计算机数学基础(2)期末复习指导

计算机数学基础(2)期末复习指导计算机数学基础(2)期末复习指导计算机数学基础(2)期末复习指导计算机数学基础(2)期末复习指导编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:计算机数学基础（2）期末复习指导Ⅰ、计算机数学基础(2)考核说明数值分析部分1．《计算机数学基础》是开放教育本科计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具。通过本课程数值分析部分内容的学习，使学生掌握数值分析的基本概念和基本方法，进一步提高使用计算机进行科学和工程计算的能力。课程的结业考核，考核合格水准应达到高等学校该专业本科教育的要求。本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(下册)一数值分析与组合数学}(中央广播电视大学出版社出版)为依据制定的。2．考核对象开放教育试点计算机科学与技术专业(试卷代号：4012)学生。3．考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解。了解和知道：有关方法、公式和法则等的要求从高到低为熟练掌握，掌握和会。4．本课程的结业考核实行形成性考核和期末结业性考试。形成性考核占结业考核成绩的20％，即形成性考核的成绩满分为20分；期末结业性考试成绩占结业考核成绩的80％，即期末考核成绩满分80分。结业考核成绩满分100分，60分为合格。5．试题题型一、单项选择题（15分左右）、二、填空题（15分左右）、三、计算题(每小题15分，共60分)、四、证明题(本题10分)。Ⅱ、考核内容与考核要求第9章数值分析中的误差考核知识点1．误差的来源与基本概念2．数值计算中的若干准则考核要求1．了解误差分析的基本意义及其重要性。2．知道产生误差的主要来源。3．了解误差的基本概念：绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数学等。4．了解数值计算中应注意的几条原则。第10章线性方程组的数值解法考核知识点1．高斯消去法2．迭代法考核要求1．了解线性方程组高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2．掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯——赛德尔迭代法。3．知道线性方程组迭代解的收敛概念和上述两种迭代法的收敛性。第11章函数插值与最小二乘拟合考核知识点1．函数插值概念2．拉格朗日插值多项式3．牛顿插值多项式4．分段插值(分段线性插值、三次样条插值)5．最小二乘拟合考核要求1．理解插值概念。2．熟练掌握拉格朗日插值公式，知道拉格朗日插值余项公式。3．掌握牛顿插值公式．了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值的余项。4．掌握分段线性插值的方法。5．知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数。6．了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线性拟合和二次多项式拟合的方法。第12章数值积分与微分考核知识点1．数值积分与代数精度2．等距节点的求积公式3．高斯求积公式4．数值微分考核要求1．理解数值积分的基本思想和代数精度的概念。2．了解牛顿一科茨求积公式和科茨系数的性质。熟练掌握复化梯形求积公式和复化抛物线求积公式。3．知谴陆6，拆求积公式和高斯点的概念。会用高斯—教，lLg蘸求跟妊蛀式。4．知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。第13章方程求根考核知识点1．二分法2．迭代法3．牛顿法4．弦截法考核要求1．掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握迭代法，知道其收敛性。2．熟练掌握牛顿法。3．掌握弦截法。第14章常微分方程的数值解法考核知识点1．欧拉法2．龙格一库塔法考核要求1．掌握求一阶常微分方程初值问题的欧拉法和改进的欧拉法，知道其局部截断误差。2．知道求一阶常微分方程初值问题的龙格库塔法的基本思想。掌握龙格一库塔法。知道龙格库塔法的局部截断误差。Ⅲ、计算机数学基础（2）综合练习题 一、单项选择题 1．数a*=0.…的有四位有效数字的近似值是() (A)(B)(C)(D) 2.等距二点的求导公式是（）． (A) (B) (C) (D) 3．设线性方程组X＝BX＋f，n阶矩阵B的特征根为，对任意初始向量X(0)及f，对应此方程组的迭代格式 X(k+1)＝BX(k)＋f,k=1,2,…都收敛的充分必要条件是() 4若误差限为×10－5，那么近似数有()位有效数字. (A)2(B)3(C)4(D)6 5.当线性方程组AX＝b的系数矩阵A是()时，用列主元消去法解AX＝b，A的主对角线的元素一定是主元. (A)上三角形矩阵 (B)主对角线元素不为0的矩阵 (C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵 6．解常微分方程初值问题的欧拉法的局部截断误差是() (A)O(h5) (B)O(h4) (C)O(h3) (D)O(h2) 7．已知函数y=f(x)在5个互异节点处的函数值，其一阶、二阶均差均不为0，三阶均差是1，那么用这5对数值作的插值多项式P(x)是() (A)五次多项式 (B)四次多项式 (C)三次多项式(D)二次多项式 4．已知当x=1,2时的函数值f(1),f(2)，则f(1)() 8下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件为() (A)P(xk)=yk,(k=0,1,…,n)(B)P(x)在[a,b]上连续(C)P(x)在各子区间上是线性函数(D)P(x)在各节点处可导 9.有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是()次的. (A)5 (B)6 (C)7 (D)3 10.解微分方程初值问题的方法，()的局部截断误差为O(h3).(A)欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D)四阶龙格－库塔法 11．以下误差限公式不正确的是()． (A)(B)(C)(D) 12．步长为h的等距节点的插值型求积公式，当n=2时的牛顿－科茨求积公式为()． (A)(B)(C)〕(D)13．已知等距节点的插值型求积公式，那么＝()．(A)1(B)2(C)3(D)4 14.下列各数中，绝对误差限为05的有效近似数是() (A)－.(B)(C)－(D) 15.