金融工程基础知识

第三章金融工程基础知识E-mail:1本章内容提要现金流与时间价值风险与收益金融产品定价金融工程分析方法2第一节现金流与时间价值基于现金流和时间价值的现值与将来值的估值关系，是所有金融财务分析和金融工程活动的基础。1997年诺贝尔经济学奖得主默顿把货币的时间价值、资产定价与风险管理并称为现代金融理论的三大支柱。3一、现金流现金流就是支出或收入的款项，它包括：1、现金流的大小或数量2、现金流的方向3、现金流发生的时间4两个投资机会的现金流对比投资A投资B时间数量（单位元）时间数量（单位元）15001900260026003700360048004400合计2600合计2500问：

假设初始成本相同，如何选择投资决策？5二、时间价值（TimeValue）时间价值是指一定量的货币在不同时点上的价值量的差额。“今天的一元钱大于明天的一元钱”货币的时间价值产生的条件：进入生产周转过程。货币的时间价值的实质货币的时间价值的表示方式：利率或利息6货币时间价值的计算四个要件：现值（PV）终值（FV）计息期（N）折线率（或利率r）单利与复利的计算，特别是年金计算时间价值的敏感性分析7单利SimpleInterest所谓单利，是指货币投资的累计利息与投资年限成正比关系，即每年投资产生的利息等于利息率r与初始投资的乘积。如果初始投资为A，以单利r计息，则n年后该投资的总价值V为：

V=(1+rn)A8由公式可见，投资额随时间的变动以线性方式增长。如图，图中直线的斜率为固定的利率r。r

年复利CompoundInterest（一）复利的含义

1，所谓复利，即第一年所得利息r会加到初始的本金A之中，从而第二年记息的本金额会增大。也就是说，复利是对利息进行记息。9思考：现在你有1万元想进行投资，有两种投资方案：一种是一年支付一次红利，年利率为12%：另一种是一年分12个月按复利支付红利，月利率为1%，问你选择那种投资方案？102，在复利情况下，若初始本金为A，则一年后本金为A(1+r)，两年后为A(1+r)2，n年后即为A(1+r)n。即复利下，投资额会随着时间的推移而呈几何式加速增长。（二）复利的计算技巧在复利条件下，计算投资额的翻倍时间可依据72法则，即：投资额翻倍时间＝72/i式中i为利率。如年利率为8％，则投资额的翻倍时间为9年（72/8）。这一公式可适用于利率小于20％的情况。

11（三）复利的记息频率1，复利可以以任何频率进行，如果年利率为r，每年复利m次，则每期复利的利率为r/m。2，一年内经m次复利，则增长因子为[1+(r/m)]m。3，将年利率或银行给定的利率称为名义利率，将复利后所得到的利率称为有效利率，有效利率r’与名义利率r之间的关系为：

1＋r’＝[1+(r/m)]m4，如果将复利次数无限增加，即在[1+(r/m)]m中，m→∞，则可得到连续复利，即：其中e＝2.71828…，为自然对数的底。此时有效利率与名义利率的关系为：1＋r’=er125，由连续复利的公式可见，连续复利下投资额呈指数增长。如图价值年份

三、例题假设一企业债券，年利率为5％，每年复利一次，如果对该债券投资1000元，求3年后该投资的价值，并计算该投资的翻倍时间。13例题解：根据复利的计算公式V=A(1+r)n，有：V=1000(1+0.05)3=1157.625元再根据72法则，该投资的翻倍时间为72/5＝14.4年。14不同计息周期情况下的实际利率的计算比较

计息周期

一年内计息周期数(m)

年名义利率(r)%

期利率(r/m)%

年实际利率(i)%

年

1

12.00(已知)

12.00

12.000

半年

2

12.00(已知)

6.00

12.360

季度

4

12.00(已知)

3.00

12.551

月

12

12.00(已知)

1.00

12.683

周

52

12.00(已知)

0.2308

12.736

日

365

12.00(已知)

