2021年中考数学分析资料-隐圆最值模型

2021 年中考数学复习资料隐圆最值模型与训练题隐氏圆模型题训练1

在AABCrrr

AB2AC

50

rio,M0=2,zO=90°,AABC的面积的最大值为 。

Q0

v则PQ+fQMr的最小值为:2的最小值为:2•如图，AABCAC=6BC=8AB=10,圆C的4,点D是圆C上一动点连接ADBD,贝

6•如图，四边形ABCD是边长为4的正方形,圆BB2P是圆B上一动点则厲PD+4PC的晟小值为 3•如图，在RtZXABC中.zACB=90°,AC=4,BC=3,点D是AABC内一动点.且满足CD=2,74的正方形的内切圆记为圆0 P0上一动点,则QPA+PB的最小值4•如图，已知菱形ABCD的边长为4,zB=60°,圆B2P为圆B上一动点，则PD+^PC的最

8•如图，等边AABC6,6P是圆O2PB+PC的最小值为。问题探究10ABCD中,点G是E、F分别是AB和CD接写出四边形BEFG四边形BEFG的周长是否存在最小,如果存,请求出其最小,若不存在明理. Ar—~D/

问题解决（2）若铺小路CE所用的石材每米的造价为a元•铺小路DE2a边形CODE，铺设小路DECE的ar不是，请确定E的位宙使总造价最低，并求出最低造价（用含a的代数式表示）问题解决如图，是街心花园的一角,在扇形AOBzAOB=90°#0A=12OA0B口C和D.AC=4m,DOB中点,出口EAB在四边形CODE

沿CE、DE，rE设在距M线OBCODE的面积显大？？如图.AB©O的直径•且点「仔丫関匕OC6PF点作PEOC干点FMOPE・M半点P/«。的直径，tL4"4・点COC6P（2j点台）.过P点PE0C十点&*当点PJ为』心；3“十；3“十・/画此'gig4“"5I二舟•込厶述心隐圆最值模型解决隐圆最值模型问题的关键点在于：发现和确定动点的运动轨迹。-日•确左点的运动轨迹是一个圆，就可以利用点到圆上的最短、最长距离立理求解出最短或最长线段。下面我们来研究一下隐圆最值问题。隐圆最小线段、最大线段问题模型 头篆号：数学频逍求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话題•随着直线型问題逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野.圆中的最值问题多出现在动点轨迹圆中.即动点的轨迹是一个潜在的圆。然后在确定动点轨迹为圆后，可以依据点到圆上的聂小线段长度、最大线断线长度来进行线段最值得求解。隐圆最值问題从整体上划分有一个基本模型，对应两个类型的题型。基本模型：点到圆上聂小距离、最大距藹问题。基本题型；（1）定点定长定圆问題（2）定线定角定圆问题

沃条号「数学频逍基本模型如图12,平面内有一定点月和一动点几点P的运动轨谨是圆0,连结.40并延.分别交圆于从（两.则朋为"的聂小仏M为〃的聂大值，即聂小值为彳％最大值为川0+半. 头.条号：数学频图1 阳2类型1 定点定长定圆 头条号；数学频逍13,在中，厶CE=90。，Z.ABC50°,MXtAAC,0MN的中点，AC2P0,/V长度的最大值畏().t(A)2亦(B)2^3 (C)76 (D)3°©动轨迹.Q是RZ4NC于宦值，由圆的定义可以联想到运动轨建是圆.再结合基本模型，可以得出代?长度的聂大值为POC073,所以选D.例2 (2015年宁波考如图4二次函数y=a+bx+c(a^O的图象交x轴于心,0),3(4,0),交y轴于点C,过3,C»ia,并连结AC.求二次函数的解折式和直线BC9点厂長线段上的一点，过点FMBC内接正方形DEFG便得边QE9G在％上，GFV轴于点①求该正方形的边长；

