概率统计冲刺讲义

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2022年年导航领航考研数学冲刺班讲义

概率统计

邓泽华

编讲

一、填空题分析

填空题主要测验根基学识和运算才能，更加是运算的切实性。

1.（04-1-3-4）设随机变量X按照参数为的指数分布，那么PXDX

.【1e，概率计算】

2.（04-3）设总体21~(,)XN，总体22~(,)YN，112,,,nXXX和212,,,nYYY分别是来自总体X和Y的简朴随机样本，那么12221112()()2nniiiiXXYYEnn

.【2，数字特征】

3.（06-1-3-4）设随机变量X与Y相互独立，且均按照区间[0,3]上的平匀分布，那么max,1PXY

.【19，概率计算】

4.（05-1-3-4）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从X,,1中任取一个数，记为Y，那么}2{YP

.【1348，概率计算】

5.（05-1-3-4）设二维随机变量(,)XY的概率分布为XY

0100.4a

1b

0.1

若随机事情0X与1XY相互独立，那么a

，b

.【0.4，0.1，确定常数】

6.（06-3）设总体X的概率密度为1()e2xfx，（x），12,,,nXXX为来自总体X的简朴随机样本，其样本方差为2S，那么2ES

.【2，数字特征】

7.（07-1-3-4）在区间(0,1)中随机地取两个数，那么这两个数的差的十足值小于12的概率为

.【34，概率计算】

8.（08-1-3-4）设随机变量X按照参数为1的泊松分布，那么2PXEX

.【12e，概率计算】

9.（08-n）设1234,,,XXXX为来自正态总体(2,4)N的简朴随机样本，那么2()EX

.【5，数字特征】

10.（09-1）设12,,,mXXX为来自二项分布总体的简朴随机样本，若2XkS为2np的无偏估计量，那么k

.【1，数字特征】

11.（09-3）设12,,,mXXX为来自二项分布总体的简朴随机样本，记统计量2TXS，那么ET

.【2np，数字特征】

12.（09-n）设总体X的概率密度1(,)e,2xfxx，其中参数(0)未知，若12,,,mXXX是来自总体X的简朴随机样本，111niiXn是的估计量，那么E

.【1nn，数字特征】

二、选择题分析

解选择题的方法有⑴直接法；⑵间接法（排）

除法、特例法等）

；⑶数形结合法。考点涉及概念、理论、方法和运算。

1.（06-1-4）设A，B为随机事情，且()0PB，()1PAB，那么必有（

）.【C，概率公式】

（A）

()()PABPA（B）

()()PABPB

（C）

()()PABPA（D）

()()PABPB

2.（04-1-3-4）设随机变量X按照正态分布(0,1)N，对给定的(0,1)，数u得志PXu，若PXx，那么x等于（

）.【B，正态概率】

（A）2u（B）12u（C）12u（D）1u3.(06-1-3-4)设随机变量X～211(,)N，Y～222(,)N，且12{1}{1}PXPY，那么必有（

）.【A，正态概率】

（A）12（B）12（C）12（D）12

4.（04-4）设随机变量12,,,(1)nXXXn独立同分布，且其方差为20.令11niiYXn，那么（

）.【C，数字特征】

（A）212()nDXYn（B）211()nDXYn

（C）21(,)CovXYn

（D）21(,)CovXY

5.（05-4）设12,,,,nXXX为独立同分布的随机变量列，且均按照参数为的指数分布，那么（

）.【C，中心极限定理】

（A）1lim()niinXnPxxn（B）1lim()niinXnPxxn（C）1lim()niinXnPxxn（D）1lim()niinXPxxn6.（05-1）设1,,(2)nXXn为来自总体(0,1)N的简朴随机样本，那么（

）.【D，抽样分布】

（A）

~(0,1)nXN（B）22~()nSn（C）

(1)~(1)nXtnS（D）2122(1)~(1,1)niinXFnX7.（05-3）设一批零件的长度按照正态分布2(,)N，其中参数2,未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值20x（cm），样本标准差1s(cm)，那么的置信度为0.90的置信区间是（

）.

