第五章特征值与特征向量-第5章相似矩阵

第五章相似矩§1特征值与特征向1：A为n阶方阵，如果存在数和n0XAX则称A的特征值（也称为特征根XA的属于特征值的特征 0

1

0例如矩阵A 0，取X1=0 ，X2=1，则

AX1=1X1 (2)AX2=0X21，0AX1,X210的特征(2)式又可以写成(EAX即特征向量是齐次线性方程组（2）|EA|A的特征方程，求解方程（3）A的特征值。|EA|A的特征多项式。对求出的特征值0，代入方程组（2）求解即得属于0的特征向量1：已知方阵A

A2EA1或1证明：设AX，使得AXX两边左乘以A，有A2

A(AAX2X

A2

，所以(21X0X0，从而21，即1 0 例2：求矩阵A 0的特征值与特征向 2 解：

|EA

4

2)(1)2 A的特征值2或1当2

0 0 0 0

00 0 故属于2的特征向量为k1(k10)

11当1 0 1

2，22 2 0 1 故属于1的特征向量为k22(k20§2相似矩定义2：若nABP

P1APBAB相似，记为A~BAABBAABB与CA与CAB相似，则|EA||EB|4|EB||P1EP|P1||EA||P||EA|

P1APB如果方阵A相似与对角形矩阵，则称A可以对角化。并非每个方阵均可以 角化，例如矩阵A 1，对任何2阶可逆矩阵P，P A。。 记P ,Xn)，由（4）式可 ,

n)( ,Xn ) )即从而AXii

AXn)AXn) ,nXn)n)

nXn由定义知iAPXiX1XXn性无关。所以它是属于i的特征向量。以上过程可逆，故存在下面定理1nAA有n个线性无关的特征n个线性无关的定理2：方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关证明：设X1, ,Xs是分别属于不同特征值1, ,s的特征向量，当s1时，lkXklkXklk1Xk1则当sk1式乘以k1，

l1X1klkXkklkXkk1lk1Xk1（7）

lk(k1k)Xk0由归纳假设， ,Xs线性无关。从

li(k1i)0(i1,k)由于k1k)

li0(i1 k)，代入（5）

lk10即 ,Xk1线性无关，故sk1命题成立。从而定理得证1nA有nA实际计算中，先求出nA的全部特征值，再找出属于每个特征值的特量组仍然线性无关。若这个“大”向量组中向量个数等于nA若向量个数小于nA不能对角化。 1

01）A 0 2）A 1 3

1 解：1）|EA 4

1122（二重根当11

1 0 0，0 0

1 当22 0

14 231 230

1 4 4 1

所以A相似于对角形。取P(,,)，则有P1AP 2 |EA

1（三重根

当1时 0 1

1

0 1 0

0

1 0 A

00

001 24：

X1是矩阵A 3的一个特征向量

求a,bX对应的特征值A解：1）XA的属于特征值 21 1 311 2 (2)12

从而5a31b(2)

解得1a3,b0 2

A 3，|EA 所以特征值1（三重根 2

1 A不§3向量的内R2R3中的度量性质推广到nRn上。一、内积定Rn的子空间V

xx xyy yn yn xnyn（取列向量时为）为向量的内积，记为(。定义了内积的实线性空间V易知，这里的内积是几何空间R2R3中向量数量积的一个推广，容易验欧氏空间V1）(,)(,)；2）(k,)k(,)（kR(,)(,)(,)V,(,0，等号当且仅当03：欧式空间V中的任意n维向量，有()2,)(（柯证明：取

4，则有(5)(,)(5)若0若0（5式化简为(,2()t)t20。左边是一个关于(6)的实二次多项式，它非负的充分必要条件是：[2()]24,)(0(6)

(,)2(,)(,对于欧氏空间Rn（6）式具体写出来其结果是历史上一个著名的不等式xy)2xy)2(x2n1x2)(y2 y2n定义3：设V，称| (,)为向量的长度（也称为向量的模或长。当||1为单位向量。当0时，||0称之为非零向量的单位化。