头条号:数学频道②将线段EF延长，交抛物线于点"，那么点F是/〃/的中点吗?请说明理由.在(2)线段BF绕点(7••的中总请直接写出线段"的最大值.E 头条号；数学频道4分析⑴二次函数解析式为"-护+詁+2直线解析式为y=-|x2⑵①％②不是；+本题中，O是定点，P畏动点，取眈K,连绪BF.PK+BF=+^K(2J)7PK为圆心，专忝OP的最大值为OK+泸弋炳例3 (2016年宁波考纲〉如图5,隹導廉RJMBC申，=BC=点p为萼屢类型2 定线定角定圆 头篆号：数学频逍RZBC所在平面内一.且满足巴1丄則P「的取值范围为 .头象号:数学频道分析：根据条件可知线段M〃是定值.且川〃所对的张角厶是定值.根据同弧所对的圆周丸相等可知.动点"的运动轨谥在过点4、B、卩三点的圆周上(不与久n头象号:数学频道又因为上二90°.所以皿恰好是直径。连结(0并延长交圆。分别为人■故"最小，最大，所以尸c的取值范图为石一1SPCS般十I4(20136,F/依(7)的边AEH连结心交〃。于点s连结处交处于点〃。若正方形的边长为乙分析：衽确定动点〃的轨迹时，需要我们先去证明厶〃—9(TMBEMJCF,得到少CFMBE由正方形对称性可知^AGMXG/DCF所以HBE、尸D的轨迹是M心，£曲为半径的£圆，连接仞，M75-1.5(20167,003.RZBC的顶点R,B在G)O上.ZB=点G在0。内，且lanJ=|,当点・4在圆上运动时，O「的最小值为( 〉4⑷ 42 (B) | (0幕 (D>|D分析：。是定点.「是动点，确定点c的运动轨迹是本题的难点•延长・"•交圆于点并延长，交圆于点F,连结. 头条号；数学频道因为tan/f=^,所以ZJO为定值，即ZBCfi为定值.4因为00半径为3. =S所肋二符合定线定角定圆这种类.故点C•的动轨迹是过丛c,E三点的圆弧且在Oo内.不妨设圆心为a,0,0.0因为Z^C£+ZD=180°,ZOt=ZD所以乙BCE+g=180°易得ZO、=ZACB=ZFEB所以为tanq因()上丄0.04 4所以最小值为OQ-OiE=ge*2，点P是啊e*2，点P是啊c1 一网二£輕二厉顶点〃在射线OD上移.厶OD=30J则顶点「到原点O的最大距离为 头条号:数学频道（儿动点是点C,尽管934头条号:数学频道不妨换个角度来希问思，正难则反，把正2BC看咸是不动的，此时平面直角坐标系在动,原点O在运动时满足ZAOB=30°,而ZAOD•也是不变的，符合定线定角定QDO4B.O三点的圆弧（上），取圆心E,连结Q.EB因为ZAOB30°所以ZJ£B=60。9 t22连绪阳并延长，交圆子点O,此时co聂大，最大值为CE+半径=2、厅+2从上面的几个例子中可以发现，模型中难度叔大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇到各种困难，这时就需要我们利用题目的巳知条件，挖掘潘在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.深度剖析一类隐含圆的动点问题挖掘隐含条件破解动点问题一、动点问题中可构建圆的基本结论“定线定角”隐藏着外接圆1,已知线段AB1,点C是直线AB上方的一个动点，ZACB=30°,动点C的路径是什么？想一想:在直线AB上方找这样的点C,能找到多少个?把这些点连起来成的图形是怎样的图形？通过思考可知，在直线AB上方可以找到无数个点C,耙这些点连结起来是一条圆弧.再想一想:如何画出弧所在的圆？根据条件，圆周角是30°,圆心角是60°，画等边三角形AABC就可以了.0点就是圆心，半径就是线段AB的长，可以画岀一个圆.1,CA,B,CAABC是一个动三角形，ABAB所对的角是Z.C是在AABCAB是弦，00的圆心是在AB的垂直平分线上，ZC是圆周角，所以在圆中所对的圆心角ZC60°,即ZA0B60°,0A0B,AAOB,圆R4,动点C构成O0的一段优弧，即点C的路径长就是优弧ACB变式其它条件不变，ZC的度数改为45°,60°,«(0°<«<90°),求点C路径.22,线段AB4ZC=<i时，ZC=a的大小确立，即“左线左角”，根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”，可知这些问题中所求C而“公共料边的直角三角形”隐藏着外接圆3,已知线段AB1,画出平而内满足ZACBC想一想，能画出的是什么图形？经过分析思考可知，所有动点C组成的图形是圆(图4)・图3 图4再想一想：圆心怎么找?半径是多少？€)0各点都是使ZACB二90°的点C吗？通过画图可让我们联想到:直径所对的圆周角是90°直角，从而画出隐藏的圆.再根据“90°是圆的直径，圆心是AB的中点，所以半径是2•点CA、点B处不能构成直角三角形，所以动点C组成的图形是除A,B二、实际应用V15,0为坐标原点，A,B,C(73,0),(373,0),(0,5),且ZADB60°,点D在第一象限.求线段CDVV6,60。，作等腰MP3,且Z120。，则PPPEAB垂足为E・"（点0）/（3矗0）,・•・E（2VI0）,PE=lP4=2PE=2,二尸（2屈1）.•••C（0,5）,・PC7（2^）2+（5-l）271216=7282^7当P.D.C三点共线时，CD最短.又•PDPA2,:.CD=PC-PD=-2,即CD22・注：这道题中ZADB-600是左角，线段AB2J327,正方形ABCD2,PBD上的一个动点（不与B,D重合），连结AP,过点B作BH丄AP,H为垂足，连结DH,求线段DH图78,取曲的中点O,连结图7BH丄AP;SABH是直角三角形，.\OH=AO=-.4B=1,2在RZOD中，OZ）=Jo才+血?=JF+2?=.在中，0H+DN>0Df二当DH的长度最小，此时，DH=0D-0H=后一\・注：解题的关键是找到共斜边的宜角三角形隐藏的外接圆.解题中要能自己创造图形，挖掘问题本质，就能知其然，也知其所以然，从而牢固建立系统的知识体系，而且能灵活应用所学的知识解决问题.三、反思认真审题找突破口中考试卷中常会出现动点问题，其中一类动点题，看似无圆，但其中隐藏着圆的模型•如"左线左角”、"有公共斜边的直角三角形”等.我们应通过去伪成真，让“圆”形显露，再利用圆的性质解决问题.抓准延伸点思维持续生长在审题时要寻找题目中的特征，挖掘隐含条件，抓准知识的延伸点，让自己的思维持续生长.平时要注意积累解题方法，它对你来说就是一种解题模式，当你碰到类似问题或求解英他问题时，就能起到指引作用.解题后要归纳、总结和反思，使思维品质不断提升.找出数学模型求出正确结果在平时的学习中，对基础知识、基本图形、基本方法、基本结论要进行深人研究，把解题的过程当作建立数学模型的过程，并在建模过程中培养自己的数学应用能力•变与不”都是相对的，变的是几何问题或图形，不变的是解题思路和数学本质•在解题过程中，要抓住图形的特点，从中发现解决该问题的数学模型，并快速求岀正确结果.11.如图，在锐角△11.如图，在锐角△ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45•，在ZkABC绕点B按时针方向旋转的过程中，点M为线段AB的中点，点N是线段A[C]上的动点，则线段MN的长度的最大值是 ，最小值是 .12、如图，00的半径是4站，四边形ABCD为。0的内接矩形，AD=12,MMF,MF的最大值是DC的中点，E00上DE,DFDEMF,MF的最大值是如图，在RtAABC中，ZC=90%AO3,BO4,圆C2,点P是圆CCECP1由题可知，在CB上截取，CE=L则—ZPCB为公共角^>ACPE^ACBPPE_2PB^2 =>AP+—PBmin=AP+PE>AE=,/10CL111：0的半径为「A.B为圆外两个定点』足圆上一动点•己知i-kOB.连接PA.PB,PA»kPBP点的位趕©阿氏圆♘木模型己知：圆0的半径为nA.B为圆外两个定点』是圆上一动点。已知-kOB,连接PA,PB,当JPA金取最小值时，如何确定P点的付胃。如图，菱形ABCD与BC相切于点E,点P是OA上的-个动点，则PB+乎PD的彊小值为 •【答案：i2v,rio在AABC中，ZA( B(如图，菱形ABCD与BC相切于点E,点P是OA上的-个动点，则PB+乎PD的彊小值为 •【答案：i2v,rio阿氏圜解决方案，①构造母卅I似/形②刈点之.间线段般短IO化做线段•连接朋二O化做线段•连接朋二OP^Oiri小加乙BOP_1=・2CPRCR=^7B..1PC^PB^1{PC>\PH)2(/\3r四边形ABCD4的正方形Q"2/为O匕的动点.连接PCPD,求2PD+4胆的加小值.数学大宇阿边边长为4的正方形Q"的F從是2屮为0〃匕的动血连接阿氏闘解决方来：①构造皓产相似加形②两点z间线毁赧短PGPD■求阿氏闘解决方来：①构造皓产相似加形②两点z间线毁赧短2RQKP2做线段〃（严连接2RQKP2做线段〃（严连接0ZPRQ=/DRP/"0s△肋/>.攀=_1-ID444（亍PDW）=4（/08/.［点庆线时仃址小值为止方形的边长为4.P为内切闘上的一个功点•求运PA+止方形的边长为4.P为内切闘上的一个功点•求运PA+P£U；小依MPM比PAA况|Q卢过型心.却⑷讣.屁护忡耐丸.【答案：A]、 49ioAl)toffi.ZkABC'的两代\.B ft7?的ol【答案：A]“隐形圆”之“定角定角平分线模型”一.模型解读如图，已知AABC中，ZBAC=«（建角），AD平分ZBAC,且AD=m（定值），形称为“左角立角平分线模型”，下而我们来研究一下它可能会考查哪些问题。过D作DH丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG,且为左值;•?ZBAC=a为泄角，・・・ ZHDG二180°-a,•••ZBDH+ZCDG二a,也是定角,在AB上截取HE二CG,则厶DHE^ADGC.•••ZBDE二ZBDH+ZCDG二a,那么ABDE是一个左角泄髙三角形，我们可以通过研究ABDE的相关最值，来分析AABC而通过例题来说明。二、例题分析1/XABC中，ZBAC60°,AD平分ZBAC,交BCD,且AD6,则AABC【简答）VZBAC=60°,AD平分ZBAC,•••ZBAD=ZCAD=30%.\ZBDH+ZCDG=60°,过D作DH丄ABH,作DG丄AC于G,则DH=DG=3,.\ZBDH+ZCDG=60°,在AB上截取HE=CG,

