指派问题的匈牙利法

指派问题指派问题是一种特殊的整数规划问题一、问题的提出设有m个工人，能做n件事，但效率不同，并规定每个工人做且只能做一件事，每件事有且只能有一个工人做，问应该如何安排他们的工作，使花费的总时间（成本）最少或效率最高？指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第1页!二、指派问题的数学模型设第i个工人做第j件事的时间是，决策变量是则数学模型如下指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第2页!指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第3页!举例说明

1）表上作业法

2）匈牙利法例有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示，问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？任务1任务2任务3任务4工人1工人2工人3工人4215134104147314161378119指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第4页!确定调整行和列在没有圈起的零所在行上打“√”；在打“√”行中所有零所在的列打“√”；在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”，反复执行2）和3）两步，直到不能打“√”为止；用直线划去打“√”的列和不打“√”的行，没有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整列。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第5页!匈牙利法解例3.3时间矩阵各行各列减去最小元素后得指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第6页!得最优解将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得最优解如下最小总时间为22。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第7页!减去最小元素指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第8页!打勾划线确定调整行和列√√√指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第9页!再圈零划零指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第10页!另一最优解最小时间（成本）minz=32指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第11页!（二）、解题步骤：指派问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整数规划，0-1规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数。

步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即(1)从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；(2)再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第12页!(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。

（5）若◎元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m<n,则转入下一步。

第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。(1)对没有◎的行打√号；(2)对已打√号的行中所有含Ø元素的列打√号；(3)再对打有√号的列中含◎元素的行打√号；指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第13页!例一：

任务人员ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第14页!42指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第15页!有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？

任务人员ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982例二、指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第16页!第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：

◎◎◎ØØ√√√独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3<n=4；第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后打√各行都减去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第17页!练习：115764戊69637丁86458丙9117129乙118957甲EDCBA费工作用人员指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第18页!◎Ø◎◎◎ØØ指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第19页!◎Ø◎◎◎ØØ指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第20页!◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√l=m=4<n=5指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第21页!◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎此问题有多个最优解28指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第22页!◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第23页!获得初始解：圈零/划零操作将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行和每一列都含有零；从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来，并划去它所在行和所在列的其它零；反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。得到初始解。判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第24页!调整可行解的方法在调整行中寻找最小的元素，将它作为调整量；将调整行各元素减去调整量，对调整列中各元素加上调整量。再次执行“圈零”和“划零”的操作，并循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n为止。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第25页!圈零划零指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第26页!再看一例请求解如下矩阵表达的指派问题指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第27页!圈零划零指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第28页!调整可行解指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第29页!得最优解指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第30页!匈牙利算法示例指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第31页!第二步：进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。然后划去◎所在列(行)的其它0元素，记作Ø；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø．(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第32页!(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数l。l应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第二步(4)，另行试指派；若l＝m<n，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第四步。第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素。在没有被直线覆盖的所有元素中找出最小元素，然后打√各行都减去这最小元素；打√各列都加上这最小元素（以保证系数矩阵中不出现负元素）。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第二步。指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第33页!2497指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第34页!◎Ø◎ØØ◎◎指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第35页!求解过程如下：步，变换系数矩阵：－5第二步，试指派：◎◎◎ØØ找到3个独立零元素但m=3<n=

4指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第36页!000000得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：

◎◎◎ØØ√√√◎◎◎ØØ15◎◎◎ØØ◎指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第37页!-1-2指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第38页!◎Ø◎◎◎ØØ√√√l=m=4<n=5指派问题的匈牙利法共43页，您现在浏览的是第39页!◎Ø