名师辅导 立体几何 第2课 空间两条直线(含答案解析)

名师辅导立体几何第2课空间两条直线(含答案解析)名师辅导立体几何第2课空间两条直线(含答案解析)名师辅导立体几何第2课空间两条直线(含答案解析)名师辅导立体几何第2课空间两条直线(含答案解析)编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:名师辅导立体几何第2课空间两条直线（含答案解析）●考试目标主词填空1.空间两条直线有三种位置关系相交直线——有且仅有一个公共点.平行直线——同在一个平面内，没有公共点.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.2.平行直线定义：同一平面内两条不相交的直线称为平行直线.公理4：平行同一条直线的两条直线互相平行.3.异面直线定义：“不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线”.异面直线的判定定理：“过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线”.这是判定空间两直线是异面直线的理论依据.●题型示例点津归纳【例1】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1C1与A1B上的点，且A1E=A1F.求证：EF∥例1题图【解前点津】例1题图平面内，利用平面图形的性质实施证明，若图形中这样的平面不好找，可以考虑实施转化，利用平行公理(或后继将要学习的直线与平面平行的性质定理、向量知识等)实施证明.【规范解答】证明：连结BC1、AD1，因为ABCD-A1B1C1D1方体，所以A1C1=A1B.在△A1BC1∵A1C1=A1B,A1E=A1F,∴,∴EF∥BC1又∵D1C1平行且等于AB，∴四边形ABC1D1是平行四边形∴BC1∥AD1,∴EF∥AD1.例2题图【例2】如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD例2题图【解前点津】求两条异面直线所成的角的步骤如下：①用平移法作出异面直线所成的角；②说明作出的角就是要求的角；③计算(解三角形)；④结论.【规范解答】如图所示，连结BC1、A1C1∵A1B1C1D1-ABCD∴AB平行且等于D1C1，即ABC1D1∴AD1平行且等于BC1，∴∠A1BC1(或它的补角)是异面直线A1B与AD1所成的角.设AA1=a,∵∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°∴在△AA1D1与△A1AB中，AB=AA1=a,A1B=a,AD1=BC1=2a,A1D1=a,∴A1C1==2a在△A1BC1中，由余弦定理知，cos∠A1BC1==.∴∠A1BC1=arcos,所以异面直线A1B与AD1所成的角是arccos.【解后归纳】学完空间向量之后，我们还可以利用向量的夹角公式求异面直线所成的角.例3题图【例3】如图所示，求证分别与两条异面直线都相交，且交点为不例3题图已知：a、b异面，AB交a、b于A、B，CD交a、b于C、D，A、B、C、D四点不同.求证：AB与CD是异面直线.【解前点津】此题条件不具备异面直线的判定定理所需条件，而当结论的反面即AB、CD共面时，易得AC、BD共面.即a、b共面，与已知矛盾.故用反证法证明较易.【规范解答】假设AB与CD不是异面直线，则AB与CD共面，设此平面为α,所以，A、B、C、D都在α内，所以直线AC平面α,BD平面α,所以AC与BD共面，即a与b共面，这与a、b为异面直线相矛盾.所以AB与CD是异面直线.【解后归纳】证明两条直线是异面直线除利用定义、定理外，还常常使用反证法，要掌握好.【例4】直三棱柱ABC—A1B1C1中AB=AC=AA1=d,D是AB的中点,若C1D=d,求异面直线AB与A1C1所成的角【规范解答】如图，连结CD,∵AC∥A1C1例4题图∴∠BAC或其补角就是异面直线AB与A1C例4题图在Rt△C1CD中,∠C1CD=90°,∴CD2=C1D2-CC12=在△ADC中,AD=AB=,AC=dcos∠CAD=.∴∠CAD=120°,∴异面直线AB与A1C1所成的角为60°【解后归纳】此题也可运用异面直线上两点间的距离公式,求出cosθ,其中EF,d,m,n就是题中的C1D,AA1,A1C1,AD,而θ就是∠CAD.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.“a、b为异面直线”是指①a∩b=,且ab;②a面α,b面β且a∩b=;③a面α,b面β,且a∩β=;④a平面α,b平面α;⑤不存在面α,使a面α且b面α成立,上述结论中，正确的是()A.①④⑤都正确B.①③④都正确C.仅②④正确D.仅①⑤正确2.无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影不可能是()A.两条平行直线B.两条相交直线C.一条直线和直线外一点D.两个点3.相交直线a、b的夹角为50°，则过交点与a、b都成60°角的直线的条数为().2C4.正方体的对角线与正方体的棱组成的异面直线共有()对对对对5.正方体ABCD—A1B1C1D1所有各面的对角线中与AB1成60°角且与AB1异面的直线的条数为.2C6.空间四边形两条对角线互相垂直，则顺次连结各边中点的四边形是()A.空间四边形B.矩形C.菱形D.