【C，置信区间】

(A)0.050.0511(20(16),20(16))44tt

(B)0.10.111(20(16),20(16))44tt

(C)0.050.0511(20(15),20(15))44tt

(D)0.10.111(20(15),20(15))44tt

8.（07-1-3-4）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)pp，那么此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）.【C，概率计算】

（A）23(1)pp（B）26(1)pp（C）223(1)pp（D）226(1)pp

9.（07-1-3-4）设(,)XY按照二维正态分布，且X与Y不相关，()Xfx，()Yfy分别为X，Y的概率密度，那么在Yy的条件下，X的条件概率密度()XYfxy（）.【A，条件密度】

（A）

()Xfx（B）

()Yfy（C）

()()XYfxfy（D）()()XYfxfy

10.（08-1-3-4）设随机变量,XY独立同分布，且X的分布函数为()Fx，那么max,ZXY的分布函数为（）.【A，函数的分布】

（A）2()Fx

（B）

()()FxFy

（C）21[1()]Fx（D）

[1()][1()]FxFy

11.（08-1-3-4）设随机变量~(0,1)XN，~(1,4)YN，且相关系数1XY，那么（）.【D，相关系数】

（A）

211PYX（B）

211PYX

（C）

211PYX（D）

211PYX

12.（08-n）设123,,AAA为3个随机事情，以下结论中正确的是（）.【A，独立性】

（A）若123,,AAA相互独立，那么123,,AAA两两独立

（B）若123,,AAA两两独立，那么123,,AAA相互独立（C）若123123()()()()PAAAPAPAPA，那么123,,AAA相互独立（D）若1A与2A独立，2A与3A独立，那么1A与3A独立13.（08-n）设随机变量X按照参数为,np的二项分布，那么（）.【D，数字特征】

（A）

(21)2EXnp

（B）

(21)4EXnp

（C）

(21)2(1)DXnpp（D）

(21)4(1)DXnpp

14.（09-1-n）.设随机变量X的分布函数为1()0.3()0.7()2xFxx，那么EX（）.【C，数字特征】

（A）

0

（B）

0.3

（C）

0.7

（D）

1

15.（09-1-3）.设随机变量X与Y相互独立，且X按照标准正态分布(0,1)N，Y的概率分布为1012PYPY，记()ZFz为随机变量ZXY的分布函数，那么函数()ZFz的休止点的个数为（）.【B，函数的分布】

（A）

0（B）

1（C）

2（D）

3

16.（09-3-n）事情A与B互不相容，那么（）.【D，概率公式】

（A）

()0PAB

（B）

()()()PABPAPB

（C）

()1()PAPB

（D）

()1PAB

三、解答题分析

（一）考点分析近三年的考点分布处境如下：

数学一07年

已知二维随机变量密度求概率与函数的密度、已知总体密度求参数矩估计与统计量的无偏性08年

已知独立和边缘求条件概率与函数的密度、已知总体密度求统计量期望与方差09年

摸球问题中的条件概率与联合分布、已知总体密度求参数矩估计和最大似然估计数学三07年

与数学一一致08年

与数学一一致09年

与数学一一致、已知二维随机变量密度求条件密度与条件概率数学农科08年

已知随机变量密度和期望求常数与分布函数、已知二维离散随机变量的联合分布求边缘分布与概率09年

已知随机变量密度和函数期望求常数与概率、已知离散随机变量X与Y的概率分布及PXY求联合分布与相关系数（二）综合举例例例1

甲乙两人举行乒乓球单打比赛，甲每局获胜的概率为0.6，比赛采用五局三胜制.⑴求甲获胜的概率；⑵已知甲获胜，求甲是3:0获胜的概率.解

【二项分布、独立性、条件概率】

⑴甲获胜的概率为322222343:03:13:0.60.68256PPPCC；⑵A表示"甲获胜'，B表示"甲是3:0获胜'

()()0.216()0.31646()()0.68256PABPBPBAPAPA.

