条件概率与随机变量的独立性

§3.2条件概率与随机变量的独立性一、条件分布的概念

在章中，曾介绍了条件概率的概念，那是对随机事件而说的。本节要从事件的条件概率引入随机变量的条件概率分布的概念。

引例考虑某大学的全体学生，从中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布。现在若限制1.7<Y<1.8(米)，在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布。条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第1页!

设X是一个随机变量，其分布函数为若另有一事件A已经发生，并且A的发生可能会对事件{X≤x},则对任一给定的实数x，记并称为在事件A发生的条件下，X的条件分布函数。条件分布函数

例1设X在区间[0，1]上服从上的均匀分布,求在已知X>1/2的条件下的条件分布函数。解因为X在[0,1]上服从均匀分布，其分布函数为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第2页!由于X在[0,1]上服从均匀分布，故当时，当时，由条件分布函数的定义，有从而条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第3页!

定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立,即,对任意实数集A,B,有

定理2如果随机变量X与Y相互独立,则对任意函数，，均有和相互独立。证令对任意x，y，记则由定理1，有从而，由定义知和相互独立。关于两个随机变量的独立性的概念可以推广到n个随机变量的情形条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第4页!定义2若对(X，Y)的据有可能取值(xi，yj)，有即则称X和Y相互独立。例2设X和Y的联合分布律为

-1020.10.200.30.050.10.1500.1012(1)求Y=0时，X的条件概率分布；(2)判断X与是否相互独立？解(1)在Y=0时，X的条件概率分布为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第5页!(2)因为所以X与Y不相互独立。而，可见即Y-102P{Y=yi|X=0}1/32/30条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第6页!又设则由独立性，有解得或于是条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第7页!关于定义内涵的解释：以为例也就是说，对很小的dx和dy，fX|Y(x|y)表示已知Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率。运用条件概率密度，可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率。即若(X，Y)是连续型随机变量，则对任一集合A，特别地，取A=(-∞，+∞)，定义在已知Y=y的条件下X的条件分布函数为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第8页!解当x>0时，所以同样，有当x>0时，条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第9页!由X，Y独立性知先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率为，甲先到的概率为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第10页!例6设(1)求和(2)证明X与Y相互独立的充要条件是解条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第11页!例7设随机变量(X，Y)的概率密度为(2)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度。(1)求X与Y的边缘概率密度，并判断X与Y相互独立。解(1)由当x≤0时，当x>0时，所以类似得条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第12页!本节我们重点讨论两种特殊的函数(1)Z=X+Y(2)Z=max(X,Y)和Z=min(X,Y)，其中X和Y相互独立。

注：应该指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算繁杂程度提高，并没有本质性的差异。一、离散型随机向量的函数分布设(X，Y)是二维随机向量，g(x,y)是二元函数，则g(X,Y)作为(X，Y)的函数是一个随机变量。如果(X，Y)的概率分布为：设Z=g(X,Y)的据有可能取值为zk,k=1,2,…,则Z的概率分布为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第13页!例1设随机向量(X，Y)的概率分布如下表-10120.20.150.10.30.100.10.05-12求随机向量(X，Y)的函数Z的分布。(1)Z=X+Y(2)Z=XY解由(X，Y)的概率分布可得0.20.150.10.30.100.10.05

(-1，-1)(-1，0)(-1,1)(-1,2)(2，-1)(2,0)(2,1)(2,2)

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例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为，的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布

解依题意由离散型卷积公式即Z=X+Y服从参数为的泊松分布

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例3设随机变量X与Y相互独立,且同服从[0，1]上的均匀分布,试求的分布函数与密度函数.解依题意，先如右的草图，先求FZ(z)当z≤0时，因为|X-Y|≥0，所以当0<z<1时，因为X与Y相互独立,且同服从[0，1]上的均匀分布，所以由均匀分布概率计算公式知条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第16页!1.Z=X+Y设(X，Y)是二维随机向量，其概率密度为f(x，y)，求Z=X+Y的概率密度fZ(z)。设Z的分布函数FZ(z)，则这里积分区域是直线左下方的半平面，即化成累次积分，得条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第17页!当X和Y相互独立时，设(X，Y)关于X，Y的边缘密度分别为fX(x)，fY(y)，则两个随机变量之和的概率密度一般公式化为：上述两个公式称为卷积公式。

例4设X和Y相互独立，均服从标准正态分布N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。解因为又X和Y相互独立条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第18页!

