相关与回归分析-新

第8章相关与回归分析8.1变量间关系的度量8.2一元线性回归8.3多元线性回归regressionanalysis2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第1页!学习目标相关关系的分析参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度用Excel进行回归2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第2页!子代与父代一样吗？Galton被誉为现代回归和相关技术的创始人。1875年，Galton利用豌豆实验来确定尺寸的遗传规律。他挑选了7组不同尺寸的豌豆，并说服他在英国不同地区的朋友每一组种植10粒种子，最后把原始的豌豆种子(父代)与新长的豌豆种子(子代)进行尺寸比较当结果被绘制出来之后，他发现并非每一个子代都与父代一样，不同的是，尺寸小的豌豆会得到更大的子代，而尺寸大的豌豆却得到较小的子代。Galton把这一现象叫做“返祖”(趋向于祖先的某种平均类型)，后来又称之为“向平均回归”。一个总体中在某一时期具有某一极端特征(低于或高于总体均值)的个体在未来的某一时期将减弱它的极端性(或者是单个个体或者是整个子代)，这一趋势现在被称作“回归效应”。人们发现它的应用很广，而不仅限于从一代到下一代豌豆大小问题2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第3页!回归分析研究什么？研究某些实际问题时往往涉及到多个变量。在这些变量中，有一个变量是研究中特别关注的，称为因变量，而其他变量则看成是影响这一变量的因素，称为自变量假定因变量与自变量之间有某种关系，并把这种关系用适当的数学模型表达出来，那么，就可以利用这一模型根据给定的自变量来预测因变量，这就是回归要解决的问题在回归分析中，只涉及一个自变量时称为一元回归，涉及多个自变量时则称为多元回归。如果因变量与自变量之间是线性关系，则称为线性回归(linearregression)；如果因变量与自变量之间是非线性关系则称为非线性回归(nonlinearregression)2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第4页!xy函数关系是一一对应的确定关系设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量各观测点落在一条线上

8.1.1变量间的关系2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第5页!相关关系

(几个例子)子女的身高与其父母身高的关系从遗传学角度看，父母身高较高时，其子女的身高一般也比较高。但实际情况并不完全是这样，因为子女的身高并不完全是由父母身高一个因素所决定的，还有其他许多因素的影响一个人的收入水平同他受教育程度的关系收入水平相同的人，他们受教育的程度也不可能不同，而受教育程度相同的人，他们的收入水平也往往不同。因为收入水平虽然与受教育程度有关系，但它并不是决定收入的惟一因素，还有职业、工作年限等诸多因素的影响农作物的单位面积产量与降雨量之间的关系在一定条件下，降雨量越多，单位面积产量就越高。但产量并不是由降雨量一个因素决定的，还有施肥量、温度、管理水平等其他许多因素的影响商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第6页!相关分析就是对两个变量之间线性关系的描述与度量，解决的主要问题：变量之间是否存在关系？如果存在关系，是什么样的关系？变量之间的关系强度如何？样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量只见到关系？2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第7页!相关关系的类型相关关系非线性相关线性相关正相关正相关负相关负相关完全相关不相关2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第8页!散点图

(例题分析)2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第9页!样本相关系数样本相关系数的计算公式或化简为按上述计算公式计算的相关系数也称为线性相关系数或Pearson系数计算相关系数Excel2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第10页!相关系数的性质性质1：r的取值范围是[-1,1]|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关r=0，不存在线性相关关系-1r<0，为负相关0<r1，为正相关|r|越趋于1表示关系越强；|r|越趋于0表示关系越弱2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第11页!相关系数的性质性质2：r具有对称性。即x与y之间的相关系数和y与x之间的相关系数相等，即rxy=ryx性质3：r数值大小与x和y原点及尺度无关，即改变x和y的数据原点及计量尺度，并不改变r数值大小性质4：仅仅是x与y之间线性关系的一个度量，它不能用于描述非线性关系。这意为着，r=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有任何关系性质5：r虽然是两个变量之间线性关系的一个度量，却不一定意味着x与y一定有因果关系2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第12页!表10-1我国人均国民收入与人均消费金额数据单位:元年份人均国民收入人均消费金额年份人均国民收入人均消费金额1981198219831984198519861987393.8419.14460.86544.11668.29737.73859.972492672893294064515131988198919901991199219931068.81169.21250.71429.51725.92099.56436907138039471148相关系数计算例【例8.2】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本数据(xi，yi)，i=1,2,…，13，数据见表10-1，计算相关系数。2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第13页!相关系数的显著性检验1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系r的抽样分布随总体相关系数和样本量n的大小而变化对r的正态性假设具有很大的风险,因此不宜采用正态检验.采用R.A.Fisher提出的t检验8.1.3相关系数的显著性检验2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第14页!相关系数的显著性检验