贝ijADHE^ADGC,ZBDE=ZBDH+易证Sig~S曲龙+2S&QG5而SUM——X3X3壬—ZBDE=ZBDH+•••要使AABC面积最小，只需ABDE面积最小，作ZXBDEOO,过O作ON丄BEN,连接OD,OB,OE,头莖@巧学豹学V/.00r,BE=>/3r,ON=1/,2•••OD+ONN•••OD+ONNDH,r>3f:.r>2,2•・S^DE=-B£P//=ixAx3=—r>3>/3△BDE3厉，•••△ABC面积的最小值=3A/5+2X婕=12、厅.2由上题还可以看出，当"定角定角平分线，'的三角形面积取最小值2ABC,AD平分ZBAC,交BC于AD-2,求AB+AC的最小值。【简答】•••ZBAC=120。，AD平分ZBAC,•••ZBAD=ZCAI>60Q,过D作DII丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG=,AH=AG=1,在BA的延长线上取点N,使HN=CG,AB+AOBH+CG+AH+AG—BN+2,要使AB+AC最小，只需BN最小。VAZHDG=60°,AZBDH+ZCDG=120°,•••ZBDN=ZBDI1+ZCDG-120%（则ZiBDN）作△BDN的外接圆QO,过O作OM丄BN于连接OB,ON,OD,OB=ON=OD-r,贝lJOM=!r,BN-J3r2IOM+DH<OD.A-?+73<r2

r>2>/3,ABN=V3r>6,AAB+AC-BN+2>8,AAB+AC的最小值为&很明显，当AB+AC取得最小值时，AABC依然是一个等腰三角形。头畀@巧喊学三、实战练习问题提出MBCZJCB=90°,/EZCAB戏C=6,^=10,则点E到力B的距离问题探究\ABC中，ZC=ZJ=5C=2,点D为斜边ABk一点，且ZEDF=90°,ZEDFMC于点交BCFDEDFDECF的面积.问题解决为了美化城市，某公园准备设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成A5£7儿ADFCAEDF三部分，其中在四边形AEDF64A/JED和ADFC=、点点F分别在边边肿和边ACDEDFZEDF=60。,为BC的面积是否存在最小值，若存在，请求出MBC【解答】(1)如图①中，作丄曲于H・疝®巧学如图①RtAACB中，vZC=90°,AC6,JS=10,ABC=V/152-^C2=>/l02-62=8•应平分CABZ.CAE=ZE4H,・•・Z川CE=ZAHE=90°,A£=AEf:.MEC=AAEH(AAS)f/.AC=AH=69

EC=EH,设EC二EH=x,在RtAEHB中,•••E1+B2=B2,AX2+42=(8-X)2x=3,EH=33.如图②中，作DM丄BC于CD.•••ZDNC=Z.DMC=ZMCN=90°,・•・四边形DNCM是矩形，ZNDM=90°,•••ZNDM=ZEDF,・・・ZNDF=AMDE,ZDNEDME90°,DEDF:.2NFADME(AAS),・•・DN=DM‘S^^DECF

