三角变换与解三角形

第二讲三角变换与解三角形1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式1inα±β＝inαcoβ±coαinβ2coα±β＝coαcoβ∓inαinβ3tanα±β＝eq\ftanα±tanβ,1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式1in2α＝2inαcoα2co2α＝co2α－in2α＝2co2α－1＝1－2in2α3tan2α＝eq\f2tanα,1－tan2α3．三角恒等变换的基本思路1“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．2角的变换是三角变换的核心，如β＝α＋β－α，2α＝α＋β＋α－β等．4．正弦定理eq\fa,inA＝eq\fb,inB＝eq\fc,inC＝2R2R为△ABC外接圆的直径．变形：a＝2RinA，b＝2RinB，c＝2RinCinA＝eq\fa,2R，inB＝eq\fb,2R，inC＝eq\fc,2Ra∶b∶c＝inA∶inB∶inC5．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccoA，b2＝a2＋c2－2accoB，c2＝a2＋b2－2abcoC推论：coA＝eq\fb2＋c2－a2,2bc，coB＝eq\fa2＋c2－b2,2ac，coC＝eq\fa2＋b2－c2,2ab6．面积公式S△ABC＝eq\f1,2bcinA＝eq\f1,2acinB＝eq\f1,2abinC7．三角形中的常用结论1三角形内角和定理：A＋B＋C＝π2A>B>C⇔a>b>c⇔inA>inB>inC3a＝bcoC＋ccoB1．最新·浙江已知α∈R，inα＋2coα＝eq\f\r10,2，则tan2α等于\f4,3\f3,4C．－eq\f3,4D．－eq\f4,3答案C解析∵inα＋2coα＝eq\f\r10,2，∴in2α＋4inα·coα＋4co2α＝eq\f5,2用降幂公式化简得：4in2α＝－3co2α，∴tan2α＝eq\fin2α,co2α＝－eq\f3,4故选C2．最新·辽宁在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，BcoC＋cinBcoA＝eq\f1,2b，且a＞b，则B的大小为\fπ,6\fπ,3\f2π,3\f5π,6答案A解析由条件得eq\fa,binBcoC＋eq\fc,binBcoA＝eq\f1,2，由正弦定理，得inAcoC＋inCcoA＝eq\f1,2，∴inA＋C＝eq\f1,2，从而inB＝eq\f1,2，又a＞b，且B∈0，π，因此B＝eq\fπ,63．最新·陕西设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcoC＋ccoB＝ainA，则△ABC的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案B解析由bcoC＋ccoB＝ainA，得inBcoC＋inCcoB＝in2A，即inB＋C＝in2A，所以inA＝1，由0α＋β＝eq\f4,5又eq\fπ,20，故coB＝eq\f\r2,2，又0°AC·BC，∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC建造环境标志费用较低．即小李的设计使建造费用较低．反思归纳应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：1分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；2根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；3将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；4检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3最新·江苏如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量coA＝eq\f12,13，coC＝eq\f3,51求索道AB的长；2问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短解1在△ABC中，因为coA＝eq\f12,13，coC＝eq\f3,5，所以inA＝eq\f5,13，inC＝eq\f4,5从而inB＝in[π－A＋C]＝inA＋C＝inAcoC＋coAinC＝eq\f5,13×eq\f3,5＋eq\f12,13×eq\f4,5＝eq\f63,65由正弦定理eq\fAB,inC＝eq\fAC,inB，得AB＝eq\fAC,inB×inC＝eq\f1260,\f63,65×eq\f4,5＝1040m．所以索道AB的长为1040m2假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了100＋50tm，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝100＋50t2＋130t2－2×130t×100＋50t×eq\f12,13＝最新7t2－70t＋50，由于0≤t≤eq\f1040,130，即0≤t≤8，故当t＝eq\f35,37min时，甲、乙两游客距离最短．3由正弦定理eq\fBC,inA＝eq\fAC,inB，得BC＝eq\fAC,inB×inA＝eq\f1260,\f63,65×eq\f5,13＝500m．乙从B出发时，甲已走了50×2＋8＋1＝550m，还需走710m才能到达C设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤eq\f500,v－eq\f710,50≤3，解得eq\f1250,43≤v≤eq\f625,14，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co1\f1250,43，\f625,14单位：m/min范围内．典例12分已知向量a＝coω，inω，b＝coω，eq\r3coω，其中00，从而inC＝coC又coC≠0，所以tanC＝1，则C＝eq\fπ,4，所以B＝eq\f3π,4－A于是eq\r3inA－coeq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1B＋\fπ,4＝eq\r3inA－coπ－A＝eq\r3inA＋coA＝2ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1A＋\fπ,6∵00，tanB>0，即A，B为锐角，tanA＋B＝eq\ftanA＋tanB,1－tanAtanB>0，即tanπ－C＝－tanC>0，所以tanC0由于eq\fπ,30的最小正周期为π1求ω的值；2讨论f在区间eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co10，\fπ,2上的单调性．解1f＝4coω·ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1ω＋\fπ,4＝2eq\r2inω·coω＋2eq\r2co2ω＝eq\r2in2ω＋co2ω＋eq\r2＝2ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12ω＋\fπ,4＋eq\r2因为f的最小正周期为π，且ω>0从而有eq\f2π,2ω＝π，故ω＝12由1知，f＝2ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co12＋\fπ,4＋eq\r2若0≤≤eq\fπ,2，则eq\fπ,4≤2＋eq\fπ,4≤eq\f5π,4当eq\fπ,4≤2＋eq\fπ,4≤eq\fπ,2，即0≤≤eq\fπ,8时，f单调递增；当eq\fπ,2≤2＋eq\fπ,4≤eq\f5π,4，即eq\fπ,8≤≤eq\fπ,2时，f单调递减．综上可知，f在区间eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co10，\fπ,8上单调递增，在区间eq\b\c\[\rc\]\a\v4\a\co1\fπ,8，\fπ,2上单调递减．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝4abcoC，且c2＝eq\r3ab1求角C的大小；2设函数f＝inω－C－coωω>0，且直线＝eq\r3与函数＝f图象相邻两交点间的距离为π，求fA的取值范围．解1由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcoC，∵a2＋b2＝4abcoC，c2＝eq\r3ab，∴4abcoC－eq\r3ab＝2abcoC，coC＝eq\f\r3,2又∵0<C<π，∴C＝eq\fπ,62f＝ineq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1ω－\fπ,6－coω＝eq\f\r3,2inω－eq\f3,2coω＝e