（实例）

对例8.2中的我国人均国民收入与人均消费计算的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201由于t=64.9809>t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第15页!相关系数的显著性检验

(例题分析)各相关系数检验的统计量（套用上述公式）2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第16页!什么是回归分析？重点考察考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来利用样本数据建立模型的估计方程对模型进行显著性检验进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值8.2.1一元线性回归模型2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第17页!回归模型回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用被预测或被解释的变量称为因变量(dependentvariable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independentvariable)，用x表示3. 主要用于预测和估计2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第18页!一元线性回归涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第19页!一元线性回归模型

(基本假定)

因变量x与自变量y之间具有线性关系在重复抽样中，自变量x的取值是固定的，即假定x是非随机的误差项满足正态性。是一个服从正态分布的随机变量，且期望值为0，即

~N(0,2)。对于一个给定的x值，y的期望值为E(y)=0+1x方差齐性。对于所有的x值，的方差也都等于

2都相同。同样，一个特定的x值，y的方差也都等于2独立性。独立性意味着对于一个特定的x值，它所对应的ε与其他x值所对应的ε不相关；对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第20页!估计的回归方程

(estimatedregressionequation)总体回归参数和

是未知的，必须利用样本数据去估计用样本统计量和代替回归方程中的未知参数和，就得到了估计的回归方程一元线性回归中估计的回归方程为其中：是估计的回归直线在y轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的x的值，是y的估计值，也表示x每变动一个单位时，y的平均变动值

2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第21页!最小二乘估计的图示xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第22页!估计方程的求法

(例题分析1)【例8.9】求不良贷款对贷款余额的回归方程回归方程为：y=-0.8295+0.037895x回归系数=0.037895表示，贷款余额每增加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元

2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第23页!参数的最小二乘估计

(例题分析)【例8.6】估计的回归方程第1步：选择【工具】下拉菜单，并选择【数据分析】选项第2步：在分析工具中选择【回归】，选择【确定】第2步：当对话框出现时

在【Y值输入区域】设置框内键入Y的数据区域在【X值输入区域】设置框内键入X的数据区域在【置信度】选项中给出所需的数值在【输出选项】中选择输出区域在【残差】分析选项中选择所需的选项回归分析Excel2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第24页!估计(经验)方程

(例题分析2)人均消费金额对人均国民收入的回归方程为y=54.22286+0.52638x^2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第25页!变差:因变量

y的取值是不同的，y取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差来表示，n次观察值的总变差可由这些离差的总平方和来表示，记为8.2.3回归直线的拟合优度回归直线与各观测点的接近程度，用判定系数来度量判定系数：对估计的回归方程拟合优度的度量2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第26页!总平方和的分解SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR){残差平方和(SSE){反映因变量的n个观察值与其均值的总误差反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第27页!判定系数R2

(例题分析)【例】计算不良贷款对贷款余额回归的判定系数，并解释其意义

判定系数的实际意义是：在不良贷款取值的变差中，有71.16%可以由不良贷款与贷款余额之间的线性关系来解释，或者说，在不良贷款取值的变动中，有71.16%是由贷款余额所决定的。也就是说，不良贷款取值的差异有2/3以上是由贷款余额决定的。可见不良贷款与贷款余额之间有较强的线性关系输出结果Excel2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第28页!估计标准误差