二知g'在RtAACB中，vZJCB=90°,ZJ=60°5C=2,AC=BCHan30°=,JB=2ziC=—,3 3•• BC2x迹丄2・M+~U邑DN,2 3 2 2本题属于四边形综合题，考査了四边形的面积，全等三角形的判怎和性质，解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.学会运用“左角左角平分线”模型解题，辨别该模型与前而所学的“左角龙髙”、“左角泄中线”、“泄角泄周”等模型的区别和联系！阿氏圆最值问题例k问題提出匸如;b左RlAASC中r也M8=90・，C8=4, "=6,©C半径为乙P尝试解％为了無决这个问题，下面给出一种輕迦恿路：如国2,连按尝试解％为了無决这个问题，下面给出一种輕迦恿点0便0=1,则有寻=£=¥又•:ZPCD=ZBCP、:.APCD^ABCP,:.AP-^BP=AP斗PQ.诸你充成余下的忌.并宣接写出答実：人P*肿的垠小值为:.AP-^BP=AP斗PQ.自主探熱在嵋軀显出”的条件不芙的情况扌“+”的最小侵为 拓展51伸二己知房形C0D中.ZCOD=900,0C=6・0A=3,03=5,AP是O上一虽,求2PA+PP韵最小值.例2：如囚，LABC 中，BC=4.AB2AC, 的面积的最大值为 强化训练向内构ifi类型1. 如图.己知AC=6ac=8,AB=10.CX?g4.点D爰GX2上的动点.连接AD・BD,^AAD^-BD的最小恒为 22RtAABC中-ZJC5=90a\ACM,BG=3,D为ZkABCCO2.2则AD^-BD的最小值为 3第1逋因 第2題图3、如在R仏ABC中・ZC=^Oe・CA=3)CB=4・"C的半径为Z点P£O<7上一勃点.则AP丄F3的最小值为 2^ABCD42,—：叱癖他为——.5、如叭00的半径为JF,尸O=Ji? MO二2.ZPOAcf二90：0为G)O上一动点，则PQ十写QM的最小值为 6、如图，己知菱形ABCD4,ZflFOS02,P05的最小值为——第5題圈 第6题图7v如團，点C12.5）-点A的坐标为（7,0）0C的半径为JF6B在g上一动点，OB十吃AB的是小值为 5如图.在平面直角坐>xoy中.A<6<"片M（4,+）,以M为麼心.2血为半径画臥0为原点，P^OM上一动員则的最小值为 357S39.在平面豆角坐标系.A(2,0)3B(0.2) C(4>0),D(3.2),P是AJOB外St357S3的第一彖隈内一动.且ZfiRd=135^则2FD-PCBj^fd是 ■10.如图.AB为0(9的直衿，AB二2•点C与点.D在AB的同妙且AD丄AB,BC亠AB,妙二走P是OO上的一动羔—PD+PC的最小值为 71几在AB=9. BC=8Z4BC=60%OJ的半铉为忘P是GM上的动连接朋则JFC+2FB的最小值为 4的正方形，内切国记为P是CX）最小值为 2PB-PC

ABC6.0O・P8的最小值为 第128®14、如囲.在Z4BO申.N尿90^ C5=以越方为型心作国8与XC相切，点第128®J?为囲厅上任一动点，^PA^—PC的慑小值是 ・215.姐图.蓋形ABCD2,厶A8C=04与BC相切于点&点P0J一动.PB^—PD的最小值为 216、如逐，RtAABC中.Z>1CB=9O'AC=8,BC二6•点P是AB上一•乳且—=7?J•点F在以点P为圆.AP为半径的O尸上，则CF+mRF的最小值为 ‘此时AP= A(1)如图】，己知正方形ABCD2,点F5上的一个动点，求加+£尸C的最小值和PD-^PC的聂大直.二22,已知正方形ABCD9./的半径为.点P3上的一个功爲22求PD+jFC的最小值和PD-gPC3.已知菱形乂B34.ZS-90^画迟的半径为，2,F是圆S点，^PD+-PC的最小值和加-丄尸C22如国，在Ri'ABC中，Z4=^0=8,以C为国心，4为半径作(1)试判断®C与月B的垃買关条，并说明理由：⑵点F0C2＞3=2,2VQ△力CF("点E^AB边上任意一点，在＜2)的情况下，试求出EF£F4的最小值.■1・(3,0),以点M为圆心，5为半径的圆与坐标細分别交于点A，B,C.D.AAOD与△COB22，DExP.BPDP=32.tanZEDA:3.过点DfEOH的切找，交x希于点Q.点G0》上的动点•问比值嬰是否1,抛物线ywxJ3>"3(a*0>与x轴交于点A〈4.0>,yB,在x轴上育一动点ECE0)(0<m<4),过点E件xAB于虐N,交摊物线于点Pr过点P作PMAE子点M,(1)求R的值和宜线AB设△PMNCi，△AENCyCg5