正方形7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则异面直线CM与D1N所成的角的正弦值为A.B.C.D.第第7题图第8题图8.如图所示，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AE1A.B.C.D.9.在四面体ABCD中，AB＝８，CD＝６，M、N分别是BC、AD的中点，且MN＝５，则AB与CD所成角是()°°°°10.空间四点A、B、C、D，每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离为()B.C.D.二、思维激活11.正方体六个面内的所有对角线互成60°角的共有对．12.在三棱锥S—ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，∠BAC=60°，M、N分别是△SAB和△SAC的重心，则MN＝.13.在正四面体ABCD中,E、F分别是AB,CD的中点,则EF与AC所成角的大小为.14.在四面体ABCD中，棱长均相等，E是AD的中点，则AB和CE所成角的余弦值为.三、能力提高15.如图所示，在三棱锥D—ABC中,DA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠ABD=30°,AC=BC,求异面直第15题图线AB与CD第15题图16.已知a、b是异面直线，A、B∈a且AB=m，C∈b.(1)当线段AB在直线a上移动时，C为定点，证明△ABC面积不变.(2)当C点在直线b上移动，问点C在何位置时，△ABC的面积最小.第17题图17.如图所示，已知P为△ABC所在平面外的一点，E为PA的中点，F为PC的中点，BE⊥AC，PC⊥第17题图(1)求证：EF是BE、PC的公垂线.(2)若PA=a，PC＝b，求异面直线BE、PC的距离.第18题图18.如图所示，在棱长为1的正方体A1B1C1D1—ABCD中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B第18题图(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q.(只写作法，不必证明).(2)求PQ的长.19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a,AD=2a且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于E.求异面直线AE与CD第2课空间两条直线习题解答若射影为两个点，则两条直线与平面垂直，可知两直线平行，与异面相矛盾．在a,b所确定的平面外作与a,b都成60°角的直线有两条.12×2=24.A1C1、BD、A1D、BC1符合题意四边形中各边分别与对角线平行.将正方体ABCD—A1B1C1D1旁边补一个全等的正方体可得(设正方体棱长为cosθ=，∴sinθ=.取BC的中点D，连DE1可得DE１∥BD1.设BC=CA=CC1=2，∴cos∠AE1D=.取BD的中点O连OM，ON，∴OMCD，ONAB，∴OM=3,ON=4，∴△OMN为Rt△.P、Q均为中点时PQ的长为所求.第13题图解共有第13题图解BC2=42+62-2×4×6cos60°，∴BC=2，又MN=.°取BC的中点M,∵AF⊥CD,BF⊥CD,∴CD⊥平面ABF.(如图)于是CD⊥AB,同理AC⊥BD,∴EM⊥MF又EM=MF,∴∠MEF=45°.14.取BD的中点O，连EO，CO，第15题图解∴OE∥AB第15题图解∴cos∠CEO=.15.以AB、BC为邻边作平行四边形ABCM,则∠DCM是异面直线AB,CD所成的角,设AC=BC=a,∵∠ACB=90°,∴AB=a,MC=a,∵DA⊥平面ABC∴∠DAB=∠DAC=∠DAM=90°,又∠ABD=30°,∴DA=a,又AM=a,∴DM=,DC=∴cos∠DCM=.点评：16.(1)分析：要证△ABC面积不变，即证点C到直线a的距离CD不变，设EF为a、b公垂线段，a、b所成角为θ，CE＝m，作CMEF，作MD⊥AB，EF＝d，∵MD=msinθ，CM＝d均为定值.∴在Rt△CMD中，CD也是定值，故△ABC面积不变.(2)由(1)可知，要使△ABC面积最小，则MD要最小.(因CM为定值)，而MD＝msinθ，θ为定值.∴m=0时，MD最小，此时C点为公垂线段EF的端点E.17.(1)∵F是PC的中点，连结EF，则EF是△PAC的中位线，EF∥AC，EF＝AC.∵AC⊥PC，AC⊥BE，∴EF⊥PC，EF⊥BE.且EF和BE相交于E，和PC相交于F，∴EF是BE和PC的公垂线段.(2)在Rt△PCA中，∠PCA＝90°，PA＝a,PC＝b,∴AC＝，于是EF＝AC＝.所以BE和PC的距离是.18.分析：(1)AN和CM是两条异面直线，过O点作直线要与AN与CM都相交，应在平面内来作，因此，可先由点O、A、N和O、C、M各确定一个平面α、β.(2)当点P、Q作出后，求PQ的长只需解三角形即可.解：(1)由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α；又O、C、M三点确定一个平面β.∵三个平面α、β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面.第19题图解∴DA与CM必相交，记交点为第19题图解∴OQ是α与β的交线.连结OQ与AN交于P、与CM交于Q，故OPQ即为所求作的直线.(2)∵ON＝BC＝AQ，