0.03288

12.748

连续计息

∞

12.00(已知)

→0

12.750

可以看出，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差别越大，年实际利率越高。15练习题1、每季度计一次复利的年利率为14％，请计算与之等价的连续复利年利率。2、每月计一次复利的年利率为15％，请计算与之等价的连续复利年利率。16第二节风险与收益17一、风险及其度量（一）不确定性与风险【美】富兰克·H·奈特：《Risk,UncertaintyandProfit》风险指可度量的不确定性；不确定性指不可度量的风险。风险是一种人们知其概率分布的不确定，但是人们可以根据过去推测未来的可能性；不确定性是指人们缺乏对事件的基本认识，它是全新的、唯一的、过去从来没有出现的，不能通过现有理论或经验进行预见和定量分析。18小知识：风险的由来“风险”一词的由来，最为普遍的一种说法是，在远古时期，以打鱼捕捞为生的渔民们，每次出海前都要祈祷，祈求神灵保佑自己能够平安归来，其中主要的祈祷内容就是让神灵保佑自己在出海时能够风平浪静、满载而归；他们在长期的捕捞实践中，深深的体会到“风”给他们带来的无法预测无法确定的危险，他们认识到，在出海捕捞打鱼的生活中，“风”即意味着“险”，因此有了“风险”一词的由来。

19观点事实上，人们既不厌恶风险，也不偏好风险，而是对风险一无所知。我们不知何种风险程度较高，何种较低。比如，骑自行车350英里、喝40瓶酒、吃80磅花生酱、每天在家中呆16小时并持续2年、住在阿伯丁地区内充满辐射能的花岗石建筑物中10年，其所隐伏着的风险是相同的。——英国工业安全专家T.A.Klez教授20不确定性不确定性是指怀疑自己对当前行为所造成的未来结果的预测能力。不确定性层次特点举类层次0（确定性）结果可以精确预测物理学定律、自然科学层次1（客观不确定性）可能结果与出现概率均已知纸牌、掷色子、六合彩等层次2（主观不确定性）可能结果已知，概率未知车祸、地震及许多投资活动层次3可能结果不完全已知，太空探索、基因研究等概率未知不确定性的分类概率论效用理论21（二）金融风险的特征1、客观存在性2、负面性3、可变性4、可测定性22（三）金融风险的类型风险性质分类：纯粹风险与投机风险风险来源分类：市场风险、信用风险、操作风险、流动性风险和社会风险风险分散分类：系统性风险与非系统性风险23（四）金融风险的度量风险度量是指衡量风险导致损失的可能性的大小以及损失发生的范围和程度，是风险管理的重要步骤。方差—协方差方法、历史模拟法、半参数方法以及固定收益证券投资风险度量的久期凸性方法、均值－方差模型、β系数法、缺口模型、VaR等风险度量方法以及Delta、Gamma、Theta、Vega、Rho等衍生证券灵敏度测量方法得到了广泛的应用。241、单一资产的风险度量用随机数学的知识把金融风险描述为某个资产实际收益对期望收益偏离的可能性，偏离程度越大则风险越大。我们用方差、标准差、标准离差率等作为反映随机变量离散程度的指标。这种风险度量是由Markowitz等人明确界定的。25续某项资产收益的收益率用表示，每种收益结果的都有一个概率与之对应，收益取值的算术平均值用表示，即期望收益。其计算公式为：

收益的方差为:

