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文档简介
抽象函数常见题型汇编类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： (一) 已知 的定义域，求
的定义域，解法：若范围即为
的定义域为的定义域。
，则
中
，从中解得
的取值的定义域为
设函数 ，则的定义域为（1）函数 的定义域为______；（2）函数
的定义域为_______解析：（1）由已知有（2）由已知，得
，解得，解得
，故，故
的定义域为的定义域为(二) 已知 的定义域，求
的定义域。解法：若定义域。
的定义域为
，则由
确定
的范围即为
的
函数 的定义域为
，则
的定义域为_____。解析：由
，得
，所以
，故填(三) 已知 的定义域，求
的定义域。解法：先由
定义域求
定义域，再由
定义域求得
定义域。
函数
定义域是
，则
的定义域是_______解析：先求
的定义域，
的定义域是
，，即 的定义域是再求 的定义域， ，的定义域是(四) 运算型的抽象函数域，再求交集。
函数 的定义域是 的定义域。解析： 由已知，有 ，即函数的定义域由 确定函数
的定义域是 已知函数
的定义域是［1，2］，求
()的定义域。解析：所以
的定义域是［1，2］，是指中的
满足
，从而函数
()的定义域是［1，4］ 已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。解析： 的定义域是 ，意思是凡被
f
作用的对象都在
中，由此可得
(
)定义域为，
，则
定义域是__。
的定义域是
解析：因为及
均相当于
(
)中的
，所以
时，则(，
); 当
时，则(，
)
(
)
(
)
u
u
u
u
u
u
u
u
u
(
g
(
))
(
)(
)
g
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
(
(
)
(
)
(
(
(
b(
(
b(
)
b
,
b
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
),),
(
)
g
(
)
(
)
g
(
)
g
(
)
(
)
g
(
)
(
)
(
)g
(
)
g
(
)
(
)
g
(
)
g
(
)
g
g
(
)
g
(
)
设
(
)
的定义域为自然数集，且满足条件
(
(
)
()
,及
=1,求
(
)解析：∵
(
)
的定义域为
N，取
=1,则有
(
(
)
∵
=1,∴
=
+2,
……
()
(
以上各式相加，有
()
=1+2+3+……+
=
nn
∴
N
设函数
(
)存在反函数，g(
)
对称，则函数(
)
(
)，(
)与g()的图象关于直线A.
(
) B.
() C.
解析：要求
(
)的解析式，实质上就是求
(
)图象上任一点P(
，
)的横、纵坐标之间的关系。 点
P(
，
)关于直线
的对称点(
，
)适合
(
)，即
g(
)。又g(
)
(
)，
(
)
(
)
(
)，即(
)
(
)
，选
B。
设对满足 的所有实数
，函数，求
的解析式。
满足解析：在
中以
代换其中
x，得：再在(1)中以 代换
x，得化简得：评析：如果把
x
和 分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或 已知定义域为 的函数
f(x) ；②解析：取因为
，求
(3)，(9)的值。，得，所以又取
，得 定义在R上的函数
(
)满足：
(
)
)且
)
(
，求
的值。由
)
(
，以
代入，有
(
)
(
)，
(
)为奇函数且有
，又由
(
()]
(
)是周期为
8
的周期函数，
已知
(
)的定义域为
，且
(
)
(
)
(
)对一切正实数
，都成立，若
，则
_______。在条件
(
)
(
)
(
)中，令
，得
，
又令
，得
，
已知
(
)是定义在
R
上的函数，且满足：
(
(
)]
(
)，
，求
的值。紧扣已知条件，并多次使用，发现
(
)是周期函数，显然
()，于是
，
所以
，故
(
)是以
为周期的周期函数，从而
y 设函数
f(x)
x、，y
总成立，且存在解析：令
，使得，得
，求函数，即有
或
的值域。。，则 ，对任意若，则 ，对任意，使得
成立矛盾，故
，必有
。对任意由于 均成立，因此，对任意对任意
，有下面来证明，对任意设存在 ，使得 ，则这与上面已证的
矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
(
)，
(
)
(
)
()
(
)
，
(
(
)
[，
，
(
)
(
)
(
)
[(
)
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()
(
)
(
)
(
(
(
)在[，
[，
m
m
作用。
(
)
，
(
)
解析：
(
)
(
)
(，
(
)
(
)
(
(
)(，
(m
)
(m
)
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
m
已知函数
(
)是定义在(，上的减函数，且对一切实数，不等式
(
)
(
)恒成立，求
的值。
由 题 意 知 两 式 对 一 切
恒 成
立
，
则
有
已知函数
(
)对任意，
有
(
)
()
(
)
，当
时，
(
)
，
，求不等式
(
的解集。解析：设、
且
，则
，
(
)
，即
(
)
故
(
)为增函数，又
，
，
(
，
，
因此不等式
(
的解集为
。 设
f(x)定义于实数集上，当
时，
，且对于任意实数x、y，有证明：在
，求证：中取
在
R
上为增函数。，得若
，令
，则
，与
矛盾所以
，即有当而
时，
；当，所以
时，又当
时，
，所以对任意
，恒有设
，则∴
，∴
在
R
上为增函数
已知偶函数
(
)在，)
(
)在(，上是增函是减函数，并证明你的结论。证明：
(
)(，
(
)，)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)，
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(，
(
)
，
(
)[，A.
B.
