江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)

2020~2021学年度第一学期江苏省锡山高级中学期中考试高一数学试卷一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义写出即可．【详解】集合，，则．故选：A2.命题“”的否定形式为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】命题“”的否定是：，.故选：C.3.若函数是幂函数，且图像关于原点对称，则实数m为（）A.2 B.-1 C.4 D.2或-1【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义，可得，求出的值，再判断是否满足幂函数的图像关于原点对称，即可求出结果．【详解】∵幂函数，∴，解得，或；又幂函数的图像关于原点对称，∴当时，，幂函数为，满足题意；当时，，幂函数为，不满足题意；综上，.故选：A．4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】“，”为真命题可转化为恒成立，可得，根据充分必要条件可选出答案．【详解】若“，”为真命题，可得恒成立，只需，所以时，，”为真命题，“，”为真命题时推出，故是命题“，”为真命题一个充分不必要条件，故选：A．【点睛】关键点睛：解题的关键是将命题“，”为真命题转化为恒成立的问题.5.为了防止新冠疫情输入校园.省锡中后勤采用喷洒消毒对学校教学区域何物体表面进行消毒.喷洒后该药品浓度C随时间t的变化关系为，则一段时间后药品的最大浓度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式进行求解即可【详解】，当且仅当，时，即时，等号成立故选B6.已知函数，)是定义在R上的函数，，则“函数为偶函数”是“函数，均为偶函数”的（）A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由函数，均为偶函数，推得，证得必要性成立，再举例说明充分性不成立，即可得到答案．【详解】由函数，均为偶函数，则，又由，即，所以为偶函数，所以“函数为偶函数”是“函数，均为偶函数”的必要条件；例如：函数，此时为偶函数，而函数都不是偶函数，所以“函数为偶函数”是“函数，均为偶函数”的必要不充分条件.故选:C7.已知函数为奇函数，若函数与的图象在的交点为，，则（）A.1 B.-2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先求得的对称中心，由题意可得函数与的图象交点也关于（1,0）对称，根据对称性，可得，分析可得，必为一个交点，即可求得答案.【详解】因为函数为奇函数，即关于（0，0）对称，所以图象关于（1,0）对称，又为向右平移一个单位得到，所以图象也关于（1,0）对称，所以函数与的图象的交点也关于（1,0）对称，因为，为不对称区间，且两图象交点为5个，所以必为一个交点，且其余4个交点关于（1,0）对称，所以，即，所以，故选：D【点睛】解题的关键是求得两个函数的对称中心，可得交点关于（1,0）对称，分析所给区间不对称，根据交点个数，可得必为交点，再利用对称性求解即可，属中档题.8.已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有不等式成立，则实数a取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得在R上为单调递增函数，若时为增函数，则，若时为增函数，则，比较x=a处两函数值的大小，即可求得答案，【详解】因为，所以在R上为单调递增函数，当时，的图象如图所示：因在R上为单调递增函数，所以，当时，为增函数，所以，且在x=a处，解得，综上，故选：C.【点睛】解题的关键是熟悉分段函数单调性的求法，根据单调性，先分析分段点两侧单调性，再比较分段点处函数值的大小即可，考查推理分析，化简计算的能力，属中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.下列函数在其定义域中，既是奇函数又是增函数的（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇偶函数定义域的特点，以及常见函数的单调性即可判断.【详解】解：对于选项A：定义域为，则该函数为偶函数；故不选A；对于选项B：定义域为，则该函数为奇函数；利用指数函数的单调性知此函数在定义域内为增函数，故选B；对于选项C：的定义域为，，即不是奇函数也不是偶函数；故不选C；对于选项D：是奇函数，根据单调性的定义知该函数在其定义域上是增函数；故选D．故选：BD．10.下列命题为真命题的是（）A.，B.，C.存在，等式成立D.，使得函数为偶函数【答案】BCD【解析】【分析】令，可判断A不正确；令，可判断B正确；令，可判断C正确；令，由定义可推得为偶函数，可判断D正确.【详解】令，则，所以A不正确；令，则，所以B正确；令，则，所以，，所以C正确；令，函数的定义域为，所以，所以D正确.故选：BCD11.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，，则【答案】BD【解析】【分析】取可判断A选项的正误；利用作差法可判断BCD选项的正误.【详解】对于A选项，当时，则，A选项错误；对于B选项，，由，得，则，B选项正确；对于C选项，，由，，则，则，C选项不正确；对于D选项，，，，得，则，D选项正确.故选：BD.【点睛】方法点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．12.对于函数(其中，)其中，选取a，b一组计算和，所得的正确结果可能是（）A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2【答案】ABC【解析】【分析】先求出和，再根据为偶数，进行逐个判断选项【详解】，，为偶数故选：ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则=___.【答案】26【解析】【分析】根据自变量范围，代入对应的解析式，即可求得答案.【详解】因为，所以，因为3>0，所以，所以，故答案为：2614.不等式的解集是___.【答案】【解析】【分析】移项后分式不等式转化为整式不等式求解即可.【详解】由得，所以，故解集为：故答案为：15.