收益的标准差为：

标准离差率为：262、资产组合的风险度量资产组合的的风险，同样可以用方差和标准差来表示。组合的收益收益的方差收益的标准差27续风险的分散化有效组合两基金分离定理资本市场线市场组合证券市场线CAPM模型28例题：求有效组合29其他风险度量的方法β系数法VaR（在险价值）30β系数法β系数通常主要用于衡量系统性风险。夏普1963年首先提出并用于衡量系统性风险的市场模型（MarketModel）模型基本假定：1、个别证券的收益率之间的联系是通过一些共同的因素发生作用，市场模型假定该因素是市场指数。2、任何一种资产的收益率与市场指数收益率之间都存在着一种线性相关的关系rit=ai+βitrmt+εit其中β系数等于：βi＝covim/σm231精明投资者的标志之一就在于他们对金融市场的变动可能带来的损失在脑海中事先就已有一定的概念。---无名氏32VaR的起源VaR最初是1994年由当时的J.P.Morgan总裁建议的。他要求其下属每天下午4:15分向他提出一页报告，说明公司在未来的24小时内总体可能损失有多大。这就是著名的“4.15报告”。DennisWeatherstoneJ.P.Morgan的前主席33VAR法在险价值VAR法（Value－at－Risk

）是目前最具代表性的市场风险测量方法。基本含义：“在一定的概率水平下（置信度），某一金融资产或资产组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失”。表示为：

Prob(△ω≥VaR)=1－c

其中，△ω为资产或资产组合在持有期内的损失，VaR为置信水平c下处于风险中的价值。34案例:假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内存在95%概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。将其写作：其中为投资组合价值的变动。表示为:其中为置信度,在上述的例子中是95%。实际上，在VaR中询问的问题是“我们有X%的信心在接下来的T个交易日中损失程度将不会超过多大的”?35续假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内，以95％的概率保证其所管理的基金价值损失不超过100000元。我们可以写作：Prob(△ω≥100000元)=5％VaR更侧重对影响投资绩效的消极收益的管理，与方差方法相比，更接近投资者对风险的真实心理感受，更适合于在收益一般分布情况下的风险精确计量和管理。36选择合适的VaR参数要使用VaR就必须选择定义中的两个参数——时间长度T和置信度X%。

(一)时间长度

新交易发生的频率,收集市场风险数据的频率,对风险头寸套期保值（对冲）的频率（二）置信度X%在计算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。37

如果我们选用的是95％，如图所示（横轴表示投资组合价值变化范围，而纵轴表示变化发生的概率），就是要在图中找到如向下箭头表示的位置，该位置使得价值变化的95％落在右边而5％落在左边，这个位置上的横轴数值就是VaR的值。38VaR的使用

VaR的最大特点是：①它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面；②它容易理解；③它询问简单的问题:“情况究竟有多糟糕”39续(一)被动式地应用：信息报告。最早期的VaR应用是为了度量总风险。它被用来向高层管理报告金融机构的市场交易与投资的业务风险。(二)防御式地应用：控制风险。随后VaR被用来为交易员和营业部门设置头寸限额。VaR的优点之一是它创立了一种在不利市场中对不同的风险业务活动都能进行相互比较的共同标准尺度。(三)积极式地应用：管理风险。现在VaR越来越多地被不同机构用来在交易员、业务单位部门、产品以及整个机构内部之间配置资本。

40VAR的计算（以单一资产为例）假设我们持有某一股票，其价值为S，年波动率为σ。我们想知道在接下来的一个星期内具有99％确定性的最大可能损失是多少。VaR=SσdayN(1-x%)T1/2T为时间期限（以天为单位）N(x)为标准正态分布的累计函数41波动率换算42置信度偏离均值的标准差数99%2.32634298%2.05374897%1.8807996%1.75068695%1.64485390%1.281551置信度与均值离差之间的关系

43应用举例我们持有一个价值为100万元的X公司的股票头寸，X公司股票的日波动率为3％，假定该投资组合的价值变动是正态分布的，并且投资组合价值的预期变动为零，计算10天时间置信度为99％的在险价值。VaR=SσdayN(1-x%)T1/2＝100000×0.03×2.33×101/2

＝221043.2144续对于较长的时间度量，上述表达式应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为μ，那么上式变成45VaR的缺陷:(一)VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的,这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。(二)VaR的计算至少需要下列数据:投资组合中所有资产的现价和波动率以及它们相互之间的相关关系。如果资产是可交易的我们可以从市场得到资产的价格（这种做法被称为盯市，markingtomarket）。对于场外市场合约我们必须运用某些“已被承认的”模型来得到价格,这样做则是盯模（markingtomodel）。通常必须假设投资组合构成的变动是随机的并服从正态分布。46公司为什么进行风险管理？

