计算机控制技术稳定性分析优选ppt资料

计算机控制技术稳定性分析(fēnxī)第一页，共33页。2022/12/131第二页，共33页。2022/12/132控制系统的稳定性，通常有两种定义方式(fāngshì)：1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。稳定性是控制系统能否(nénɡfǒu)正常工作的前提条件。第三页，共33页。2022/12/133

为系统被调量偏离其平衡位置的大小，为任意小的规定量。稳定性的数学表示法：系统在受外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示为：[系统(xìtǒng)的稳定性]：稳定性：（古典(gǔdiǎn)意义下的稳定，李氏下的渐近稳定）一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在扰动消除后,它仍有能力自动地回复到平衡状态继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。第四页，共33页。2022/12/1342）稳定性定理4：是正定的，是半负定的。1、李氏第二(dìèr)法判稳思路：寻找李氏函数1、稳定与一致稳定：（系统的自由响应是有界的）第三十一页，共33页。1）是正定的。说明1：定理3是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。一、平衡(pínghéng)状态即收敛于平衡状态(zhuàngtài)xe，则称平衡状态(zhuàngtài)xe为渐近稳定的。2、用李氏第二法判稳（令u=0）3）不稳定性定理5：是正定的，是正定的。且标量函数就是系统的一个李氏函数。4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。李氏稳定性针对平衡状态而言。且标量函数就是系统的一个李氏函数。1）Q能不能取做半正定？用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。第一法（间接法）2）现代控制理论：李亚普诺夫稳定性：第二(dìèr)法（直接法）劳斯—胡尔维茨稳定性判据1）古典(gǔdiǎn)控制理论：乃奎斯特稳定性判据线性定常系统(xìtǒng)研究系统稳定性的方法：线性、非线性；定常、时变系统等第五页，共33页。2022/12/135第一节李亚普诺夫稳定性定义(dìngyì)平衡状态李亚普诺夫稳定(wěndìng)性定义（4种）稳定(wěndìng)、渐近稳定(wěndìng)、大范围渐近稳定(wěndìng)、不稳定(wěndìng)第六页，共33页。2022/12/136一、平衡(pínghéng)状态平衡状态：对所有时间t，如果(rúguǒ)满足，称xe为系统的平衡状态或平衡点。李氏稳定性针对平衡状态而言。3、对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。说明：1、对于线性定常系统：