,求m的值;2,企(2)条伴下，将线OE^5AO逆时针望转得到OEa<0*<a・E'A.EE.求E'A+ZE'B的最小值.®13®1经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”一•名称由来在中考数学中，有一类髙频率考題，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“园”.但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。«sa«sr°—旦“BS”形毕则答案手到摘来I二•模旳建立【模型一，定弦定角】【棋创二，动点到定点定长（通俗讲丸是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三，亘角所对的是自径】【模型四：四点共圈】51【模型一：定弦定角的“前世今生”】今生若有，固定纨段及线段丸〃所对的大小因定.根今生若有，固定纨段及线段丸〃所对的大小因定.根UlnfftlC点并不凤唯PICft的优上嘲可（至于是优弧还是劣张取决于/「的90。・剋（衣优强上坛动；等于90%（7|90C11运动0O弦.43所对的（注逐仏在劣“上也弃m周舟,需要根据縣H灵活运【模型二：动点到定点定长】前世/KOO前世/KOO中，OASB=OC=ODI—■, ・,GD点在以今生9•彳为圆心#〃为半径的圆上.（理论依据：到定点的距离尊F定长的点的集合叫做1«【岡的定义】）【筷型三：宜兌所对的是宜径】mtttmttt0O中•ABFlAB所对的Z(-90°i若有•“趕囚运找段，RA^ZA<B-W3,IMc在以a/r为ft轮駁的圆匕.（北矣秸本来JK于定孩定舟・C1是因为比较待殊.故瞅狼分为类）今生【模型四：四点共圆】今生右网迪够佃e（JftKCZ3-/4,Z1-Z2.Z5-/6）4/W1点（某兰小舵£（Miitf）四.“隐圆”破解策略知识储备一：（点圆距离）圆外一点知识储备一：（点圆距离）圆外一点P.圆交ft、3两点.则刃为P/临为P到圆上最短距离C在优加 T在劣弧上上时 时六•“隐岡”典型例题【模型一：定弦定角】1.（2017威海）1.^ABC/15=2,若尸为△/!满足.蚁bffl乙PAB二乙则线段M长度的圮小值为.蚁bffl简答：因为ZP4彷，所以ZP4CZPC=60。，即Z/PC=120°•因为"定KXZ/IPC=120°”,/＞01Z"O=120°,Z.4OC=60°■故以/1C作等边△O为圖心.OA为半径作eo.P00上当禺几O3P最短（知*点圆距离）.览时BW2-22•如图1所示，边长为2的等边的原点/在”轴的正半轴上移动，Z〃OD=30°,顶点M在射线OD上移动，则顶点cm点O的最大距离为•简那因为ZAOB=30°（〈定弦）.故.4O08.60°•故以肋为边向。方向作等边为圆心角，Q01心以“为半径2）•由知识可知当OCAB时.OC0000+0〃+〃0=2+71=2+2【思考：若呢？（*借角模型〉】3•如图1,点/是宜线尸=7•上的一个动点.点〃是w轴上的动点，若/1ZJ=2,则△•40〃面积最大值为（）A.2 B・V2+1 C・V2-1 D・2V242（定弦）.Z/iO»=135°（定角）.因为ZAOB是圆周角.故Ml900为圆心（2）,识储各二可知.0Q丄"时.此时NOAB的高OH・-AB^OH•2*（V2-I）«V2-1»所以此题选择几22同学：老.你说错答案.选U 小段老师：没错.就选〃啊同学：你是老师，你说了算，你开心就・・・仏fi在哪里吗.为什么想当然觉得Zzl«»=135*呢.难45・3,00由“知识備备二■可知当OQ\AH.OH2•（T）二血…故答案选K2•如图，在△/［〃（？6DA二DBDG若Z620°.^ZACB=简答：如图2因为D2DB=DG故,C三点在0D,ZDAB=Zl)BA=29,故Z如图ADB^9•故ZACB今ZABW如图如图1 如图2简答：因为Z1=Z2>AD//BC.ttZ3=Zl.Z4=Z2.故易证△AEB^^CD.故EB二CM,ED=2AD=\0f

故50=841,2/〃竖宜放在墙角，在沿着墙角缓慢下淆宜至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为？2简答：ft斜边I：的中点等于斜边的一半叮知二I,动点P到定点0的料始终等于1,觸足圆的定义（到定点的距离等T•定长的点的集合叫做圆）•故的运动轨迹是碉.圆心角为90°.轨迹长度为四分-•恻的长.省略。5•在矩形ARCD中，已知J«=2, 现有一根长为2的木/〃•紧姑着矩形的27•的中点P如图1简答*点P如图161,在矩形ARCD2,,40=3,点E,"分别为//XDC边上的点，且£F=2,G为EF的中点，P为〃C/M+PG的最小值为？如图1 如图2G的运动轨迹为08求AP^PGA对祢点则AP^PC^9严PG当几GG在国00G47/（3,0）,〃为p轴正半轴上的点，（:为第一象限内的点，且A0=2.设SVZBOUM,则”的取值范围为？,402,•通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）（70（7GU相切时，此时ZBOC最小，IANZBOC•此时ZBOC^ZA0C=Zz4OC+ZC/1O=90°,Z〃OC=ZC,4O,MNZC4W,又因为角度越大.正切值超大.故IANZBOC=MM£

AC281.Rt^tBC中.ZC=90°.4C=7,FME点E为边BC△CEP沿賁线EFC落在点PP到边距离的最小值是？简答：EE八7＞1*22不变，故尸点到尸点的距离永远等于2.P在2.由垂钱最当F△/1F〃SG所以Z1F:F//:.4//=5:4:3,又因为45.故FH又因为/7＞也故P2980・8（7=4,CD=3zlBPG则PW长度的最小简答*翻折过程中rA/P=A/4=2,故P运动，当弘（?MP需要过丄CZ）H,ZA/DW=3O0,/Of=l,H忙7/0=4^,MU7,PO7-2=5【模型三，宜角所对的是宜径】11,/?tA.iBC+,ABLBC..15=6,BS4,尸是△"〃（：•终有AP丄BP,则线段CP长的最小值为？2,因为zIP丄”几Z戶（定旳）zf/；=6（定弦：），故P在以,43为H亡三点C3.〃C4则CP=5-3=22•如图1, （1,0）.B（3,0）,以•佃为直径作阀“射线0F交圆M于E、F点，C为HABD为弦上屮的中点，当射线绕OC0的最小值为？。是EF中点，取ZOOM始90°■故O0M的。易当线时.CQ最短.CP=/1C-W»又易faC(2,1),故.4C=v2rCI>=72I在厶ABC中，ZABO90,J/?=6, O为AC的中点，过O作OE丄O几OE>OF别交射线AB.BC于&F,则”的最小值为？简答：因为ZEOF=90°ZC=90°,故GO均在以"为直径的E8上（也称四点共EF（:「长度固定，要使得EF最・OC0（7H1最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢琢唐），此时C8E20EB二5（斜边上中441,Rt^ABC中，，4<?=5,BC=12,ZACB=90^PABh的动简答：以（70为克径作1HAR边上的动点P在ZCPQ为宜角.当O0（2）.直径Q最小.由切线长定理.得/IP=*C=5,所以肿=13—5=8・OS/SBC,0P=¥・€0=罟・当点Q与点〃璧合时（3）,直径y最大，此时CQ=12・综上所述，［WQW1251,4QO中，CD/I8丄CD且过半径OD0O上一动点，CF丄,4力于点F./?点F简答，因为Zm=90°（定角人心“（定弦人故F在以MC为直径的OQ上.当£F在G处，当E在。处时，F在・4处，故F弧AG的长度，易求出Z/S=30°>故Z/0G=6O°,故^AG长度^e2n<^=^6.（2013武汉）1.E.F是正方形ABCD的边上两个动点，满足连接CFBD3疋交,4G・2,度的最小值是？AREDCF.bDAG辿ZDA6乙Z.4ZJE+Zzl£U-90°,Z£4〃+Z/E〃=90・•Z・4〃B=90故〃在以/<30当、//.0三0匸卡771.在Rl^ARC中，/90ZC=3O0,1,0为线段上一动点，将厶BDCBD（7的对应点为F,E为/K?的中点•在。从Q/£728FG故F当EF最短时，B.E.F点共线（如图2）,此时Z«FD=Z/?CD=30°,Z/7WXZGM>=15°（因ZEBC=ZBCE^30°）.故ZFDFAZCDHWZFED=60°,FD1CE.EF=BF-fBE=75-1DF^DCEDFED^EF=~^故f-1Ci>=l-£/>=1-^—= 2

