高等数学例题

Higher程目标专业的核心课程。在工程、化学、物理、机械、经需要以数学为基础，因此，掌握《高等数学》的有关知思想和基本方法，对顺利完成后继课程的学习是非常必学生获取知识能力、应用知识能力及创新能力，提高学象能力、逻辑思维能力与数学素质的一个重要的教学环节。堂讲授为主，习题课及课堂练习为辅。应用多媒体辅助教学。线性微分方程的解法。向量代数、直线、平面、及空间曲线与曲面方程。多元分、曲线积分与曲面积分的计算。幂级数与傅里叶级数。数学知识分析问题、解决问题的能力，为学习后继课程奠定必要的基础。4、课程学时：180学时5、课程学分：10学分6、课程类型：必修课7、先修课程：初等数学8、考试（考核）方式：考试9、适用专业：全院理工类各专业程结构1、极限与连续（学时）连续函数的最大(小)值定理与介值定理,函数的概念与复合函数。无穷大与无穷极限的运算，初等函数，映射，基本初等函数，初等函数。重点：数列极限与函数极限的概念，极限存在准则与两个重要极限，无穷小的比较，函数连续性与间断点，闭区间上连续函数的最大小)值定理与介理，函数的概念与复合函数。难点：极限存在准则,闭区间上连续函数的性质。2、一元函数微分学（知识点：导数的定义率，复合函数求导，隐函数、参数方程求化率，函数微分，拉格朗日中值定理，罗必塔法则，函数单调性与，函数极值与最值问题。函数的可微性与连续性的关系，函数的线性组合、积、商的求导法则，反函数的导数，高阶导数，微分中值定理，与最值问题，曲线的曲率。重点：相关变化率定义,复合函数求导，隐函数、参数方程求导，相关变极值与最值问题。难点：导数定义，复合函数求导，隐函数求导，相关变化率，微分中值定函数极值与最值问题。3、一元函数积分学（知识点：积分的概念，积分学中值定理，微积分基本定理，分法，以及定积分在几何及物理学中的应用。几种特殊类数的积分，反常积分，平均值。重点：本章的重点是积分的概念，积分学中值定理，微积分基本定理，换分法与分部积分法，以及定积分在几何及物理学中的应用。难点：定积分的应用。4学时）知识点：微分方程基本概念，可分离变量微分方程，一阶线性方程，线二阶常系数线性微分方程，可用变量代换法求解的一阶方程，可降阶的二阶微分方程。重点：基本概念，可分离变量微分方程，一阶线性方程，线性微分方程解的结构常系数线性微分方程。难点：二阶常系数微分方程，微分方程的应用。5、向量代数与空间解析几何（学时）知识点：向量的概念，向量的加、减法，向量与数量的乘法，直单位向量，方向余弦与方向角，向量间的夹角，平面的一般方程，直线的参数，母线平行于坐标轴的柱面方程，空间曲线的参数方程。难点：平面的方程，直线的参数方程。6、多元函数微分学（知识点：多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值的连续性、方向导数与梯度。全微分在近似计算中的应隐函数求导公式：方程组的情形是选讲内容。隐函数求导公式：一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切线平面，曲面的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求法。难点：多元函数概念；偏导数和全微分的定义；多元复合函数的求导法一个方程的情形；微分法在几何上的应用：空间曲线的切平面与法线；多元函数的极值及其求法，条件极值求7知识点：的概念与性质、二重积分的计算法（二重积分的换的面积，平薄片和空间物体的重心坐标及转动惯量等。能利用直角重积分，利用二重积分、三重积分计算平面薄片或空间物体对一质引力。重点：的概念与性质、二重积分的计算法。利用直角坐标、柱面坐标计算三重积分。利用二重积分，三重积分计算曲面的面积，平片和空间物体的重心坐标及转动惯量等。难点：的概念与性质、二重积分的计算法。利用柱面坐标与球面重积分。利用二重积分、三重积分计算曲面的面积，平薄片和空间的重心坐标心及转动惯量等。8、曲线积分与曲面积分（知识点：质量问题提出的第一型曲线积分与第一型曲面积分概念及计算，式及计算。重点：线积分与第一型曲面积分概念及计算，第二型曲线积分和，计算，格林公式，曲线积分与路径无关的条件，格林公高斯公式。难点：线积分与第一型面积概念及计算，第二型曲线积分和第二面积分概念及计算，格林公式及积分与路径无关的条件，高斯公式。9学时）知识点：级数收敛的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级敛，幂级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展数的概念，无穷级数的性质，傅里叶级数，傅里级数的2L重点：的必要条件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的条件收敛，幂级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成数。难点：件，正项级数审敛法，交错级数审敛法，级数的幂级数的基本性质、收敛半径与收敛区间，函数展开成数。程资料教材：.20021、同济大学应用数学系和武汉科技学院数理系编《微积分》学习指导书.北京:高等教育出版社,2001年7月2、工科教学指导委员会编.《高等数学释疑解难》.北京:高等教育出版社,19923、钱本昌著.《高等数学解题过程的分析和研究》.北京:科学出版社,1999年5编制：吴海辉 第一章多元函数微分法及其应用例1设f(x,y)(x2y2)sinlimf(x,y)0(x,y)(0,0)x2y2