例例2

在电源电压不超过200V，200~240V和超过240V三种处境下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，设电源电压2~(220,25)XN，已知(0.8)0.788，求⑴该电子元件损坏的概率；⑵该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率.解解

【正态分布、全概率公式、贝叶斯公式】

2~(220,25)XN，200220220()(0.8)1(0.8)0.21225PX，240220200220220240()()(0.8)(0.8)0.5762525PX，2402202401()1(0.8)0.21225PX

⑴设A"电子元件损坏'，由全概率公式，得()200200200240200240PAPXPAXPXPAX

2402400.0642PXPAX；⑵由贝叶斯公式，得2002402002400.009()PXPAXPA.例3

设随机变量X的分布密度为,02,(),24,0,,axxfxbxcxelse且2EX，3134PX，求：⑴常数,,abc；⑵分布函数()Fx；⑶随机变量eXY的期望与方差.

解解

【一维随机变量分布与数字特征】

⑴由分布密度的性质()1fxdx，得24021()262axdxbxcdxabc,2422028562()633EXaxdxbxcxdxabc，231233513()422PXaxdxbxcdxabc，解得11,,144abc.⑵X的取值范围为(0,4)，()FxPXx

当0x时，()0Fx；当4x时，()1Fx；当04x时，()()xFxfxdx，当02x时，201()48xxFxxdx，

当24x时，220211()(1)1448xxFxxdxxdxx.⑶242202111ee(1)e(e1)444XxxEYExdxxdx，2422224202111ee(1)e(e1)4416XxxEYExdxxdx，222221()e(e1)4DYEYEY.

例例4

设盒内有5个球，其中2个红球，3个白球，从中无放回地抽取3个，设X为抽到的红球总数，Y为第三次抽到的红球数.⑴求(,)XY的概率分布；⑵求(,)CovXY，问X和Y是否独立？

解

【二维离散随机变量概率分布与数字特征】

⑴X的可能值为0，1，2；Y的可能值为0，1，3210,00.1543PXY，0,10PXY，2323221,00.4543PXY，3221,10.2543PXY，2132,00.1543PXY，3212312,10.2543PXY(,)XY的概率分布为010.10.22XY.⑵(,)CovXYEXYEXEY，X的概率分布为0，EX，Y的概率分布为010.60.4，0.4EY，XY的概率分布为0，EXY，

(,)0.12CovXYEXYEXEY，X和Y不独立.例例5

设随机变量U按照[012]，上的平匀分布，令随机变量1,36,0,,UXelse1,24,0,,UYelse求：

⑴(,)XY的概率分布；⑵在0.5Y条件下，X的条件分布；⑶X与Y的相关系数.解

【二维离散随机变量的概率分布、条件分布、相关系数】

⑴X的概率分布为013/41/4，Y的概率分布为015/61/6(,)XY的概率分布为0102/31/1211/61/12XY，其中20,0(3,6),(2,4)3PXYPUU，10,1(3,6),(2,4)12PXYPUU，11,0(3,6),(2,4)6PXYPUU，11,1(3,6),(2,4)12PXYPUU

⑵0,02/3400.505/65PXYPXYPY，1,01/6110.505/65PXYPXYPY，故在0.5Y条件下，X的条件分布为014/51/5⑶X与Y的相关系数(,)XYCovXYDXDY，(,)CovXYEXYEXEY，14EX，16EY，XY的概率分布为0111/121/12，112EXY，1(,)24CovXYEXYEXEY.又22113()41616DXEXEX，22115()63636DYEYEY，故(,)115XYCovXYDXDY.