3-02（2017ft迁）fft片ABCD/?=1,点疋在边O动，连接将多边形ABCE/C（为点・当C恰好经过点。时（1）,求线段*98C分别交边ADCD于点F,2人求HDFG9的面积；在点E从点C移动到点。的过程中，求点C'图 圏1 2简答:（1）“K字形”秒杀，过程略.答案：76-2（2）由翻折全尊可知Z0/1£=ZB/1£=67.5O,N£ME=22・5°,故N/T/!45°•答案：|-V6（3）折叠过程中始终有ACL4为G8心.4T上。根据点EC时，CCE移动到。时，C3位JL易求C0160・故C'£.2"2=£艮360 3【模型四：四点共圆】11,正方形ABCD中，Z£JF=45°,AF,V,AE与〃0MF>NE,求证MNE、ZVIMF是等腰宜角三角形fBJff：因为Z1=Z2=45°Z3=Z4.故八£\N四点共因为ZABE^.故ME为直径，故Z4VE为CT,故△4VE18直角三角形.同理可证AJA/F（此題也是很经典的“半角模型”问题之一）21.等边△初C中•初=6,P一动点.加丄PELAC.J!«JDE如图1如图阿氏圆中的双线段模型与最值专题3 阿氏圆中的双线段模型与最值问题【专题说明】△P/4aAG4PPA平方三原有线段x构适线段。【棧型展示】(1)甬平分线定理:如ABDBJC~DC如下图，已知43两点，点P海足阳：(1)甬平分线定理:如ABDBJC~DC明：芒S证CD

S“二xDEACxDF

r\f>(2)外角平分线定理：如田，在中，外角少£的角平分线ADBC0则走=药・7")Z?4R&史得连接加■则△/!•炉少且“平分ZBDE.5!]=^.即炸算接下来开始证明步熱\( n如图.PA:PQ*作ZAP3

MAPA

故"点为定点,即N/JPg的角平分线支于定点：

NAP4

=—=k.MBPB作4B外角平分线支直线朋于N---A.即外角ABPR平分线交直线力8于定点：51Z,炉徒90°,定边对定角，故P点软迹是以剜为直径的圆・【例題】仁如團，抛杨线y=与x/($,0),3(晟B在点力的左侧)，与尹轴交于点C,HOB3OAZOAC7紬于点D,4,4£＞/交歹轴于点E,点Px轴下方抛物线上的一个动点，过点P作”丄兀轴，垂足为F,交直线月。于点・设点P的横坐标为加，当FHHP时，求刃的值：当直浅PFHHC为半径作OH,0为的一个动点，【解析】⑴由題愈水石，0).8(3^3.0).C(o.3).设牝物线的解析式为y=aO3\/5)a_J5),•Z/24C,:•ZOAD=3LOD=O*"rHQ=1t(0,

1),•••fi.线MOy=2^x-13P（加,H5m-P（加,H5m-1),F0).3•:FEPH、A1使得丄,4(3)如图对称轴••••F(-J5・0)."(-J5 ,使得丄,4氏卄（一加丄）.讪才，嘶*嵌—•.血二竺8 8 •・•如—•△林—等箸冷，••・◎扫

A-AQ^OE=K(hEO,•••当化Q、K4共线时，丄"-0F的值最小，敢小值=42. 1所示，00的半咎为人点A.B0。外，P00心•共线时，丄"-0F的值最小，敢小值=4则当“P卅斤・P矿的值箴小时，P点的位迅如何确定？0（1的线段两端点分别与圈心相连接），2:计算连肢线段储长度：OP3：计其两线段长度的比值——=k;OBOCOP4:在03上截取一点Q,使得-----=---构建母子型相似：OPOB5:7,0交点为P・即AG段长为PX+A*PF的最小值。P2）000A,0与PQ0梱似,即八P生P0,iPS”“PP0”P、C三点共线时最小（3）时"线段长即所求就小值。3,Q12,C0、则2AZBD的最小值是 ・【分析】首先对问题作变式2阿3妙环；AD+BD「故求［AD+BD最小值即可.2考虑到。点轨逐是圆，力是定点,且要求构造匚仞.条件己经足够明显.3当0点运动列加边时・少=3,此时在战段血上取点“使得恥2,則在点0运动过仔中，始终存在DM^DA・3问题转化为爾加的最小值，直接连接园人的长度的3倍即为农逆答案.4、如图，巳知正方朋〃的边长为4,眦的半径为2,点P是圆0上的-个动点，"-『C的聂大为 【分析】当P点运动到％边上时，此时PU2,［PC,在％上取"使得此时P1,P有PZM>"的走大值.2连按P0对于PZW,PPXQ0、P共线时，P0P【巩固训练】1•妇图1,矩形ABCDI45-2, 点F分别AD.DC边上的点，£F-2.点G2.JOffl2,3CD中.A3^4,9

£ABF長线段BC边上的动•点，将SEBF沿EF所在■第折叠得到△BF连寒则的量小值是 ・3/(3,0),0为〉•轻：E半轮上的一点•点C是第一欽琅内一点.KXC-2.设UnOOC■加.则加的取值范国是 ・43,RtAABC中，ZCAC^6t