——古埃及法老的风险管理 一个埃及法老梦见7头健康的牛被7头生病的牛吞噬，7穗健康的玉米被7穗生病的玉米吞噬。法老对这个梦感到困惑，于是请约瑟来释梦。约瑟对法老说，这个梦预示着7个丰年之后是7年饥荒。为了对冲风险，法老于是购买、囤积了大量粮食。后来，在出现饥荒的时候，埃及繁荣依旧。 ——摘自《旧约》47（五）金融风险管理风险识别风险度量风险控制风险评价48金融工程中的风险管理方法49二、收益及其度量效应、财富与收益理性经济人的效用函数具有三个最基本的特征：永不满足性、边际效用递减、边际替代率递减。简单的说，收益就是经济主体从经济活动中所得到财富数量的变动。由于财富是通过使消费成为可能来提供效用的，而收益使财富增加。更多的财富意味着更多的消费，更多的消费则意味着更大的效用。度量收益相对比较简单，有两种基本的方法：利润和收益率（也叫利润率）。50第三节金融产品定价会计：帐面价值（基于历史成本）金融：市场价值（基于预期收益）基本思想：是用该项资产未来创造的收入现金流用资产的预期收益率折现后的现值作为资产的价值。51金融产品定价的基本方法52一、绝对定价法绝对定价法就是根据金融工具未来现金流的特征，运用恰当的贴现率将这些现金流贴现成现值，该现值就是决定定价法要求的价格。缺点：1、金融工具未来的现金流难以确定；2、恰当的贴现率难以确定。53二、相对定价法相对定价法则利用基础产品与衍生产品价格之间的内在关系，直接依据基础产品价格求出衍生产品价格。优点：1、排除主观因素，容易测度；2、贴近市场，便于套利机会的发掘。主要应用在衍生产品的定价上，具体可分为：风险中性定价和无套利定价541、风险中性定价法基本假设：假定所有投资者都是风险中性的。定价原理：在所有投资者都是风险中性的条件下，风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率，因此，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现来求得现值。55应用举例假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道，在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设无风险年利率等于10％，试问一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P，这种概率就是风险中性概率。E-0.1*0.25【11P+9(1-P)】=10P＝0.626根据风险中性定价原理，我们可以求出该期权的价值：F=e-0.1*0.25(0.5×0.626＋0×0.3734）＝0.31562、无套利定价法套利：是指同时在两个或更多的市场上构筑头寸来利用不同市场定价的差异中套取无风险利润的交易行为。无套利定价的原则：在有效的市场中，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态，从而达到一种无套利（No-Arbitrage）均衡。无套利定价法：是将某项头寸与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生不承受风险的利润的组合头寸，由此测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。57应用举例假设有两家公司A和B，它们每年创造的息税前收益都是1000万元。A的资本全部由股本组成，为100万股。金融市场对该企业的预期收益是10％（即资本成本）。B公司的资本中有4000万元企业债券，年利率8％。假定该利率被认为是无风险利率，并假定B公司的股份数是60万股。请问市场均衡时B公司的股票价格是多少？58分析与解答A公司的股票价格＝1000/10%/100=100元/股按照无套利定价的原则，B公司的股票价格必然是100元/股。否则，会引起无风险套利活动：59B公司股票价格被低估为90元的情况头寸情况即期现金流未来每年现金流1%A股票的空头＋10000×100＝100万-EBIT的1％＝10万1％B债券多头-0.01×4000万＝-40万0.01×320万元＝3.2万1%B股票多头-6000×90＝-54万0.01×（1000-320）＝6.8万净现金流＋6万元060B公司股票价格被高估为110元的情况头寸情况即期现金流未来每年现金流1%A股票的多头-10000×100＝-100万＋EBIT的1％＝10万1％B债券空头＋0.01×4000万＝＋40万-0.01×320万元＝3.2万1%B股票空头＋6000×110＝＋66万-0.01×（1000-320）＝6.8万净现金流＋6万元061练习题假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票的价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10％，求一份三个月期、协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。62无套利定价机制的主要特征1、套利活动是在无风险状态下进行2、关键技术是“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。3、无风险套利活动从即时现金流看是零投资组合。633、状态价格定价法状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则为0的资产在当前的价格。状态价格定价法：根据某资产在未来各种状态下的回报状态以及市场无风险利率水平，利用无套利原则以及证券复制技术对该资产进行定价。64举例说明A是风险证券，其目前的价格是P,一年后其价格要么上升到UP，要么下降到DP。记无风险利率为r。试求P1、构造两个基本证券。基本证券1在证券上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2与其恰好相反。设基本证券1现在的价格Q1,基本证券2的价格是Q2.2、用UP份基本证券1和DP份基本证券2复制有风险的证券A。由无套利定价原则：P=Q1UP+Q2DP1=Q1U+Q2D(1)3、单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元，即为无风险投资组合，其收益率应该是无风险利率r.Q1+Q2=e-r(T-t)(2)65续求解方程1、2即得：Q1=(1-De-r(T-t))/U-DQ2=(Ue-r(T-t)-1)/U-DP=Q1UP+Q2DP提示：只要某一证券的价格在一段时间后出现两种价格状态，它的两个基本证券就是唯一确定的。66例题假如有价证券A的市场情况如下：PA＝100，r＝2%，u＝1.07，d＝0.98，T-t=1,可以算出Q1＝（1-0.98e-0.02）/（1.07-0.98）＝0.4378Q2＝（1.07e-0.02-1）/（1.07-0.98）＝0.5424假设另外有一个证券B，它在一年后的价格可能上升到103元，也可能下降到98.5元。那么PB=Q1UPB+Q2DPB=0.43788*103+98.5*0.5424=98.5267续换一个思路：我们用X份证券A和无风险证券来复制证券B。用X份证券A和当前市场价值为L的无风险证券构成市场价值为I的组合，其成本是I＝100X＋LIu=X*107+Le-r(T-t)=103Id＝X*98+Le-r(T-t)=98.5解出X＝0.5，L=48.52于是：I＝100×0.5＋48.52＝98.5268状态价格定价法的应用假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值是S0，期末价值是S1，这里S1只可能取两个值：一是S1=Su=uS0,u＞1,二是S1=Sd=dS0,d＜1。我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？