例例6

设二维随机变量),(YX的概率密度为),(yxf(),01,0,cxyyxelse⑴求常数c；

⑵求关于YX,的边缘分布密度并判断X和Y是否独立；⑶求(01)Xxx时Y的条件分布密度；

⑷求1PXY；⑸求112PXYX和112PXYX；⑹求ZXY的分布密度.解解

【二维连续随机变量的根本问题：确定常数、边缘密度、条件密度、概率计算、条件概率计算、分布函数】

⑴由密度的性质100(,)1()12xfxydxdydxcxydyc.⑵X的取值范围为[0,1]，当01x时，20()(,)2()3xXfxfxydyxydyx，所以关于X的边缘分布密度23,01,()0,.Xxxfxelse类似可得关于X的边缘分布密度2123,01,()0,.Yyyyfyelse由于(,)()()XYfxyfxfy，故X和Y不独立.⑶(01)Xxx时Y的条件分布密度22(),0,(,)()3()0,.YXXxyyxfxyfyxxfxelse⑷1120221(,)2()3yyxyPXYfxydxdydyxydx.⑸11,212(,)11,12112(,)2xyxxfxydxdyPXYXPXYXfxydxdyPX11201,111,(,)2()23yyxyPXYXfxydxdydyxydx问：如何求),(YX的联合分布函数(,)Fxy？

例例7

随机变量X和Y相互独立，且X按照[0,1]上的平匀分布，Y按照参数为1的指数分布.

⑴求2ZXY的概率密度函数；⑵求EZ，DZ；⑶求(,)CovYZ.解解【二维随机变量函数的概率分布、数字特征】

⑴X按照[0,1]上的平匀分布，密度为1,[0,1],()0,[0,1],XxfxxY按照参数为1的指数分布，密度为,0,()0,0.yYeyfyy随机变量X和Y相互独立，故),(YX的概率密度,01,0,(,)()()0,,yXYexyfxyfxfyelseX的取值范围为[0,1]，Y的取值范围为(0,)，2ZXY的取值范围为(0,).2ZXY的分布函数()ZFzPZz，当0z时，()0ZFz，当0z时，()2ZFzPZzPXYz2(,)yxyzDfxydxdyedxdy，其中D为积分域2xyz与密度(,)fxy的非零区域的交集.当02z时，222222000001()ee(1e)(e1)2zzzzxzxyyxzzZFzdxdydxdxz，当2z时，1211222000001()e(1e)1(e1)e2zxzxyyxzzZFzdxedydxdx.故Z的概率密度20,0,1()()(1),02,21(1),2.2zZZzzfzFzezeez⑵12EX，112DX，1EY，1DY，(2)22EZEXYEXEY，又X和Y相互独立，故443DZDXDY

⑶由X和Y相互独立知，(,)0CovXY，故(,)(,2)2(,)(,)01CovYZCovYXYCovYXCovYYDY.例例8假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都按照参数为的指数分布.⑴当三个元件都无故障时，电路正常工作，否那么电路不能正常工作.求电路正常工作时间T的概率分布.；

⑵当三个元件中有一个无故障时，电路正常工作，否那么电路不能正常工作.求电路正常工作时间T的概率分布解

设三个电子元件无故障工作时间分别为123,,XXX，那么它们相互独立，且都按照参数为的指数分布，分布函数为1e,0,()0,0.xxFxx⑴电路正常工作时间123min,,TXXX，其取值范围为(0,)，分布函数()TFtPTt，0t时，()0TFt，0t时，123()min,,TFtPTtPXXXt1231231min,,1,,PXXXtPXtXtXt3312311[1()]1tPXtPXtPXtFte，

故电路正常工作时间T的分布函数31e,0,()0,0.tTtFtt⑵电路正常工作时间123max,,TXXX，其取值范围为(0,)，分布函数()TFtPTt，0t时，()0TFt，0t时，123()max,,TFtPTtPXXXt

123PXtPXtPXt33()(1)tFte，

故电路正常工作时间T的分布函数33(1e),0,()0,0.tTtFtt

例例9

设)1(,,,21nXXXn为独立同分布的随机变量，且都按照2(0,)N，记niXXYXnXiinii,,1,,11，求⑴,1,,iDYin；⑵1Y与nY的协方差1(,)nCovYY；⑶若21()ncYY是2的无偏估计量，求常数c.解解

⑴2111()[(1)],1,,niiikkinDYDXXDXXinnnn.⑵1Y与nY的协方差11(,)(,)nnCovYYCovXXXX

11(,)(,)(,)(,)nnCovXXCovXXCovXXCovXX

2222111111110(,)(,)nnCovXXCovXXDXnnnnnn.