(standarderrorofestimate)【例】计算不良贷款对贷款余额回归的估计标准误差，并解释其意义。解：由回归分析结果可知，SSE＝90.1644。根据上式得出的计算结果为1.9799输出结果Excel2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第29页!多元线性回归模型

（概念要点）一个因变量与两个及两个以上自变量之间的回归描述因变量y如何依赖于自变量x1，x2，…，xp

和误差项

的方程称为多元线性回归模型涉及p个自变量的多元线性回归模型可表示为

b0

，b1，b2

，，bp是参数

是被称为误差项的随机变量y是x1,，x2

，，xp

的线性函数加上误差项

说明了包含在y里面但不能被p个自变量的线性关系所解释的变异性2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第30页!多元线性回归模型

（基本假定）自变量x1，x2，…，xp是确定性变量，不是随机变量随机误差项ε的期望值为0，且方差σ2都相同误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，即ε~N(0,σ2)，且相互独立

E(y)=0+1x1

+2x2

+…+

pxp2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第31页!多元线性回归方方程的直观解释二元线性回归模型(观察到的y)回归面0ix1yx2(x1,x2)}2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第32页!参数的最小二乘估计2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第33页!回归方程的拟合优度2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第34页!修正的多重样本决定系数

（修正的多重判定系数R2

）由于增加自变量将影响到因变量中被估计的回归方程所解释的变异性的数量，为避免高估这一影响，需要用自变量的数目去修正R2的值用n表示观察值的数目，p表示自变量的数目，修正的多元判定系数的计算公式可表示为2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第35页!一个二元线性回归的例子

(Excel输出的结果)2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第36页!本章小结1. 相关系数的分析方法线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计回归直线的拟合优度用Excel进行回归2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第37页!子代与父代一样吗？正如Galton进一步发现的那样，平均来说，非常矮小的父辈倾向于有偏高的子代；而非常高大的父辈则倾向于有偏矮的子代。在次考试中成绩最差的那些学生在第二次考试中倾向于有更好的成绩(比较接近所有学生的平均成绩)，而次考试中成绩最好的那些学生在第二次考试中则倾向于有较差的成绩(同样比较接近所有学生的平均成绩)。同样，平均来说，年利润最低的公司第二年不会最差，而年利润最高的公司第二年则不会是最好的如果把父代和子代看作两个变量，找出这两个变量的关系，并根据这种关系建立适当的数学模型，就可以根据父代的数值预测子代的取值，这就是经典的回归方法要解决的问题。学完本章的内容你会对回归问题有更深入的理解2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第38页!

8.1.1变量间的关系8.1.2相关关系的描述与测度8.1.3相关系数的显著性检验8.1变量间关系的度量2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第39页!变量间的关系

（函数关系）函数关系的例子某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为

y=p

x(p为单价)圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2

企业的原材料消耗额(y)与产量(x1)、单位产量消耗(x2)、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y=x1x2x3

2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第40页!相关关系

(correlation)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定对大量的数据观察研究，就会发现许多变量之间存在这一定的客观规律。当变量

x取某个值时，变量y的取值对应着一个分布各观测点分布在直线周围

yx2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第41页!完全负线性相关完全正线性相关散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关8.1.2相关关系的描述与测度2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第42页!用散点图描述变量间的关系

(例题分析)【例8.1】一家大型商业银行在多个地区设有分行，其业务主要是进行基础设施建设、国家重点项目建设、固定资产投资等项目的贷款。近年来，该银行的贷款额平稳增长，但不良贷款额也有较大比例的提高，这给银行业务的发展带来较大压力。为弄清楚不良贷款形成的原因，希望利用银行业务的有关数据做些定量分析，以便找出控制不良贷款的办法。下面是该银行所属的25家分行2002年的有关业务数据