定理1设X，Y相互独立，且，则Z=X+Y仍然服从正态分布，且

例5设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度函数为如果各周需求量相互独立，求两周需求量的概率密度。解分别用X，Y表示、二周的需求量，则条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第19页!综合得条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第20页!

关于M=max{X，Y}和N=min{X，Y}分布的结论可以推广到n个相互独立的随机变量的情形：

设X1，X2，…，Xn是n个相互独立的随机变量，其分布函数分别为：(),则的分布函数为的分布函数为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第21页!所以方法二条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第22页!二、随机变量的独立性设A是随机变量Y所生成的事件:A={Y≤y}，且则有一般地,由于随机变量X，Y之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性。在何种情况下,随机变量X，Y之间没有上述影响,而具有所谓的“独立性”,我们引入如下定义。

定义1设随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y),边缘分布函数为FX(x)，FY(y),若对任意实数x，y,有即则称随机变量X和Y相互独立。注：若随机变量X和Y相互独立，则联合分布由边缘分布惟一确定。条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第23页!三、离散型随机变量的条件分布与独立性设(X，Y)是二维离散型随机变量，其概率分布为由条件概率公式，当时，有称其为在的条件下随机变量X的条件概率分布。类似地，定义在的条件下随机变量Y的条件概率函数：条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质。条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第24页!

-1020.10.200.30.050.10.1500.1012即X012P{X=xi|Y=0}0.80.20同理故X=0时，Y的条件概率分布为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第25页!

例3设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.解由于又因为X与Y相互独立，有条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第26页!四、连续型随机变量的条件密度与独立性设(X，Y)是二维离散型随机变量，由于对任意的x，y所以不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数”。

定义3设二维离散型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，边缘密度为fX(x)，fY(y)，则对一切使fX(x)>0的x，定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为

类似地，对一切使fY(y)>0的y，定义在Y=y的条件下X的条件概率密度为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第27页!二维连续型随机变量的独立性

定义4设(X，Y)为二维连续型随机变量，f(x，y)为其联合概率密度，fX(x)，fY(y)分别为X与Y的边缘密度，若任意的x，y，有几乎处处成立，则称X，Y相互独立。

注：“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立。例4

设(X，Y)的概率密度为问X和Y是否独立？条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第28页!而对一切x，y均有故X与Y相互独立。

例5甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少?

解设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,即有

条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第29页!条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第30页!故在Y=y的条件下，X服从正态分布：对称地，在X=x的条件下，Y服从正态分布：比较与和的密度函数：f(x,y)，fX(x)，fY(y)可知，当且仅当时，即，当且仅当时，X与Y相互独立。条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第31页!(2)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度。由(1)知，当y>0时，fY(y)>0的条件下，所以在Y=y的条件下，X的条件概率密度为§3.3二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数。例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式现希望通过(X，Y)的分布来确定Z的分布。此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第32页!例如，若X，Y相互独立，且则Z=X+Y的概率分布为即这个公式称为离散型卷积公式条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第33页!0.20.150.10.30.100.10.05

(-1，-1)(-1，0)(-1,1)(-1,2)(2，-1)(2,0)(2,1)(2,2)

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与一元离散型随机变量函数的分布的求法相同，把Z值相同项对应的概率值合并得0.20.150.10.400.10.05

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-2-101240.40.10.150.20.10.05

(1)Z=X+Y的概率分布为(2)Z=XY的概率分布为条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第34页!二、连续型随机向量的函数分布

设(X，Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x，y)，令g(x，y)为一个二元函数，则g(X，Y)j(X，Y)的函数。求Z=g(X，Y)分布的一般方法：(1)求分布函数FZ(z)，其中DZ={(x，y)|g(x，y)≤z}(2)求其概率密度fZ(z)，对几乎据有的z，有在求随机向量(X，Y)的函数g(X，Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X，Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知(X，Y)的分布求出Z=g(X，Y)的分布。条件概率与随机变量的独立性共42页，您现在浏览的是第35页!即

当z≥1时，因为|X-Y|≤z成为必然事件，所以综合得对