(,(,|||cos( 4：

（V，称(为向量与|||夹角。当(0时，称与正交。特殊地，0二、标准正交1：正交向量组一定线性无关。证明设 ,s是正交组设有k11 kss0两边与i作内积 ks(s,i0，从而ki(i,i0。因(i,i0ki0(i1, ,s)。即 ,s线性无关5：如果V中的一个正交组构成V的一个基，则称该基为正交基，正交 R3中，1,0,0，0,1,0， 4：欧式空间V,r是证明：设,r是

记11，取22k1，则12与1,2等价。若要求(120，0,k(

k(21) ,r为此时1,,r为

(1,1类似地，取33l11l22，若要求(3132)00l(，从而

(3,i

i i,r为此时12,r为

(i,i按此方法递推做下去，设已作出正交组1, ,s与 ,s等价，ss1s1k11 kss，若要求(s1,i)0（i1, ,s。则s0

,)

k(

(i,s1

(i,ii如此进行下去可构造出V的一个正交基 ,r，再将每个i单位化即iV定理中构造正交基的方法称为正交化5：x1x2x30的基础解系，并求解空间的一个标解：方程组的一个基础解系为

11

0，,

00

1 1 1 1/2记

0111/2

2 1 0 则12

1216 1216

1

|1

12 12 2 ， 2

16 16 26 26

1,2为解空间的标准正交基0 三、正交矩nAAAEA为正交矩阵EA

sincos AA1AAAA设

是正交矩阵，则

Q

2Rn的任一标准正交基按行（列）的形式可构成正交矩阵。证明：由正交矩阵的定义及标准正交基的定义可直接验证。读者自己练习§4实对称矩阵的对角XXAA个元素取其共轭复数所构成的矩阵，容易验证AXAX。2：A的特征值为实数。证明：AAA,AA设AX0，使得AXXAXX考虑XAX

X

X

(XX)；

X

X

(AX

(X

XX所以XXXX又X0XX0，从而

。即3：设AX,Y是分别属于X与Y证明：由假设

X，AYY（考虑YAXYX(YX)；YAXYAXAY)XY)XYX(YX从而()(YX0(YX0。即X与Y正交定理6：任一实对称矩阵A一定存在正交矩阵Q，使 Q1

AQ n这里 ,n是A的特征值证明n1设n1时命题成立。即对(n1A1有(n1正交矩阵Q2得 Q Q 1 n下面证明在n由性质1，实对称矩阵A一定存在实的特征值1，取X1是属于1的单位征向量，将X扩充成Rn的标准正交基X,X ,X，

Q(X ,Xn)则ETQQT(X ,X)(QTX ,Q,Xn)

,AX)(,AX)(QXTTn1 ,QAX 1QTQT(AX

*A。A A对称，可得QAQ

10AA仍为(n1A0 0

1 阵。由归纳假设存在正交矩阵Q2

0

n 1 Q，则Q正交，且QAQ 2

n正交化得到正交向量组。合并这些单位化了的正交向量组可构成Rn的准正交基，把标准正交基按列的形式构成的正交矩阵记为Q，则 QAQ n 06

A 1P

P1AP为对角形 解：|EA 0

(4)2(2)

24（二重根当2 12 0 0 0 12 1 1，1。单位化得

0

1 12 12 当4 0

0

1 1 0

1

0。它为正交向量组

1 0

1

0 单位化得

1001212 1212 P123P P1AP 4 7X11,1,0AX2x1x2x3X1X2x1x20。该齐次线性方程组对应 121 120 0

0011 0 取P 0，则P1AP 1

2

P1 习题

3

1

01） ；2） 3；3） 0；4）

0 4

6 0 AA23A2E0A设A2A2的特征值i（i为正整数）是Ai的特征值f(是f(fA如果A可逆，则1A1的特征值X1X2AX1X2A的AABBAABCD相似。证明

与

C D 2计算Ak，其中A 4 3

1

0求x，y的值使得矩阵A与B相似其中A 0 1 2 实称矩阵的特征值为0或纯虚数11 1

1 3 1）A ，2）A 1 2333 333

A,BA1A为正交矩阵

B ),(

求正交矩阵Q，使得Q1AQ为对角形111）A11

；2）A

4 11

5 设3A的特征值为1，2，3；对应的特征向量为10,1,0)21,1,0)，30,0,1)A3A63（二重根631,1,1)A及|A33E|3