二重积分的变量变换公式_第1页
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文档简介

关于二重积分的变量变换公式第一页，共十四页，2022年，8月28日首页×证

根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的

直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy

面上得到一个四边形,其对应顶点为则第二页，共十四页，2022年，8月28日首页×同理得当h,k

充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四

边形,

故其面积近似为第三页，共十四页，2022年，8月28日首页×因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,

直角坐标转化为极坐标时,

第四页，共十四页，2022年，8月28日首页×例1

计算其中D是x=0,y=0,

x+y=1所围区域.解则令第五页，共十四页，2022年，8月28日首页×第六页，共十四页，2022年，8月28日首页×例2

求抛物线y2=mx,y2=nx

和直线所围区域D

的面积.解令第七页，共十四页，2022年，8月28日首页×当积分区域是圆域或圆域的一部分,

或者被积函数含有x2+y2

时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算.此时,

二、用极坐标计算二重积分第八页，共十四页，2022年，8月28日首页×则(ii)若原点在D

内，则(i)若原点在D

外，第九页，共十四页，2022年，8月28日首页×(iii)若原点在D

的边界上，(iv)若区域D

可表示为则第十页，共十四页，2022年，8月28日首页×例4

求球体

被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解由对称性可知第十一页，共十四页，2022年，8月28日首页×例5

计算

其中解的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.作极坐标系变换，有第十二页，共十四页，2022年，8月28日首页×例6

试计算椭球体解

由对称性令则的体积V

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