⑶2211111()()()[2(,)]nnnnnEcYYcEYYcDYYcDYDYCovYY

2222211224()nnnccnnnn，故24ncn.例例10

某车间有同型号机200台，每台机床开动的概率为0.7，假设各机床开动与否互不影响，开动时每台机床需消耗电能15kw.

⑴试用切比雪夫不等式估计用电量在1800~2250kw间的概率；⑵问至少供电多少才可以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产？（(1.645)0.95）

解解

【切比雪夫不等式、中心极限定理】

⑴机床开动的台数~(200,0.7)XB，140EX，42DX，18001522501201502014010PXPXPX42201401010.58100PX

⑵由中心极限定理知，X近似按照~(140,42)XN，设供电akw可以95％的概率保证不致因供电缺乏而影响生产,那么1401515()0.95(1.645)1542aaPXaPX140151.645226042aa（kw）.例例11

假设某种型号的螺钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克，⑴设每100个螺钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100克的概率；⑵若这样的螺钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重量超过5100克的概率.已知(2)0.9772，(2.59)0.995.【⑴0.02275；⑵0.995】

例例12

设总体X的分布函数0,0,,01,(),12,,2,xxFxaxabx，其中,,ab为常数，且1EX.⑴求,ab；⑵抽取的n个样本值1,,nxx中有k个1(1)kn，求的最大似然估计.解解

【参数估计】

⑴由题设知，总体X的概率分布为

X

0

1

2

P

2a

b

122()2EXabab，()1Fab，解得1,0ab.⑵似然函数()(12)knkL，ln()ln(12)()lnLknk，令2ln()012dknkLd，解得2nkn，故的最大似然估计2nkn.例例13

总体X的分布密度2(ln)21e,0,()20,0.xxfxxx1,,nXX是来自总体X的简朴随机样本.⑴求参数的最大似然估计量；【11lnniiXn】

⑵求的数学期望.【】

例例14

总体X~2(0,)N，1,,nXX是来自总体X的简朴随机样本.⑴求常数,ab，使得22aXbS按照2分布，并指出2分布的自由度；⑵证明：存在常数c，使得121()niiniicXXX按照t分布.

例例15

总体X~2(,)N，参数2,未知，6,6,7,8,8是来自总体X的简朴随机样本，⑴求参数的置信度为95%的置信区间；⑵针对原假设0H：

2与备择假设1H：

2，作显著性水平为5%的假设检验.已知标准正态分布的2.5%与5%的上側分位数分别为1.96与1.65；自由度为4的t分布的2.5%与5%的上側分位数分别为2.78与2.132；自由度为4的2分布的95%与90%的上側分位数分别为0.711与1.064.解解

由样本计算得7,1XS

⑴由22((1),(1))SSXtnXtnnn，其中0.0252(1)(4)2.78tnt，的置信度为0.95的置信区间是(5.76,8.24)

⑵检验0H：

2，备择假设1H：

2（相当于检验0H：

2，备择假设1H：

2）

统计量222222(1)422nSSS，

拒绝域220.95(4)0.711.由样本得，2210.711S，采纳0H

附录

近三年真题07解答题1.（07-1-3-4）设二维随机变量(,)XY的概率密度为2,01,01,(,)0,.xyxyfxy其它⑴求2PXY；【724】

⑵求ZXY的概率密度()zfz.【222,01,()(2),12,0,.zzzzfzzzelse】

2.（07-1-3）设总体X的概率密度为1,0,21(,),1,2(1)0,xfxx其他，1,,nXX是来自总体X的简朴随机样本.⑴求参数的矩估计量；【122X】

⑵判断24X是否为2的无偏估计量，并说明理由.【不是，2241(4)4EXDXn】

3.（07-4）设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为213PX，123PX，max(,)UXY，min(,)VXY.⑴求(,)UV的联合概率分布；⑵求U与V的协方差(,)CovUV.【⑴1214/9024/91/9UV；⑵4(,)81CovUV】

08解答题1.（08-1-3-4）设随机变量X和Y相互