《兽医统计学》10协方差分析

第十二章协方差分析例1比较不同饲料对牛增重的影响时，应该选用初始体重相同或相近的牛来进行分组试验，每组各饲喂一种饲料。Why？问题的提出不同初始体重的牛，增重速度是不相同的！！饲料各水平间变异（水平间差异）处理内差异（随机误差）初始体重差异带来的变异总变异肥料

观测值（x,y）ABC47,5452,5444,5258,6653,5348,5853,6364,6746,5446,5158,6250,6149,5659,6259,7056,6661,6357,6454,6163,6459,6944,5066,6953,66例2：果树施肥，苹果树第一年的产量x(单位：kg)及第二年分别施用三种肥料的产量Y的观测值试分析第二年分别施用三种肥料的产量Y是否有显著的差异?方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和60.750830.875891.6252212330.37539.5650.77N方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和356.083589.75945.83322123178.04228.0836.34**方差分析表（y）方差分析表（x）y

差异不显著，x差异极显著，不能说明三种肥料的增产效果没有差异，差异与基础生产力（x）有关。方差分析表（y校矫正后）方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和222.8448.83271.6722022111.422.4415

45.63**F0.99(2,20)=5.39协方差分析结论:施用三种肥料的产量（矫正后）有极显著的差异。方差分析表（y校矫正前）方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和60.750830.875891.6252212330.37539.5650.77N例如：比较三种饲料A1，A2，A3的增重效果，xij为牛的初始重量，yij

为牛增加的重量，数据见下表，试作统计检验。A1xij1513111212161417平均=13.750yij8583657680918490平均=81.750A2xij1716181821221918平均=18.625yij9790100951031069994平均=98.000A3xij2224202325273032平均=25.375yij89918395100102105110平均=96.875方差来源平方和自由度均方和F值显著性饲料间误差总和0.13180.12380.2556221230.06590.005911.17**方差来源平方和自由度均方和F值显著性饲料间误差总和545.25175.25720.5022123272.6258.34532.67**y方差分析表x方差分析表这里x的差异极显著，因此差异受到了初始重的影响,要考虑作协方差分析。协变量（初始体重）可能会增大组间差异，使不同饲料的差异出现假象，也可能会增大组内差异，从而降低检验的功效。在实际工作中，初始体重难以控制！Tip：初始体重与增重有线性回归关系，可以利用回归方程对不同初始体重进行校正。然后再进行饲料各水平间增重的差异显著性检验。在单因素、双因素或多因素试验中有无法控制的因素x影响试验的结果Y，且x可以测量，

x与Y之间又有显著的线性回归时，利用线性回归校正Y的观测值、消去x的差异对Y的影响后，再进行方差分析的方法称为协方差分析，x称为协变量。协方差分析的中心思想：如果X与Y之间可以建立回归关系，则先用回归分析的方法排除X对Y的影响，然后再作方差分析。与方差分析相同之处：

比较一个变量Y在一个或几个因素不同水平上的差异;协方差分析方差分析与回归分析相结合的统计分析方法A1xij1513111212161417平均=13.750yij8583657680918490平均=81.750A2xij1716181821221918平均=18.625yij9790100951031069994平均=98.000A3xij2224202325273032平均=25.375yij89918395100102105110平均=96.875与方差分析不同之处：Y一方面受因素影响，同时还受协变量X的影响，而且协

变量X的取值难以人为控制，不能作为方差分析中的一个因素处理。协方差分析A1xij1513111212161417平均=13.750yij8583657680918490平均=81.750A2xij1716181821221918平均=18.625yij9790100951031069994平均=98.000A3xij2224202325273032平均=25.375yij89918395100102105110平均=96.875协方差分析的基本原理：以一个协变量、单因素的协方差分析为例。对因变量Y进行调整或校正，消去协变量X的影响，再对Y作方差分析。基本步骤各项平方和及乘积和的计算回归关系显著性检验校正后的方差分析校正均数的多重比较例为比较三种饲料对增重的影响，用24只小鼠作完全随机化试验，记录了每只小鼠的初重xij和日增重yij，结果如下表，试作统计分析。饲料观测值(g)平均AX

YBX

YCX

Y15131112121614170.850.830.650.760.800.910.840.9017161818212219180.970.901.000.951.031.060.990.9422242023252730320.890.910.830.951.001.021.051.1013.750.8218.630.9825.380.97作协方差分析之前，分别对x和y作方差分析。方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和0.13180.12380.2556221230.06590.005911.17**方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和545.25175.25720.5022123272.6258.34532.67**y的方差分析表如下：x的方差分析表如下：这里x的差异极显著，因此差异受到了初始重的影响,要考虑作协方差分析。12.1协方差分析的模型与假定称为单向分类的资料作协方差分析的数学模型。回归分析模型:单向分类资料方差分析模型：由协方差分析的模型可以看出：协方差分析是将方差分析与回归分析结合起来的一种统计分析方法，Y是试验指标，X是对Y有影响的协变量。设单因素试验共有A1,A2···Ar等r个水平、分别安排了s次重复试验12.2单向分类资料的协方差分析样本：观测值：i=1…rX变量的各项平方和Y变量的各项平方和X与Y的各项乘积和作协方差分析之前，分别对x和y作方差分析。根据方差分析的步骤，先计算计算结果列表如下：例12.1