解析：B 已知函数 对任意不等于零的实数，试判断函数
f(x)的奇偶性。
都有解析：取
得：
，所以又取再取因为
得：则为非零函数，所以
，所以，即为偶函数。 若函数
(
)(
(
)
与
(
)
(
)是偶函数。证明：设
(
)图象上任意一点为（
，
）
(
)与
(
)的图象关于原点对称，P(
，
)关于原点的对称点(
，
)在
(
)的图象上，
又
(
)，
(
)
(
) 即对于函数定义域上的任意
都有
()
(
)，所以
(
)是偶函数。3.
3.
，则
是以
为周期的周期函数；几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数
满足对定义域内任一实数
（其中
为常数）,1.
，则
是以
为周期的周期函数；2.
，则
是以
为周期的周期函数；
4.
，则
是以
为周期的周期函数；5.
，则
是以
为周期的周期函数.
6.
，则
是以
为周期的周期函数.7.
，则
是以
为周期的周期函数.
8. 函数
满足
（
），若
为奇函数，则其周期为
，若
为偶函数，则其周期为
.9.函数
的图象关于直线
和
b
b
都对称，则函数
是以
b
为周期的周期函数；10.函数
的图象关于两点
,
、
b,
是以
b
为周期的周期函数；
b
都对称，则函数11.
函数
的图象关于
,
是以
b
为周期的周期函数；
和直线
b
b
都对称，则函数 设
(
)定义在
R
上且对任意的
有
(
)
(
(
，求证：
(
)是周期函数，并找出它的一个周期。
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
(
(
(
(
)
(
(
(
(
)
(
(
) 设函数
(
)的定义域为
R，且对任意的
有
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) 解析：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
)
，
(
)
(
)
(
)
，
(
)
)，
,
(
)
(
，
(
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
(
(
)
(
)
.
(
)
)
，
(
)
(
)
(
)
，
,
(
)
)，
(
)
)，
(
),
(
)
b(
b)
(
)b
)
(
)
和
b
b
b
)
b)，
[
b)]
[(
)b]
[(
)]
(
)
，
(
),b
)
(
)
(
)
(
)
(
),
(
)
)，
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
M
(，
b(b
)
(
)b
)
(
)
M
(，
)
(
)，
(
)b
b
b
b
b
b
b
b
b
(
)
b
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
M
(，
N(b，
(
b)
(
)b
)
(
)
M(，，N(b，
b
b
)
b
)，
[
b
)]
b(
)]
(
)]
()，
(
)b
)
（）对称性的概念及常见函数的对称性、对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常函数
;②一次函数
;③二次函数
;④反比例函数
;⑤指数函数
;⑥对数函数
;⑦幂函数
;⑧正弦函数;⑨正弦型函数
)
既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。⒁绝对值函数：这里主要说的是
和
(
)两类。前者显然是偶函数，它会关于
轴对称;后者是把轴下方的图像对称到⒂形如
b(
)
的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
d也没有一定的结论，例如
⒂形如
b(
)
的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
dd (由分母为零确定)(由分母为零确定)和直线
(
的系数确定)
。
d
,
（）抽像函数的对称性、函数
(
)图像本身的对称性（自对称问题）（）轴对称①
(
)的图像关于直线
对称
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)②
(
)
(b
)
(
)的图像关于直线
b
b
对称. 特别地，函数
(
)的图像关于
轴对称的充要条件是
(
)
(
).（）中心对称①
(
)
的
图
像
关
于
点
(,
b)
对
称
(
)
(
)
b
(
)
)
b
(
)
)
b
②
(
)
(b
)
(
)的图像关于点
b,对称.特别地，函数
(
)的图像关于原点
对称的充要条件是
(
)
(
)
.（）对称性与周期性之间的联系①若函数
既关于直线b对称
b
关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为 b
；且函数
为周期函数，周期
b
；特别地：若
(
)是偶函数，图像又关于直线
对称，则
(
)是周期为
的周
b
对称（）函数
b
对称（）函数
(
)与
(
)图像关于
轴对称。②若函数
既关于点
b
对称
b
关于无数
b
b
；③若函数
既关于直线b
对称
b
关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为
b
，相邻对称轴或中心的距离为
b
；且函数
为周期函数，周期
b
。特别地：若
(
)是奇函数，图像又关于直线
对称，则
(
)是周期为
的周期函数。、两个函数图像的对称性（互对称问题）（）函数
(
)与
(
)图像关于直线
对称。（）函数
(
)与
)图像关于直线
对称（）函数
(
)与
)图像关于直线
对称（）函数
(
)
与
(b
)
图像关于直线
(
)(b
)
对称即直线（）函数
(
)与
(
)图像关于
轴对称。（）函数
(
)与
(
)图像关于直线
成轴对称。（）函数
(
)与
()
图像关于直线
成轴对称。（）函数
与
的图像关于直线
对称。（）函数
与
的图像关于直线
对称。（
）函数
有反函数，则
和
的图像关于直线
对称。（
(
)与
b
)
的图像关于点(,
b)数
(
)与
(
)图像关于原点对称。 函数 满足 ，求
值。解析：已知式即在对称关系式
中取
，所以函数 的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。所以将上式中的
x
用 代换，得a、b均为常数，函数 对一切实数
x
都满足 ，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。 性使问题获解。 已知函数
(
)是定义域为R的偶函数，
时，
(
)是增函数，若
，且
，则
(
)，
(
)的大小关系是_______。 解析：
，
且
，
又时，
(
)是增函数，
(
)
(
)
(
)是偶函数，
(
)
(
)
，故
(
)
(
) 讨论方程根的问题 已知函数
(
)对一切实数
x
都满足
)
)，并且
(
)
有三个实根，则这三个实根之和是_______。
)
)知直线
是函数
(
)
(
)
有三个实根，由对称性知
必是方程的一个根，其余两根
，
关于直线
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