．5 B． C．10 D．5．下列命题中正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．若和是都是单位向量，则C．若，则与的夹角为0°D．零向量与任何向量共线6．如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（）A．18m B．20m C．24m D．30m7．已知函数，则的值域是（）A． B． C． D．8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c．若,则∠A的大小为A． B． C． D．二、多选题9．已知，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．10．设，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．11．在中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（）A．若，则 B．，则C．若，则 D．，则12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．2π是的一个周期 B．方程有无穷多解C．是偶函数 D．在上是增函数三、填空题13．已知复数，则复数z的共轭复数的模为___________.14．已知为锐角，且，则___________.15．在中，已知，，则的面积为___________.16．已知函数，对于任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是___________.四、解答题17．已知复数.（1）计算：；（2）若，求复数.18．在中，已知，，.（1）求的长；（2）若___________，求的长.给出条件①是的中线，②是的高.请在①②两个条件中任选一个，将问题（2）补充完整，并给出解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．已知，为锐角，，.（1）求，的值；（2）求的值.20．方位角是从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的角.如图，某货船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为75°，前进后到达B处，此时测得岛M的方位角为30°.（1）求货船在A处时与岛M的距离；（2）若岛M周围内有暗礁，如果该船继续向东航行，有无触礁危险？21．在中，，，是的角平分线.（1）若，求的长；（2）若，且点P满足，求的最大值.22．已知向量，，函数.（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；（2）若，是函数的零点，用列举法表示的值组成的集合；（3）求证：方程不存在正实数解.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第=page1414页，总=sectionpages1414页答案第=page1313页，总=sectionpages1414页参考答案1．D【分析】结合诱导公式与两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】，故选：D.2．C【分析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的、是否共线，即可得出结果.【详解】选项A：因为，所以、共线，不能作为基底；选项B：因为，所以、共线，不能作为基底；选项C：因为，所以、不共线，可以作为基底；选项D：因为，所以、共线，不能作为基底.故选：C.3．B【分析】由条件求得，化简，根据复平面内坐标，判断两复数对称性即可.【详解】由题知，，由复数在复平面内对应的点的坐标知，其对应的点关于虚轴对称.故选：B4．A【分析】根据数量积的坐标运算求出，再求出，即可得出所求.【详解】，，，解得，，，.故选：A.5．D【分析】根据平面向量的概念依次判断即可得出.【详解】对A，两个向量相等，则它们的大小和方向相同，与位置无关，故A错误；对B，若和是都是单位向量，则，方向不一定相同，故B错误；对C，若，则与的夹角为或，故C错误；对D，根据共线向量的定义规定，零向量与任何向量共线，故D正确.故选：D.6．C【分析】过A作于E，则，设，利用两角和的正切公式可建立关于的关系式，即可解出．【详解】如图，过A作于，设，∵，记，则，在中，,∴,在中，,∴,∴，∴，解得：或（舍去），所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.故选：C.7．C【分析】利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数解析式为，利用二次函数的基本性质结合可求得原函数的值域.【详解】由已知条件可得，因为，则，因此，.故选：C.8．B【详解】由正弦定理知,即.故.由9．BCD【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.【详解】根据复数的线性运算，对A，化简为，错误；对B，即，即，正确；对C，对移项可得，正确；对D，由，移项即，正确；故选：BCD10．ABC【分析】根据复数的运算法则依次判断即可.【详解】对A，，故A正确；对B，，，，故B正确；对C，，故C正确；对D，，故D错误.故选：ABC.11．ABD【分析】利用正弦定理判断A，D，利用余弦函数，正切函数的单调性判断B,C，由此确定正确选项.【详解】∵A>B，∴a>b，∴sinA>sinB，A对，∵A>B，且，又函数在上为减函数，∴，B对，取，则A>B，但，C错，∵A<B，∴，∴，D对，故选：ABD.12．AC【分析】根据函数的周期与奇偶性的定义即可判断AC选项，然后化简函数解析式，得到分段函数的解析式，即可判断BD选项.【详解】因为，所以2π是的一个周期，故A正确；，所以是偶函数，故C正确；,由可知方程无解，故B错误；因为时，，因为，故函数在，在单调递减，故D错误.故选：AC.13．5【分析】根据共轭复数的性质可得，再利用模长公式即可得解.【详解】，所以，故答案为：14．【分析】结合已知角的范围以及三角函数值，缩小角的范围得到，进而结合同角的平方关系得到的值，进而凑角利用两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】因为为锐角，所以，又因为，则，故，所以，故答案为：.15．【分析】根据，，求得，，，即可求得，从而求得，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】解：因为，，所以，，，所以，又，所以，所以.故答案为：.16．【分析】条件等价于函数在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，当区间的区间长度，函数在区间上一定能取得最大值1，即不等式恒成立；然后对两区间，的边界点进行分类讨论，分别求得对应的参数范围即可.【详解】由题易知，条件等价于函数在区间上的最大值小于等于在区间上的最大值，根据三角函数的周期性易知，当区间的区间长度，即时，函数在区间上一定能取得最大值1，即不等式恒成立；当，即时，函数在区间上单增，不等式恒成立，故满足条件；当时，，此时，即存在点满足恒成立，故满足条件；当时，函数在区间上的最大值为，此时，，显然不成立；当时，函数在区间上的最大值为，若使不等式成立，即时，，只需，解得，即；综上所述，故答案为：17．（1）；（2）或.【分析】（1）结合复数的除法运算即可求出结果；（2）结合复数的乘方运算求出，然后利用复数相等得到，解之即可求出结果.【详解】解：（1）原式（2）设，则，因为，所以，故，解得或所以或.18．（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）知两边和一角，利用余弦定理即可得解；（2）选①，利用向量的运算，两边平方进行计算即可得解，选②利用等面积法进行计算即可得解.【详解】（1）由余弦定理得：，所以.（2）若选①：则，所以，.若选②：因为是的高，所以又，所以，，所以，.19．（1），；（2）.【分析】（1）根据公式，求得结果；（2）由条件求得，，从而由求得结果.【详解】解：（1）因为，所以，.（2）因为，所以，因为，为锐角，所以.又因为，所以，因此，因此，.20．（1）；（2）该船继续向东航行，无触礁危险.【分析】（1）由条件求得，从而由正弦定理求得AM.

（2）设航线上点C恰在岛M的正南方，则，然后与比较即可判断是否有触礁危险.

【详解】解：（1）在中，易知，，所以，由正弦定理知：，所以，货船在A处时到岛M的距离为.（2）设航线上点C恰在岛M的正南方，则，所以，该船继续向东航行，无触礁危险.21．（1）；（2）.【分析】（1）利用向量的运算可得，结合条件，两边平方利用向量的运算即可得解；（2）如图先建立直角坐标系，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，利用条件可得各点的坐标，，，设，由条件可得，则，利用函数、基本不等式和向量运算三种方法求最值即可得解.【详解】（1）因为是的角平分线，所以，则，所以，.即的长为（2）如图，以A为坐标原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，因为，，，所以，，，设，由得即，所以，代入得.方法一：∵∴，∴，∴.方法二：∵，由得，∴.方法三：取中点M，中点N，连，∵，∴为直角三角形，∴，∵M，N为中点，∴，∵，.当且仅当与反向取等号.22．（1）最小正周期为4，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，把函数化简为，结合三角函数的性质，即可求解；（2）根据，是函数的零点，得到