北师大版《三角形的中位线》优质课件1

6.3三角形的中位线6.3三角形的中位线1ABCDEF老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？ABCDEF老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三2连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线因为D、E分别为AB、AC的中点三角形的中位线和三角形的中线不同同理DF、EF也为△ABC的中位线EDFACB所以DE为△ABC的中位线

注意连结三角形两边中点的线段三角形有三条中位线因为D、E分别为A3

怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?观察猜想!小组合作怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼4沿中位线剪开,再旋转.沿中位线剪开,再旋转.5沿中位线剪开,再旋转.沿中位线剪开,再旋转.6

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。7∴四边形ADEF是平行四边形．如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．证明：如图转接BN,CM证明：如图，延长DE到F，⊥AB,BC=2，∴DC=EF=(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.∴DE∥BC且DE=BC议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使延长DE到F，使EF=DE．∵AD＝DB，BE＝EC，如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF．ABCDEF

已知：如图所示，DE是△ABC的中位线求证：DE∥BC，且DE=BC。

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=EF∴△ADE≌△CFE证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.∴∠A=∠ECF、AD=CF∴CF∥AB又∵BD=AD∴CF=BD∴四边形DBCF是平行四边形∴DE∥BC且DE=BC∴DF∥BCDF=BC∴四边形ADEF是平行四边形．ABCDEF已知8证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．F∴四边形BCFD是平行四边形．证法2：∴CFAD．∴CFBD．∴DE∥BC，．证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC9三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．DE△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE=BC．三角形中位线定理：符号语言：三角形的中位线平行于三角形的DE△ABC中，若D、E分别是边10议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、11A

B

C

D

E

F

H

G

ABCDEFHG

122.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？分别画出AC、BC中点M、N，量出M、N两点间距离，则AB=2MN.

NM根据是三角形中位线定理．随堂练习2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点分别画出AC13例1．(10分)如图，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC交BD于点O，连接OF，试说明AB＝2OF.例1．(10分)如图，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的14例2.已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，∠NPM=120°，求∠MNP的度数.例2.已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC15例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明 连结DE、EF．∵

AD＝DB，BE＝EC，∴

DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB．∴四边形ADEF是平行四边形．∴

AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．

例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知:16ABCDEF证：∵点E,F分别为BC,AC的中点∴EF∥AB,EF=1/2AB∴∠DAC=∠EFC=90°∵AD=1/2AB，∴AD=EF,∵AF=CF,∴△ADF≌△FEC(SAS)∴DF=EC∵BE=EC,∴DF=BE例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由ABCDEF证：∵点E,F分别为BC,AC的中点例4：在17课后作业课后作业18第三边且等于第三边的一半．∵AD＝DB，BE＝EC，三角形的中位线和三角形的中线不同∵AE=CE、∠AED=∠CEF、如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2,连结三角形两边中点的线段如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,∵AF=CF,连结三角形两边中点的线段求证:EF与MN互相平分.证明：如图，延长DE到F，又∵BD=AD∴CF=BD∵点E,F分别为BC,AC的中点证明 连结DE、EF．证明：如图，延长DE到F，根据是三角形中位线定理．证明：如图转接BN,CM已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．1.如图,E是▱ABCD的边DC的延长线上一点，且CE=DC,AE交BC于点F,AC交BD于点O,连接OF求证:AB=20F第三边且等于第三边的一半．1.如图,E是▱ABCD的192.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.求证:EF与MN互相平分.2.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F203.如图6-3-20，BM，CN分别平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.求证：MN=（AB+BC+AC）.3.如图6-3-20，BM，CN分别平分△ABC的外角∠214.如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF．证明：如图转接BN,CM4.如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB22备用习题备用习题231.1.242.2.253.3.264.如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使解:(1)∵D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC,∵CF=BC,所以DEFC,即DE=CF4.如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,27∴四边形DBCF是平行四边形∵AF=CF,使EF=DE，连接CF.∵AE=EC，DE=EF，证明：如图转接BN,CM如图6-3-20，BM，CN分别平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.所以DEFC,即DE=CF已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，∠NPM=120°，求∠MNP的度数.例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由证明：如图，延长DE到F，∴四边形ADCF是平行四边形．∴AD=BD=l,CD.∴△ADE≌△CFE∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2,∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．∴四边形BCFD是平行四边形．如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使沿中位线剪开,再旋转.(2)∵DEFC,∴四边形DEFC是平行四形,∴DC=EF.∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2,∴AD=BD=l,CD.⊥AB,BC=2，∴DC=EF=4.如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使∴四边形DBCF是平行四边形(2)∵DEFC,4.285.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.;5.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,295.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.;5.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC306.6.317.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,F为AC边上一点,AF=AC,BF交AD于点E,且E为AD的中点,EF=5cm,求BF的长.7.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,F为AC边上一32求证：AE、DF互相平分．如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,AC=16.他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。连结三角形两边中点的线段使EF=DE，连接CF.所以DE为△ABC的中位线∴四边形ADCF是平行四边形．如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.∴四边形DBCF是平行四边形三角形的中位线和三角形的中线不同例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,∴∠A=∠ECF、AD=CF证明：如图，延长DE到F，例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．所以DEFC,即DE=CF怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF．求证：AE、DF互相平分．336.3三角形的中位线6.3三角形的中位线34ABCDEF老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？ABCDEF老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三35连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形有三条中位线因为D、E分别为AB、AC的中点三角形的中位线和三角形的中线不同同理DF、EF也为△ABC的中位线EDFACB所以DE为△ABC的中位线