比较三种饲料的增重效果，24只小鼠作完全随机化试验，每只小鼠初重xij日增重yij，结果如下表，试作统计分析。饲料观测值(g)平均AX

YBX

YCX

Y15131112121614170.850.830.650.760.800.910.840.9017161818212219180.970.901.000.951.031.060.990.9422242023252730320.890.910.830.951.001.021.051.1013.750.8218.630.9825.380.97饲料

ABC和11014920346213.7518.6325.375

19.2515442803526796146.547.847.7522.130.81750.980.9688

0.92215.39527.70167.564520.661391.03146.67199.11436.81下面以x为协变量作协方差分析：基本步骤校正后的

方差分析校正均数的多重比较

回归关系显著性检验

各项平方和及乘积和的计算解:

(1)计算并列出次级数据表:方差来源SS(x)SPSS(y)DF组间A

组内E

总和T545.25175.25720.506.59884.208810.80750.13180.12380.255622123基本步骤

各项平方和及乘积和的计算校正后的

方差分析校正均数的多重比较

回归关系显著性检验(2)对日增重组内平方和校正要在日增重的组内变异中将初始体重的影响剔除出去，应用组内的平方和与乘积和进行回归分析从组内变异中减去协变量的影响，对组内平方和与乘积和进行回归分析解:方差来源SS(x)SPSS(y)DF组间A

组内E

总和T545.25175.25720.506.59884.208810.80750.13180.12380.255622123由组内的平方和及乘积和求组内回归系数:SST=SSE+SSR总平方和=离回归平方和（误差SS）+回归平方和

SST=dfT=n-1,SSR=dfR=1,

SSE=SST-SSE，dfE=n-2，再作方差分析。提示：复习变异来源平方和自由度均方和F值显著性回归R误差E总和TSSRSSESST1n-2n-1MSRMSE

F值(3)检验组内线性回归的显著性:(4)由总和行的次级数据求总和行的回归系数:由总和行的次级数据求总和行的求矫正后组间行的SSA*(y)=SST*(y)

-SSE*(y)

=0.0707;(5)列出矫正后的方差分析表，写出协方差分析的结论：方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和0.07070.02280.0935220220.03530.00114

30.96**F0.99(2,20)=5.85因此三种饲料的增重矫正后有极显著的差异。

校正各组的平均数:方差来源自由度平方和乘积和SS(x)SPSS(y)

自由度校正平方和组间组内总和k-1N-kN-1SSA(x)SPASSA(y)SSE(x)SPESSE(y)SST(x)SPTSST(y)

k-1N-k-1N-2SSA*(y)=SST*(y)-SSE*(y)

SSE*(y)=SSE(y)–SPE×SPE÷SSE(x)

SST*(y)=SST(y)–SPT×SPT÷SST(x)肥料

观测值（x,y）ABC47,5452,5444,5258,6653,5348,5853,6364,6746,5446,5158,6250,6149,5659,6259,7056,6661,6357,6454,6163,6459,6944,5066,6953,66试以x为协变量作协方差分析。作协方差分析之前，分别对x和y作方差分析。根据方差分析的步骤，先计算计算结果列表如下：增补例题：苹果树第一年的产量x(单位：Kg)及第二年分别施用三种肥料的产量Y的观测值为：方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和60.750830.875891.6252212330.37539.5650.77N方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间组内总和356.083589.75945.83322123178.04228.0836.34**y的方差分析表如下：x的方差分析表如下：这里y

的差异不显著，但是x的差异极显著，因此尚不能说明三种肥料的增产效果没有差异，差异与基础生产力有关。肥料

ABC和407476415129850.87559.551.87554.08320887285002175971146467494494145558.37561.7561.7560.6252755530728308188910123985295882588479457得到方差分析表如下:下面以x为协变量作协方差分析。解:

(1)计算并列出次级数据表:方差来源SS(x)SPSS(y)DF组间A组内E总和T356.083589.750945.83386.6256679.125765.75060.7508830.875891.62522123(2)由组内的次级数据求组内的回归系数:(3)检验组内线性回归的显著性且当组内线性回归显著时矫正各组的平均数:

因此组内行的线性回归显著，可以矫正各组的平均数:(4)由总和的平方和、乘积和求总和的回归系数:由总和行的次级数据求总和行的求矫正后组间行的QA=QT-QE=222.841;(5)列出矫正后的方差分析表，写出协方差分析的结论：方差来源平方和自由度均方和F值显著性组间A组内E总和T222.84148.830271.67122022111.42052.4415

45.64**F0.99(2,20)=5.85因此施用三种肥料的产量矫正后有极显著的差异。习题2.欲比较三种降压药的效果，用大鼠作试验动物，选取36只大鼠，随机地分为三组，分别各接受一种降压药，用药前测量一次收缩压X，用药后再测量一次收缩压Y，测量结果如下，试以X为协变量作协方差分析。用药

观测值（x,y）ABC135,40130,3290,35140,45140,10100,10125,40140,45135,55130,45.100,0130,8125,2093,2512