BC=8,点F在边AC上・芥且CF=2,A£为边BC3CEF沿直线〃'和折，点C落在点P处.则点P到边.45$小值是 54.四边形MCD中，DCfiABf

5C-1,则加的长为 ・6•如图5,在四边形ABCD若ZB4C=25，,ZCW=75e•则ZBZX?= fZDBC= ・7•足球射门.不考虑其他因素，仅考虑射点到球门肿的张角大小时，张角越大，射门越好•如036的正方形网榕中.点A9九点C

B,C,D9

E均在艳点.球员帝球沿CD方向进.最好的射点在＜ )B•点厂或点EC.a&DE〈异于5»A)上一点

D.asCD(异于2»A)上一点cy‘/，‘X/<H44图6 图8&如EE7.48是O0J［径.FQ©0的弦.PQAB不平行.尺是说的中点.作PS丄AB,S.TCS*D,并且Z5^=60°•_・如SB8,若・/APB=2"CB,AC与PB交于点且則AD•DC= •10/(4,0).B(-6,0),jSC是y兰ZBCA=45。时，点C的坐标为 ・®9f1210,左平面直亢坐标丢的第一貫農内有一点法坐标为(2,加〉•过点B作AB±y9@®9fx雜，鱼足分别为儿若点P在袋段M上灣动(点P可以与点儿B1SL=45-的位置有两.则加的取值范33为 ・

BC丄在蜕角△肋C中M3=43C=5,AMC嶷点B£^ABC.jD^ll-l,当点CC4的廷长线上时，求*11-2.连接心"CG4.求△CBC；的面枳：(33S11-3,点E为线段肋中点，点P是线段/C3C过程中•点P的对应点是点R,o3143与K怡交于儿B5A在点〃的左侧人与j轻交于点C.(1)求点人3的坐标)(2)/过点£4.0),M为直護/£•M为顶点所作的直角三角形有且只/15.Jm®.直线，=一扌x+3X/两点，点P0B在斜边曲上找到一点C.便ZOCP=90设点P的坐标为Cm.0),参考答案例1.【解答】辑\\4B=AC=4D9AB,GQ33/CAD=2厶,厶BAC=2BDC,•:ZCBD=2ZBDC,ZB4C=44・,:.ZCAD=121BAC=Sr・故签案为，88-•2hPB1.EF的中旦P运动过程中的轨述为分别以B.C.D3^,km为半径的盗.35-4个扇形面祝=6-4”巴磐=6・貳(沏；)・JOU3・3・【解菩】解：连接C0.VZCPO=ZCW=90g,AC,MOf 9P四点共CS,CO为:S径(E23连檢PM0E的一条弦.当PMPM屋尢，听以PM=CO=4时PM最大.即PM•仪=4.例4【缪答】解：(1)以.3为边.左第一象萇内作尊边三舟影ABC.以点C为圆心.FC为半径作0C,交〉紬于点P】・刊・在优扳肿〃上任取一点几如0E1,»IZAPB=^ZACB=丄X601=30,・2 2:•空ZAPBH的点P*•••点川(1,0),点B(5,0),=\OB=5.9:.AB=4.C•••点川(1,0),点B(5,0),=\OB=5.9:.AB=4.C2S心.CG丄AB:.AG=BG=^AB^2.9 2：.OG=OA^AG=3.是等边三角執••MC=BC=初=4.:.CG=7AC?-AG2=^42-22=丫忑.•••点C的坐标为<3.2苗).C作CDLy量足为D.CPif

0B1,C<3,2V3)iACD=3,OZ>=2近.I是QC:.ZAPtB=ZAP^=39.=CA=A.CD=3・=W・•••点CCD丄PiPz,:.P}D=Pi・•••円(0,2V3•听〉・Pi<0,2V3W7).P在y*縮上时，同理可得：巧(0,-2^3•听〉・H(0,-2VW7).综上所述：満足条件的点P的坐标有，(0,2V3-V7X(62^577入(0,・2•听入(0.2VW7).（340E与〉岫相切于点P时，ZAPB大.ZAPB最大时，ZAEH得：当血点小即私点小时.3大•所以当刮与）•①当点P在〉粕的正半轴上时，连按E4.作功丄x轻.垂足为H・如国2・与y頁PE・丄a.OP丄OH,ZEPO=/POH=ZEHO=W••••四边OPEHf

PE=OH=3・；・EA=3・•:ZEHA=9T,AH=2,3>3 .•.£H=>3 AEA AH/.OP=V5・・・P（0,V5）.P在yflhP<0,・理由:®P在>，結的正半轴上任取一点M（不与点P重合人连張购，交于点连後2所示.VZANB是△XWC的外角，A•:乙APB=ZANB,:•厶APB>AMBP乙・*当点P3E）ZAPB犬值.此时点P的坐标为<0,需）（0,・V5）.【巩固训练】答案以1（2弧上的点，作彳关于BC^D.rZBC以1（2弧上的点，作彳关于BC^D.rZBCP.交以D为CS心.103于G.PA+PG的值点小.聂小值为MG的长IvAB2AD3・AX4>/.A*D■5■•MG•才D-DG・5・l・4i:・PA*PG的最小值为4*故答案为4・2GB3E为ES心E4为半轻的圆上运动.当D.B、E关钱时时，此时FD的值量卜:.LB^EB・•••EAB:.LB^EB・•••EAB边的中点，-15=4,■•AEfbvAD・6•二7皿.-.^=2710-2.3 •解：C/为$20C5-4*8切（即到C点〉时.Z50C・JC-2,0/1-3,由勾股定更得：OC・£,7Z5OJ=ZACO=90°,・・.ZBOCZAOCN90J7Z5OJ=ZACO=90°,・・.ZBOCZAOCN90J/CAO+厶OC・.・・Z3OC=ZOACrtin乙BOC■tinZ.OAC■—»AC2隨着c的移动.ooc毬来越大.•••cCX轴点，即ZBOC<9,/.tanZBOCf故答案为：mRtlABC申，:ZC・90J*C・6,・/.AB■J6：109PF2.ZFPE•ZC•PE!AB.・・.ZPDS-903・由垂线段晨短可知业时FDFP:PD有:e小值・又•••厶■厶•ZACB■AADF■•••誓-经，即£-¥，解怜•••誓-经，即£-¥，解怜・ABBC108二・・AB.BF・2+2・4,•・・FB52D,延长BA9AF^DF是0/的直径./.ZFDS-900,:BDZBF'-DF、■屈.AB=AC=AD9ZADB=/ABD,ZACB=ZABC,DZBAC=29