注意连结三角形两边中点的线段三角形有三条中位线因为D、E分别为A36

怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?观察猜想!小组合作怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼37沿中位线剪开,再旋转.沿中位线剪开,再旋转.38沿中位线剪开,再旋转.沿中位线剪开,再旋转.39

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。40∴四边形ADEF是平行四边形．如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．证明：如图转接BN,CM证明：如图，延长DE到F，⊥AB,BC=2，∴DC=EF=(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.∴DE∥BC且DE=BC议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使延长DE到F，使EF=DE．∵AD＝DB，BE＝EC，如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF．ABCDEF

已知：如图所示，DE是△ABC的中位线求证：DE∥BC，且DE=BC。

∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=EF∴△ADE≌△CFE证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.∴∠A=∠ECF、AD=CF∴CF∥AB又∵BD=AD∴CF=BD∴四边形DBCF是平行四边形∴DE∥BC且DE=BC∴DF∥BCDF=BC∴四边形ADEF是平行四边形．ABCDEF已知41证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．F∴四边形BCFD是平行四边形．证法2：∴CFAD．∴CFBD．∴DE∥BC，．证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF、CF、DC42三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．DE△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE=BC．三角形中位线定理：符号语言：三角形的中位线平行于三角形的DE△ABC中，若D、E分别是边43议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．四边形问题连接对角线三角形问题（三角形中位线定理）议一议:如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、44A

B

C

D

E

F

H

G

ABCDEFHG

452.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？根据是什么？分别画出AC、BC中点M、N，量出M、N两点间距离，则AB=2MN.

NM根据是三角形中位线定理．随堂练习2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点分别画出AC46例1．(10分)如图，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC交BD于点O，连接OF，试说明AB＝2OF.例1．(10分)如图，已知E为▱ABCD中DC边的延长线上的47例2.已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，∠NPM=120°，求∠MNP的度数.例2.已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC48例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．求证：AE、DF互相平分．证明 连结DE、EF．∵

AD＝DB，BE＝EC，∴

DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB．∴四边形ADEF是平行四边形．∴

AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．

例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知:49ABCDEF证：∵点E,F分别为BC,AC的中点∴EF∥AB,EF=1/2AB∴∠DAC=∠EFC=90°∵AD=1/2AB，∴AD=EF,∵AF=CF,∴△ADF≌△FEC(SAS)∴DF=EC∵BE=EC,∴DF=BE例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由ABCDEF证：∵点E,F分别为BC,AC的中点例4：在50课后作业课后作业51第三边且等于第三边的一半．∵AD＝DB，BE＝EC，三角形的中位线和三角形的中线不同∵AE=CE、∠AED=∠CEF、如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使怎样将一张三角形硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2,连结三角形两边中点的线段如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,∵AF=CF,连结三角形两边中点的线段求证:EF与MN互相平分.证明：如图，延长DE到F，又∵BD=AD∴CF=BD∵点E,F分别为BC,AC的中点证明 连结DE、EF．证明：如图，延长DE到F，根据是三角形中位线定理．证明：如图转接BN,CM已知:如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．1.如图,E是▱ABCD的边DC的延长线上一点，且CE=DC,AE交BC于点F,AC交BD于点O,连接OF求证:AB=20F第三边且等于第三边的一半．1.如图,E是▱ABCD的522.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F分别是AD,BC的中点，M,N分别是BD,AC的中点.求证:EF与MN互相平分.2.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线,E,F533.如图6-3-20，BM，CN分别平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.求证：MN=（AB+BC+AC）.3.如图6-3-20，BM，CN分别平分△ABC的外角∠544.如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连接DE，FE，求证：DE=EF．证明：如图转接BN,CM4.如图6-3-21，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB55备用习题备用习题561.1.572.2.583.3.594.如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使解:(1)∵D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC,∵CF=BC,所以DEFC,即DE=CF4.如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,60∴四边形DBCF是平行四边形∵AF=CF,使EF=DE，连接CF.∵AE=EC，DE=EF，证明：如图转接BN,CM如图6-3-20，BM，CN分别平分△ABC的外角∠ABD，∠ACE，过点A分别作BM，CN的垂线，垂足分别为点M，N，交CB，BC的延长线于点D，E，连接MN.所以DEFC,即DE=CF已知，如图6-3-10，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是DC的中点，M是AB的中点，∠NPM=120°，求∠MNP的度数.例4：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理由证明：如图，延长DE到F，∴四边形ADCF是平行四边形．∴AD=BD=l,CD.∴△ADE≌△CFE∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2,∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．(1)求证:BN=DN(2)求MN的长.例3 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．∴四边形BCFD是平行四边形．如图,等边△ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使沿中