设n阶矩阵A＝(aij)n，若满足()，称A为严格对角占优矩阵. 16.等距二点求导公式（） 17.求方程f(x)=0在[0,1]内的近似根，用二分法计算到x10=达到精度要求.那么所取误差限是() (A) (B) (C)5 (D)0518．用二分法求方程f(x)=0在区间[a,b]上的根，若给定误差限，则计算二分次数的公式是n()． (A)(B)(C)(D) 19．若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是()． （A）（B）（C）（D） 20.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝…an×10s(a10)的绝对误差x*－x（）． (A)×10s－1－t(B)×10s－t(C)×10s＋1－t(D)×10s＋t 21.满足f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0及一阶导数条件的三次样条函数为() (A) (B) (C) (D)22.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为（）． (A)， (B)(C)(D)23.过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=（）． (A)(B)(C)(D)24.解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp,yc分别为（）．(A) (B)(C) (D)二、填空题 1．用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为 2．用梯形求积公式计算积分 3．已知当n=4时，科茨系数为，等分区间[a,b],分点为a=x0<x1<x2<x3<x4=b,那么科茨求积公式是 4.高斯－勒让德求积公式只限于讨论积分区间为的数值积分问题. 5.设近似值x1,x2满足(x1)=，(x2)=，那么(x1x2)=． 6.三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是． 7.牛顿－科茨求积公式，则＝． 8．数x*=…的六位有效数字的近似数的绝对误差限是． 9．已知函数y=f(x)在点x1＝2和x2=5处的函数值分别为12和18，已知f(5)2，则f(2)． 10.数的5位有效数字的近似值是. 11.用列主元消去法解线性方程组 一次消元后，原方程组化为 12.已知y=f(x)的定义域内的三个点x1=1,x2=2,x3=4，和均差f(x1,x2)=3,f(x2,x3)=6，那么f(x1,x2,x3)=. 13.设初值问题把区间[0,1]10等分，用欧拉法解该初值问题的公式为. 14．过n对不同数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)的拟合直线y=a1x+a0,那么a1,a0满足的法方程组是．15．已知函数f(x)的函数值f(0),f(2),f(3),f(5),f(6)，以及均差如下 f(0)=0，f(0,2)=4，f(0,2,3)=5，f(0,2,3,5)=1，f(0,2,3,5,6)=0那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是． 16.已知函数f=,f=,f=，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2的系数是. 17.已知x*1=x1×10－3，x*2=x2×10－2，那么近似值x1，x2之差的误差限是 18.用列主元消去法解线性方程组AX＝b时，在第k－1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元，使得.19.牛顿－科茨求积公式中的科茨系数满足的两条性质是.10.用牛顿法求方程f(x)=0在[a,b]内的根，已知f(x)在[a,b]内不为0，f(x)在[a,b]内不变号，那么选择初始值x0满足，则它的迭代解数列一定收敛到方程f(x)=0的根.20．解初值问题的龙格－库塔法就是求出公式，k=0,1,2,…,n－1中的平均斜率,其中h,xk分别是n等分[a,b]的步长和节点．若用xk点处的斜率近似平均斜率，得到初值问题的数值解的近似公式 ． 21．近似值的相对误差限不大于，则它至少有三位有效数字。 22．用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组 的迭代格式中＝(k=0,1,2,…)23.解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：，校正值：yk+1=．24.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．三、计算题 1.用简单迭代法求线性方程组 的X(3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数． 2.已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)． 3．设函数值表为1346-75814试求拉格朗日插值多项式(要求合并同类项，整理成一个多项式)。 4.已知一组试验数据23454689试用直线拟合这组数据.(计算过程保留3位小数) 5．用雅可比迭代法解线性方程组 从初始值(0,0,0)T开始，计算出第3次迭代结果，并要求写出迭代公式，计算过程中保留4位小数。 6．用迭代法求方程2x－lgx=7的近似根，所求近似根满足，计算过程中保留3位小数。 7．用改进的欧拉法平均形式公式，取步长h=，求解初值问题计算过程中保留4位小数。 8.将区间[1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分 的近似值，计算过程中保留3位小数. 9.用四阶龙格－库塔法求解初值问题 取h=,求x=,时的数值解.要求写出由h,xk,yk直接计算yk+1的迭代公式.计算过程保留3位小数.已知四阶龙格－库塔法斜率值公式为 1=f(xk,yk)2=f(xk+h，yk+1)3=f(xk+h，yk+2) 4=f(xk+h，yk+h3) 10.用弦截法求方程x－sinx－=0在[，]之间的一个近似根，满足，计算过程保留4位小数. 11．用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组，已知X0=(0,0,0,0)T，求X1．计算过程中保留4位有效数字．要求写出迭代格式． 12．用欧拉法解初值问题在〔0，〕上的数值解，取h=．计算过程保留5位小数．(要求写出迭代公式) 13．已知数值表试用二次插值计算f的近似值，计算过程保留五