69续我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。该组合的成本是NS0-B，到了期末，该组合的价值V是NS1-RB，R是利率因子。对应于S1的两种可能，V有两个取值：如果S1=Su,则V=Vu=NSu-RB，如果S1=Sd,则V=Vd=NSd-RB。

70续由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有NS0-B=c0,把N和B代入本式中，得到看涨期权的价值公式c0=[pcu+(1-p)cd]e-r(T-t)

其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。

71习题假设有一份看涨期权，到期日为1年，执行价格X是112元；标的股票当前的价格是100元，无风险利率是8％。1年后，股票的价格或是上升到180元，或是下降到60元。试求该看涨期权的价格。提示：构造这样一个组合，借入无风险债券，买入标的股票。以便使它与看涨期权的价值特征完全相同。72第四节金融工程分析方法无套利分析法积木分析法731、无套利分析无套利（No—Arbitrage）分析，也称无套利均衡分析，实质上就是最简单、最基本的现金流的复制，包括正向复制和逆向复制。在金融工程中，这种现金流的复制技术既可用于金融资产和金融工具的定价，也可用于风险规避，进行套期保值，甚至还可以用于发现和寻找套利机会。套利力量将会推动市场重建均衡，提高金融市场的效率。市场一恢复均衡，套利机会就消失。在市场均衡时无套利机会，这就是无套利均衡分析的依据。74无套利的价格是什么？无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。

75例子假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？76答案是肯定的。套利过程是：第一步，交易者按1