线性代数第6讲课件

线性代数第6讲1线性代数第6讲122如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可交换.3如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可例7.求与矩阵可交换的一切矩阵.4例7.求与矩阵可交换的一切矩阵.4解:显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵,设为5解:显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵,设为5则6则677由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=ca2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=ba3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a8由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=b

a3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a其中a,b,c,d为任意数.9a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b1010既然矩阵乘法不满足交换律,因之矩阵相乘时必须注意顺序,AX称为用X右乘A,XA称为用X左乘A.11既然矩阵乘法不满足交换律,因之矩阵相乘时必须注意顺序,A一般矩阵用大写黑体字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或n行一列的矩阵,为了与后面章节的符号一致,有时也用小写黑体字母a,b,x,y,…表示.

例如,等.12一般矩阵用大写黑体字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或例9.在线性方程组令方程组可以表示为矩阵形式Ax=b.13例9.在线性方程组令方程组可以表示为矩阵形式Ax=b.131414即15即15分别解(1),(2)和(3),(4)两个方程组得

x11=1,x21=-1,x12=0,x22=2

所以16分别解(1),(2)和(3),(4)两个方程组得

x11=矩阵乘法有下列性质(设下列矩阵都可以进行有关运算):

(1)(AB)C=A(BC)

(2)(A+B)C=AC+BC

(3)C(A+B)=CA+CB

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)17矩阵乘法有下列性质(设下列矩阵都可以进行有关运算):

(1)证:现在证明(2),(A+B)C=AC+BC

设A=(aik)ml,B=(bik)ml,C=(ckj)ln

则 (A+B)C=((aik)ml+(bik)ml)(ckj)ln

=(aik+bik)ml(ckj)ln同理可证(1),(3),(4)成立.18证:现在证明(2),(A+B)C=AC+BC

设A=(a例11.证明:如果CA=AC,CB=BC,则有(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB).

证:因为CA=AC,CB=BC

故有 (A+B)C=AC+BC=CA+CB

=C(A+B)

(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B

=(CA)B=C(AB)19例11.证明:如果CA=AC,CB=BC,则有(A+关于矩阵乘法还有下面一个重要性质:同阶方阵A与B的乘积的行列式,等于矩阵A的行列式与矩阵B的行列式的乘积.即

|AB|=|A||B|

我们略去证明,只用二阶矩阵为例加以验证.

设20关于矩阵乘法还有下面一个重要性质:同阶方阵A与B的乘积的行2121(三)矩阵的转置

定义2.6将mn矩阵A的行与列互换,得到的nm矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为AT或A'.即如果22(三)矩阵的转置

定义2.6将mn矩阵A的行与列互换,例如,设则23例如,设则23转置矩阵有下列性质:

(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

(4)(AB)T=BTAT24转置矩阵有下列性质:

(1)(AT)T=A

(2)(A+证:性质(1),(2),(3)显然成立,现证(4).

设A=(aik)ml,B=(bkj)ln

AB是mn矩阵,因此(AB)T是nm矩阵,而BT是nl矩阵,AT是lm矩阵,因此BTAT也是nm矩阵,所以矩阵(AB)T与矩阵BTAT有相同的行数与相同的列数.25证:性质(1),(2),(3)显然成立,现证(4).

设矩阵(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而矩阵BTAT第j行第i列的元素,应为矩阵BT的第j行元素与矩阵AT的第i列元素对应相乘的和,即矩阵B的第j列元素与矩阵A的第i行元素对应相乘的和26矩阵(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而于是得到矩阵(AB)T与矩阵BTAT的对应元素相等.所以矩阵(AB)T等于矩阵BTAT.27于是得到矩阵(AB)T与矩阵BTAT的对应元素相等.所以矩(四)方阵的幂

对于方阵A及自然数k称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质:设A是方阵,k1,k2是自然数,28(四)方阵的幂

对于方阵A及自然数k称为方阵A的k次幂.2§2.3几种特殊的矩阵29§2.3几种特殊的矩阵29(一)对角矩阵

如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条件

aij=0 ij(i,j=1,2,,n)

则称A为n阶对角矩阵,即(这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零.)30(一)对角矩阵

如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条件

由31由31可见,如果A,B为同阶对角矩阵,则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵.

显然,如果A是对角矩阵,则AT=A.32可见,如果A,B为同阶对角矩阵,则kA,A+B,A(二)数量矩阵

如果n阶对角矩阵A中的元素a11=a22==ann=a时,则称A为n阶数量矩阵,即以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B,其乘积等于以数a乘矩阵B.33(二)数量矩阵

如果n阶对角矩阵A中的元素a11=a22=如34如343535(三)单位矩阵

如果n阶数量矩阵A中的元素a=1时,则称A为n阶单位矩阵,记作In,有时简记为I.即36(三)单位矩阵

如果n阶数量矩阵A中的元素a=1时,则称单位矩阵有

ImAmn=Amn

AmnIn=Amn

对于n阶矩阵A,规定A0=I

单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质.