绘制散点图2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第43页!相关系数

(correlationcoefficient)度量变量之间线性关系强度的一个统计量若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，简称为相关系数，记为r也称为Pearson相关系数

(Pearson’scorrelationcoefficient)

2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第44页!相关系数

(例题分析)2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第45页!相关关系的性质-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第46页!相关系数的经验解释|r|0.8时，可视为两个变量之间高度相关0.5|r|<0.8时，可视为中度相关0.3|r|<0.5时，视为低度相关|r|<0.3时，说明两个变量之间的相关程度极弱，可视为不相关上述解释必须建立在对相关系数的显著性进行检验的基础之上2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第47页!解：根据样本相关系数的计算公式有人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为0.9987相关系数计算例2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第48页!相关系数的显著性检验3.t检验的步骤为提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量确定显著性水平，并作出决策若t>t，拒绝H0若t<t，接受H0用Excel中的【TDIST】函数得双尾计算P值,并于显著性水平比较，并作出决策若P<，拒绝H0，否则,接收H02010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第49页!相关系数的显著性检验

(例题分析)【例8.3】

对不良贷款与贷款余额之间的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.069由于t=7.5344>t(25-2)=2.069，拒绝H0，不良贷款与贷款余额之间存在着显著的正线性相关关系2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第50页!

8.2.1一元线性回归模型8.2.2参数的最小二乘估计8.2.3回归直线的拟合优度

8.2一元线性回归2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第51页!回归分析与相关分析的区别相关分析中，变量x变量y处于平等的地位；回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的地位，x称为自变量，用于预测因变量的变化相关分析中所涉及的变量x和y都是随机变量；回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第52页!回归模型的类型一个自变量两个及两个以上自变量回归模型多元回归一元回归线性回归非线性回归线性回归非线性回归2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第53页!一元线性回归模型

(linearregressionmodel)描述因变量y如何依赖于自变量x

和误差项

的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为y=b0+b1x+ey是x的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化误差项

是随机变量反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性0和1称为模型的参数2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第54页!回归方程

(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依赖于x的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下E(y)=0+1x方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第55页!参数的最小二乘估计德国科学家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化图中垂直方向的误差平方和来估计参数

使因变量的观察值与估计值之间的误差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小8.2.2参数的最小二乘估计2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第56页!参数的最小二乘估计

(

和的计算公式)

根据最小二乘法，可得求解和的公式如下即该回归直线通过点（x，y）2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第57页!估计方程的求法

(例题分析)不良贷款对贷款余额回归方程的图示2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第58页!估计方程的求法

(例题分析2)【例】根据例10.1中的数据，配合人均消费金额对人均国民收入的回归方程

根据和的求解公式得2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第59页!估计方程的求法

（Excel的输出结果）2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第60页!误差分解图xyy2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第61页!判定系数R2

(coefficientofdetermination)回归平方和占总误差平方和的比例反映回归直线的拟合程度取值范围在[0,1]之间

R21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差判定系数平方根等于相关系数，但用r来解释回归直线的拟合优度要慎重。2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第62页!估计标准误差

(standarderrorofestimate)反映实际观察值在回归直线周围的分散状况的统计量实际观察值与回归估计值误差平方和的均方根计算公式为Se对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小从另一个角度说明了回归直线的拟合优度2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第63页!第三节多元线性回归一.多元线性回归模型回归参数的估计用Excel进行多元回归2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第64页!多元线性回归模型

（概念要点）对于n组实际观察数据(yi;xi1,，xi2

，，xip)，(i=1,2,…,n)，多元线性回归模型可表示为y1

=b0+b1x11+b2x12

++

bpx1p

+e1y2=b0+b1x21

+b2x22

++

bpx2p

+e2

yn=b0+b1xn1

+b2xn2

++

bpxnp

+en{……2010年相关与回归分析-新共72页，您现在浏览的是第65页!多元线性回归方程

（概念要点）描述y的平均值或期望值如何依赖于x1，x1

，…，xp的方程称为多元线性回归方程多元线性回归方程的形式为E(y)