已知，，若中有且只有三个整数，则正数m的取值范围为___.【答案】【解析】【分析】集合：令，得，利用二次函数的单调性求解的范围；对于集合：直接利用二次函数的单调性求解的范围；利用中有且只有三个整数，得到，解不等式即可得到答案.【详解】集合：令，则，由，得，此函数的对称轴为，开口朝下，利用二次函数的单调性得：当时，有最大值，得，所以集合；对于集合：其开口向上，对称轴为，利用二次函数的单调性得：当时，有最小值，，所以集合；因为若中有且只有三个整数，则，则这三个整数是.所以，解得：，则正数m取值范围为.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用二次函数的单调性得到集合，分析中有且只有三个整数，且，可得三个整数是，即可得，解不等式得解.16.已知正数x，y，z满足，，则的最小值___.【答案】9【解析】【分析】根据题意，可得，即可求得，代入所求，进行适当配凑，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】因为x，y，z为正数，所以，即，所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，故答案为：9【点睛】解题的关键是利用基本不等式，先求得，代入所求，进行配凑，再利用基本不等式求解，两次应用基本不等式时，要保证两次等号都要成立，属中档题.四、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）已知：，求的值；（2）求值：.【答案】（1）4；（2）11【解析】【分析】（1）先计算，又，代入计算即可；（2）运用换底公式与对数运算性质计算可得.【详解】（1）因为，所以；（2）18.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求实数m取值范围.试从以下两个条件中任取一个补充在以上的问题中，并完成解答.①不等式的解集B；②不等式的解集为B.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】（1）条件选择见解析，或；（2）【解析】【分析】若选择①，利用指数函数单调性，可解得；若选择②，根据含有绝对值不等式的解法，可解得.（1）当时，可求得集合A，根据交集、补集的运算法则，即可求得答案；（2）根据，可得，分别讨论和两种情况，根据集合的包含关系，即可求得m的取值范围.【详解】若选择①，因为，所以，所以，解得所以集合，（1）当时，集合，所以或，所以或；（2）因为，所以，当时，，解得，当时，，解得，综上，即实数m取值范围为若选择②，因为，所以，解得，所以集合，（1）当时，集合，所以或，所以或；（2）因为，所以，当时，，解得，当时，，解得，综上，即实数m取值范围为【点睛】答题前，应先选择①或②，再进行作答，易错点为：当出现，且集合A带有参数时，需讨论集合A是否为空集，两种情况综合，即可得答案，属中档题.19.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）若不等式在有解，求实数m取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）函数是上的奇函数，利用，注意检验求出的是否满足题意；（2）由（1）得，把不等式在有解转化为在有解，构造函数，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由为上的奇函数，所以，则，检验如下：当，，，则函数为上的奇函数.所以实数a值.（2）由（1）知，则，由得：，因为，等价于在有解，则，令，设，当且仅当或（舍）取等号；则，所以实数m取值范围.【点睛】关键点睛：把不等式在有解转化为在有解，构造函数出是解决本题的关键.20.设函数，.（1）若关于x的方程无实数解，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为：；当时，所以解集为：；当时，解集为；当时，解集为：.【解析】【分析】（1）根据关于的方程无实数解，可得，解出不等式，即可求出结果；（2）将原不等式化简成，对进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）因为关于的方程无实数解，所以，解得，即实数的取值范围；（2）因为，所以由得，所以，当时，解集为；当时，由于，所以解集为：；当时，由于，所以解集为：；当时，，所以解集为；当时，由于，所以解集为：.综上所述：当时，解集为；当时，解集为：；当时，所以解集为：；当时，解集为；当时，解集为：.【点睛】易错点睛：含参的一元二次不等式的求解，要注意二次项系数与根的讨论.21.已知定义域为的函数满足，当时.（1）求函数的解析式；（2）运用函数的单调性定义，证明函数在区间是单调增函数；（3）若，试比较和的大小，并说明理由.【答案】（1）；（2）证明见详解；（3），理由见详解.【解析】【分析】（1）先利用求出，再利用奇函数的定义求解解析式即可；（2）设，代入整理，判断符号即可得证；（3）由（1）（2）知函数既是奇函数又是增函数，利用，得到，，再利用函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】（1）由，得函数为上的奇函数；令，得，当时，，则，得，所以当时，，当时，得，所以，则，所以；（2）当时，，设，所以，，所以，故函数在区间是单调增函数；（3），理由如下：由（2）知函数在区间是单调增函数，又函数为上的奇函数，所以函数在上是单调增函数；又，所以，则，由，得，则，因为，所以.【点睛】方法点睛：利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法；（4）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；22.已知函数的图像经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交.（1）写出函数的解析式；（2）若函数，，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（3）若对于任意，，总有求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由题知，通过计算可得的解析式；（2）由（1）得，令，则，分，，讨论求解最