传递函数模型表述

关于传递函数模型表述第一页，共二十五页，2022年，8月28日主要内容传递函数模型表述;利用传递函数模型的预测;扰动模型;4.广义预测控制模型(GPC);5.多变量系统.第二页，共二十五页，2022年，8月28日1.传递函数模型表述以输入—输出差分方程来描述系统的行为如下：在SISO系统的情况下，和可分别表示为以下多项式：（1）（2）（3）因此，可以把（1）式写成差分方程：（4）第三页，共二十五页，2022年，8月28日还可以定义多项式:对输入—输出时间序列采用Z变换以后，得到脉冲传递函数表达式为：（5）（6）（7）（8）式中，及分别为时间序列和的Z变换第四页，共二十五页，2022年，8月28日对于MIMO系统，和是多项式矩阵：（10）（9）式中是矩阵，是矩阵多项式和可以定义成：（12）（11）于是多变量系统的传递函数描述为：（14）（13）第五页，共二十五页，2022年，8月28日

虽然原理上几乎任何方法多可以在多变量的情况下实现，但这些多项式矩阵和传递函数矩阵方法与SISO情况相比更不方便也更少使用，所以本节仅讨论SISO的情况。传递函数矩阵（13）式中当d=1时相应的多变量差分方程为：（15）下面来导出传递函数模型和状态空间模型描述方式之间的转换，假设标准的状态空间模型为：（17）（16）第六页，共二十五页，2022年，8月28日做Z变换得（19）（18）由此，在假定x（0）=0的情况下有：（21）（20）所以有这就是传递函数矩阵Z变换的表达式，它对于SISO及MIMO（d=1）系统两者都适用。第七页，共二十五页，2022年，8月28日我们还可以导出传递函数模型和阶跃响应或脉冲传递函数之间的转换关系，事实上传递函数被定义为脉冲响应的Z变换，所以有（24）（23）（22）上式表明，在SISO情况下，可以由传递函数得到系统的脉冲响应。第八页，共二十五页，2022年，8月28日2.利用传递函数模型的预测对SISO系统，将（4）式改写成如下形式：（25）注意到上式中d仅表示纯滞后，属于离散化模型固有的特性d0=1已从d中减去，并列入表达式中了，可以利用这个表达式作为预测的基础，其中d>=1.第九页，共二十五页，2022年，8月28日预测控制的显示表达如下：（26）（27）（28）...第十页，共二十五页，2022年，8月28日或者，一般地还可以表达成：式中（29）（30）（31）（32）第十一页，共二十五页，2022年，8月28日

假设有多项式，其阶次不大于i-1，（i为正整数），并有阶次等于n-1的多项式，可将1/A分解为一个恒等式

通过比较同幂项系数，能够解出两个多项式，而且。用乘以（30），并利用（34）式子给出或或（33）（34）（35）（36）第十二页，共二十五页，2022年，8月28日注意到恰好就是，因此仅包含过去输出的可测值。所以可以写出预测输出如下

至此，方程右边已经不包含任何预测输出，这全都取决于（34）对多项式和有解。可用上式导出一个有趣的表达式。用乘以（33）式两边将它代入（37）得：（37）（38）第十三页，共二十五页，2022年，8月28日这就表明了预测具有“预估-校正”结构。在这里的预测和是长区间预测，它仅由输入信号构成，在任何时候都不用输出测量值来校正。（40）（39）第十四页，共二十五页，2022年，8月28日3.扰动模型如图，系统有一个未知扰动，令它等于测量值与预测输出值之差：

则输出y的预测方程为：装置（42）（41）第十五页，共二十五页，2022年，8月28日扰动的一般性模型不失一般性，设系统有不可测得输出扰动，则可用的滤波器来描述输出扰动模型：

从上式可得，v(k)在白噪声的情况下，d(k)为平稳随机过程。上述模型对于确定性和白色随机扰动建模方式以及混合建模通常已经足够了。（44）（43）第十六页，共二十五页，2022年，8月28日例1正弦曲线扰动为建立一个正弦曲线输出扰动的模型，其中频率已知幅值和相位未知，可以取，并且

式中，Ts是采样周期，而于是d(k)的Z变换由下式给出：反变化后得到的离散形式的信号：第十七页，共二十五页，2022年，8月28日可以取V(k)的概率分布对所有的k都是相同的。若是一个渐进稳定的传递函数，d(k)将是一个具有如下谱密度的平稳随机过程：注意到，所以总可以选择使得它的全部根位于单位圆内。第十八页，共二十五页，2022年，8月28日利用扰动模型的预测利用(43),(44)式作为扰动模型，可以得到预测输出。设有两个求解下述方程的多项式

和（45）能从下述的方程解出和从（44）和（45）可以得到=（46）（48）（47）第十九页，共二十五页，2022年，8月28日接着可由（49）来估计v(k)=（49）（51）（50）第二十页，共二十五页，2022年，8月28日由（48），（49）可列出向前i步的预测输出=（53）（52）第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日4.广义预测控制模型在广义预测控制模型中，扰动通常假设是随机的，并在（44）中分母多项式总是取

若扰动为随机过程，即意味着使为白噪声，加在输出上的扰动将是一个平稳随机过程，不再是白噪声，这将给基于统计特性的计算带来一定的困难。

（54）第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日

将是（44）代入到（46）中，从每一项中消去得到利用可以得到（57）（56）（55）第二十三页，