有的教科书和论文中用字母E表示单位矩阵.37单位矩阵有

ImAmn=Amn AmnIn=Amn(四)三角形矩阵

如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条件

aij=0 i>j (i,j=1,2,,n)

则称A为n阶上三角形矩阵.即38(四)三角形矩阵

如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条如果n阶矩阵B=(bij)中的元素满足条件

bij=0 i<j (i,j=1,2,,n)

则称B为n阶下三角矩阵,即39如果n阶矩阵B=(bij)中的元素满足条件

bij=0 i若A,B为同阶同结构三角形矩阵,容易验证kA,A+B,AB仍为同阶同结构三角形矩阵.40若A,B为同阶同结构三角形矩阵,容易验证kA,A+B,作业:习题二(A)

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第19,20,21,26,28题41作业:习题二(A)

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第19,20,21,26线性代数第6讲42线性代数第6讲1432如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可交换.44如果两矩阵A与B相乘,有AB=BA,则称矩阵A与矩阵B可例7.求与矩阵可交换的一切矩阵.45例7.求与矩阵可交换的一切矩阵.4解:显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵,设为46解:显然与矩阵A可交换的矩阵必为4阶矩阵,设为5则47则6487由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=ca2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=ba3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a49由AB=BA,即a1=0,b1=a,c1=b,d1=a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b2=a1=0,c2=b1=a,d2=c1=b

a3=0,b3=a2=0,c3=b2=0,d3=c2=a其中a,b,c,d为任意数.50a1=0,b1=a,c1=b,d1=c

a2=0,b5110既然矩阵乘法不满足交换律,因之矩阵相乘时必须注意顺序,AX称为用X右乘A,XA称为用X左乘A.52既然矩阵乘法不满足交换律,因之矩阵相乘时必须注意顺序,A一般矩阵用大写黑体字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或n行一列的矩阵,为了与后面章节的符号一致,有时也用小写黑体字母a,b,x,y,…表示.

例如,等.53一般矩阵用大写黑体字母A,B,X,Y,…表示,但一行n列或例9.在线性方程组令方程组可以表示为矩阵形式Ax=b.54例9.在线性方程组令方程组可以表示为矩阵形式Ax=b.135514即56即15分别解(1),(2)和(3),(4)两个方程组得

x11=1,x21=-1,x12=0,x22=2

所以57分别解(1),(2)和(3),(4)两个方程组得

x11=矩阵乘法有下列性质(设下列矩阵都可以进行有关运算):

(1)(AB)C=A(BC)

(2)(A+B)C=AC+BC

(3)C(A+B)=CA+CB

(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)58矩阵乘法有下列性质(设下列矩阵都可以进行有关运算):

(1)证:现在证明(2),(A+B)C=AC+BC

设A=(aik)ml,B=(bik)ml,C=(ckj)ln

则 (A+B)C=((aik)ml+(bik)ml)(ckj)ln

=(aik+bik)ml(ckj)ln同理可证(1),(3),(4)成立.59证:现在证明(2),(A+B)C=AC+BC

设A=(a例11.证明:如果CA=AC,CB=BC,则有(A+B)C=C(A+B),(AB)C=C(AB).

证:因为CA=AC,CB=BC

故有 (A+B)C=AC+BC=CA+CB

=C(A+B)

(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B

=(CA)B=C(AB)60例11.证明:如果CA=AC,CB=BC,则有(A+关于矩阵乘法还有下面一个重要性质:同阶方阵A与B的乘积的行列式,等于矩阵A的行列式与矩阵B的行列式的乘积.即

|AB|=|A||B|

我们略去证明,只用二阶矩阵为例加以验证.

设61关于矩阵乘法还有下面一个重要性质:同阶方阵A与B的乘积的行6221(三)矩阵的转置

定义2.6将mn矩阵A的行与列互换,得到的nm矩阵,称为矩阵A的转置矩阵,记为AT或A'.即如果63(三)矩阵的转置

定义2.6将mn矩阵A的行与列互换,例如,设则64例如,设则23转置矩阵有下列性质:

(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

(4)(AB)T=BTAT65转置矩阵有下列性质:

(1)(AT)T=A

(2)(A+证:性质(1),(2),(3)显然成立,现证(4).

设A=(aik)ml,B=(bkj)ln

AB是mn矩阵,因此(AB)T是nm矩阵,而BT是nl矩阵,AT是lm矩阵,因此BTAT也是nm矩阵,所以矩阵(AB)T与矩阵BTAT有相同的行数与相同的列数.66证:性质(1),(2),(3)显然成立,现证(4).

设矩阵(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而矩阵BTAT第j行第i列的元素,应为矩阵BT的第j行元素与矩阵AT的第i列元素对应相乘的和,即矩阵B的第j列元素与矩阵A的第i行元素对应相乘的和67矩阵(AB)T第j行第i列的元素是AB的第i行第j列的元素而于是得到矩阵(AB)T与矩阵BTAT的对应元素相等.所以矩阵(AB)T等于矩阵BTAT.68于是得到矩阵(AB)T与矩阵BTAT的对应元素相等.所以矩(四)方阵的幂

对于方阵A及自然数k称为方阵A的k次幂.方阵的幂有下列性质:设A是方阵,k1,k2是自然数,69(四)方阵的幂

对于方阵A及自然数k称为方阵A的k次幂.2§2.3几种特殊的矩阵70§2.3几种特殊的矩阵29(一)对角矩阵

如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条件

aij=0 ij(i,j=1,2,,n)

则称A为n阶对角矩阵,即(这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零.)71(一)对角矩阵

如果n阶矩阵A=(aij)中的元素满足条件

由72由31可见,如果A,B为同阶对角矩阵,则kA,A+B,AB仍为同阶对角矩阵.

显然,如果A是对角矩阵,则AT=A.73可见,如果A,B为同阶对角矩阵,则kA,A+B,A(二)数量矩阵

如果n阶对角矩阵A中的元素a11=a22==ann=a时,则称A为n阶数量矩阵