A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。

A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态第七页，共33页。2022/12/137李氏稳定几何表示法：二、李亚普诺夫意义(yìyì)下的稳定（4种）1、稳定与一致稳定：（系统的自由响应是有界的）设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果(rúguǒ)对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则称平衡状态在李亚普诺夫意义下是稳定的。如果(rúguǒ)与初始时刻无关，则称平衡状态是一致稳定的。第八页，共33页。2022/12/138说明1：表示初始(chūshǐ)偏差都在以为半径，以平衡状态Xe为中心的球域里。其中表示平衡状态偏差(piānchā)都在以为半径，以平衡状态Xe为中心的球域里说明2：李氏稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态临域的局部(júbù)稳定性，即小范围稳定性。说明3：系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过，就是李氏稳定的，而古典则认为不稳定。第九页，共33页。2022/12/139如果与初始时刻无关，则称平衡状态xe为一致(yīzhì)渐近稳定。设xe为系统的孤立(gūlì)平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：即收敛于平衡状态(zhuàngtài)xe，则称平衡状态(zhuàngtài)xe为渐近稳定的。渐近稳定几何表示法：2、渐近稳定和一致渐近稳定：（自由响应有界并回到平衡状态）说明：稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域，至于在球域内如何变化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。古典的稳定性，就是李氏意义下的渐近稳定。第十页，共33页。2022/12/1310第十一页，共33页。2022/12/13113、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即：对所有点都成立，称平衡(pínghéng)状态xe为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定(yīdìng)是大范围渐近稳定的。必要性：整个状态空间中，只有(zhǐyǒu)一个平衡状态。（假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）第十二页，共33页。2022/12/1312第十三页，共33页。2022/12/13134、不稳定：（系统的自由响应是无界的）如果对于某一实数，不论取得多么小，由内出发(chūfā)的轨迹，只要有一个轨迹超出，则称平衡状态xe是不稳定的。不稳定几何表示法：说明：虽然不稳定的轨迹超出了，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于外的某个极限环。第十四页，共33页。2022/12/1314对于线性定常系统假如系统矩阵(jǔzhèn)A的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点处是渐近稳定的。并且其对应的系统传递函数是有界输入有界输出稳定。第十五页，共33页。2022/12/1315经典控制理论(线性系统）不稳定Re(s)>0临界情况Re(s)=0稳定Re(s)<0Lyapunov意义下不稳定稳定（极限环，不超出某个球域即可）渐近稳定经典控制理论中的稳定性与Lyapunov意义下的稳定性的关系：在经典控制理论中，只有(zhǐyǒu)渐近稳定的系统才称为稳定的系统；而在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。第十六页，共33页。2022/12/1316[本节小结(xiǎojié)]：1、平衡(pínghéng)状态定义、求法2、李氏稳定性概念(gàiniàn)1）稳定、一致稳定。2）渐近稳定、一致渐近稳定、大范围渐近稳定。3）不稳定。第十七页，共33页。2022/12/1317第二(dìèr)节李亚普诺夫稳定性第二(dìèr)法（直接法判稳）李亚普诺夫稳定性第二(dìèr)法思路李亚普诺夫稳定性第二(dìèr)法定理（3个）第十八页，共33页。2022/12/13181）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。2）实际系统很难找到一个统一的能量函数。3）虚构一个广义能量函数，称为李亚普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负(zhènɡfù)来判断系统稳定性。4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数，而是负定的，这个系统就是稳定的。而就是李氏函数。李氏第二法思路：直接(zhíjiē)法，用能量观点分析稳定性第十九页，共33页。2022/12/1319李亚普诺夫函数说明：1）李氏函数是一个标量(biāoliàng)函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定。2）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。3）李氏函数最简单形式是二次型，P是正定实对称方阵。一、李氏第二(dìèr)法稳定性定理（3个）第二十页，共33页。2022/12/1320定理3：设系统的状态(zhuàngtài)方程为为其平衡状态(zhuàngtài)，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是负定的。则在原点处的平衡状态(zhuàngtài)是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态(zhuàngtài)是大范围渐近稳定的。说明1：定理3是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。说明2：是负定的难于满足，能不能用半负定代替？有定理4第二十一页，共33页。2022/12/1321定理(dìnglǐ)4：设系统的状态方程为为其唯一的平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是半负定的。3）对任意初始时刻时的任意状态，在时，除了在时有外，不恒等于零。则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：恒等于零意味着运动(yùndòng)轨迹是某个特定的曲面。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切，然后状态会继续向原点移动。第二十二页，共33页。2022/12/1322定理5：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列(xiàliè)条件：在原点的某一邻域内是正定的，在同样的邻域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。[例]设系统方程为：

试确定其平衡状态的稳定性。第二十三页，共33页。2022/12/1323令，得是系统(xìtǒng)唯一的平衡状态。2）选取(xuǎnqǔ)李氏函数选，则正定的

[解]：1）平衡(pínghéng)状态3）当，即，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由定理3可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。第二十四页，共33页。2022/12/1324[例]设系统方程为：试确定(quèdìng)其平衡状态的稳定性。[解]：1）平衡状态(zhuàngtài)令，得是系统唯一的平衡状态(zhuàngtài)。同时(tóngshí)有不可能恒为零。2）选李氏函数由定理4可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。第二十五页，共33页。2022/12/1325[本节小结(xiǎojié)]：1、李氏第二(dìèr)法判稳思路：寻找李氏函数2、李氏第二(dìèr)法稳定性定理1）稳定性定理3：是正定的，是负定的。2）稳定性定理4：是正定的，是半负定的。3）不稳定性定理5：是正定的，是正定的。第二十六页，共33页。2022/12/1326第三节线性定常连续(liánxù)系统的李亚普诺夫稳定性分析第二十七页，共33页。2022/12/1327讨论(tǎolùn)：选择二次型函数为李氏函数。目的：将李氏第二(dìèr)法定理来分析线性定常系统的稳定性负定正定(zhènɡdìnɡ)由上一节讨论的定理3知道系统渐近稳定，故有以下定理：且标量函数就是系统的一个李氏函数。定理6：线性连续定常系统：在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：第二十八页，共33页。2022/12/13281）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以(suǒyǐ)通常取。2）该定理(dìnglǐ)阐述的条件，