,ZCQ=75・,ZACB=C180*・25・)2=77.5・•AADC=ZACD=(18(T・75・)亍2=52.5，■ZADB=(180*KMT)2=4(T.ZFDC=ZADC40,=12$,ZDCB=ZDCA^Z彳CB=52$*77.5-=130•••ZD?C=18(r-ZDCB・NBDC=18(T-130*-12.51=37$・AZJDC=12.5,,ZDBC=37.5,・7•【解答】解,连接BC.AC.BD・AD.AE,BE,己知儿B,D.E四点共21,（B斷角相等.因而然后却同取对应的“冒内角組大于E3間角「E3莅DE上时角最犬.财门点在D点右上方或点E左下方时角度则会更. 故选,c.8.【解答】连结OP・0Q9

EE,•••R是P0・:•乙00TPS丄AB.•••ZPSO=ZPRO=90・••••点P.S、6R四点在以O卩为亶径的C3±,:・ZPSR=ZPOR、同湮可^ZQTR=ZQOR9

:.ZPSR=ZQTR9

ZRST=ZRTS而ZSRT=69.沁RSTAZXSr=6e■ZRT3=60，•:.ZRPO=ZW=60s.ZRQ0=ZRT0W为等边三克形，:.AB=1PQ.・畝答案为丄•AB2 29•解析，本遞主要考査三点共BS列定和相交弦定3L由PA=PB.ZAPB=2ZACBA,B.C三点共迅El心为P半包为PB由*fi交弦定現可知—4・DC=CPB*PD)(PB-PD)=710.【解答】解,设线段必的中点为E.•••点*(4tOk3«・6,0),:.AB=10,£(-L0).Cl)J1所示，过点£在第二象隈作肿丄且£?=15=5,254Z＜=9(r.PA=PB=5^2；BJPA0P,・鮭的正半牡文于点GOP(3間角，•■•ZBC4=NB刊=45・,即则点C2过点卩作PF±y于点F.ROOr=P£=5tPF=LRtAPFC中.PF=l,PC=CF=7pc2.pF2=7,:•OC=OFYF=5£=a•••点C坐标为(&p12)iC2)如答图2所示.在第3象限可以参照(1)作同样姿作.同理求埠3•输负半轴上的点C坐标为(0.・12〉・综上所述"点C坐标为(0,12)或＜0,-12).故答案为：(0,12)或(0,-12).11【轉答】VRtA^BC中，^C=90f•AC=3,BC=4,•'•府=JA5以DSI心…31,当OD3CIB切时.DEBCAD=x9

KJDE=AD—X9BD=AB・Q=5・X.・M8QEs△站c,・・M8QEs△站c,・••煤*卩¥②如图2.当OD与方CIS交时，若文点为B或C,miAD= §2’【解答】于EVOC=2,：.OK=KC=y/2f当朋=KC=V5时，以K为圆心，KC为半径的C3与肋相切此时加=BC=\^/2在肋于EVOC=2,：.OK=KC=y/2f当朋=KC=V5时，以K为圆心，KC为半径的C3与肋相切此时加=BC=\^/2在肋上只有一个点P満足ZOP=丄ZOKC=4Z,92为P満足ZOPCZOKC=42此时m=BC=29综上所述•满足条件的加的喳的范圉为2Wm<Z\Jl・9故答宴为2W/V1W・【解答】怜＜1)由旅转的性贡可樽，Z^iCiB=Z/iC5=45r,BC=BC“•••NCCiB=ZCiCB=45・,•••ZCCMi=ZC6Z4iB=4・7，*•(2)•：r^ABgjBCx:3A=BA\9BC=BC"Z/L5C=Z/IBC"器=^»,^ABC^^ABCi=£\BC\^ZABCi.BCBC.SACBCX：.Z.4BAI=ZCBC}SACBCX■••Ssu】=4. Sqcu

25：(3〉①如图1.过点3作劝丄/C,D为垂足,在RtABCD申.5D=5Cxsm45f•••△MC为倪伤三介形••••点在RtABCD申.5D=5Cxsm45fBPAC^3C点B涙辕.便点P的对应点Pi上时.£?hP^AChUZUBC縫点BP的对SAPi£PiGIEP\=BC・BE=2T=7・14.【聲答】驚：(1)令)=0,解得%1=-4,々=2.3点的坐标为.404,0).B<2,0).丄C2)拠杨线=2 2^1 的对称維是直线x= =・1・> X X+384 2X(峙)9DD点的横坐标是・1.SueQC=9,$5RtA/lOC申，^^~yj()K^^CfCV=*上旗为儿则码心“，吋書0E1,4C,4C2h和41的两个交点即为所求的点D设“交丁绪于E,过C作CF丄h于尸.则CF=A=J1,21. CF_ CF5g••sinz£CEFsinZlOCA± r^2茨・绫*CK)解析式为y=^•执将4—4,0>,CO3)绘标代入,b=3•••亶级AC解析式为y=丄"3・4亶线“可吋下平移d）而形啊•••亶线h的解析式为y=2x+3・戈=缶・1.4 2 4 2则6的纵坐标为lx（-1）-2=-2,:.D\（・i.丄）.4 2 4 4间連.旬上平移省个扶度草位傅到/”4A《・1,4DD!（-L丄〉.61.互〉.4 4C3)2.4BOE0F2条.连棲F.U过MV丄X0子点VJ(-4,0),B(2,0〉.AF(-1,0),QF半轻FM=FB=3・又YE<4,0).左RtAAiEF中,smZA/ra=—左RtAAiEF中,smZA/ra=—fcosZaVFE=—・在RtaiMV中，・^=血“10乙・14?^=3><«1=鉴EV=.UF-cosZ.WF