f(x,y)0(x2y2)sinx2y

0x2y2可见，对应任意的正数ε，总存在正数δ，取0(x0)2(y0)即P(x,y)∈D∩u(o,δ)时，总有

f(x,y)0

lim(x,y)(0,0)

f(x,y)0例2求 lim sin(xy)(x,y)(0,2)limsin(xy)lim((x,y)(0,2)

sin(

y)122（x,y)(0,2)二、偏导数zx23xyy2例1求 2x3y 3x2y 21328 22) （（e)e f(x) x' '（（logax)31227yx1 1 （)（xn)'nxni （cosx)'sinx（lnx)''(y)

（sinx)'cosx1例2求

z(1xy)yz(1xy)yeln(1xy)

z

e

y

1

y2

ze

[ln(1xy)y

1

y]例3求解由于

y222 22 z （22）

（22)(

2

2

zx2y例4曲线 x2yz

z x2 解：由于xy4 z5故tanα=1，α=450 zxln(xy)例5设 求x2y ln(xy)x

yln(xy)2zx2

zxx

y

3z

2zyx2

)0例1计算函数

zx2yy

z2xy

2xydx(x22y)dylnlnx)xyxxy))xlnxxyz 例2计算（1.04）2.02的近似值F(x0+⊿x,y0+⊿y)≈f(x0,y0)+,fx(x0,y0)⊿x+fy(x0,y0)⊿y取(x0,y0)=(1,2) ,⊿x=0.04 ,⊿y=0.02f

(e

x1 0 (1.04)2.02120.0401.08例1设

xy

esinyecos1exy[ysin(xy)cos(xy)]

esinxecos1exy[xsin(xy)cos(xy)] xyz xyz f(,)zzsint ee(sint)cost例2设

f(xyz,xyz),f具有二阶连续偏导，求x

2

2

f1fyz fyzf ) zx

)fy

1f

xyyz(f

xyf

1)fyf (xyyz)f 例3设 z dt t t

dtet(costsint)cost 2zx2y2z24z0 求x2F(x,y,z)x2y2z24zF

2x

F

2z4JJx--y2(2z4)02(2x)(2z)x

2z2z

FF

2FFFFF2 F38(2z)3 (2z)3

例2设

yx0

yx

0

xyx yx xy xx2y2-

-x-y

---xy

J()xJ

xyx2y2yxx2y2xyy yyxy y

Jx

x2y

-y x-y- y--x-y

J()J

xyx2y2

J()J

xyx2y2f(2)

424222t

221(，，)333例2求曲线x2y2z26，xyz0在点（1，-2,1）处的

x2y2z26xyz0dydz1 JJ(y)yz-xzxz-11

J(z)

-1

yx dx J

zxyz0

dx dx J1

xyyzx-1 y(2) 1 0 1(x1)0[y(2)](1)[z(1)]0例3求旋转抛物面

xz0zx2y21

F(x,y,z)x2y2z1n(F,F,F)(2x,2y,1) n(2,1,4)(4,2,1) 4x2yz60x-24

1

z41 求函数f(x,y,z)xyyzzx解：与L同向的单位向量为：

e(cos600,cos450,cos600)(f(1,1,2)(yz) 3

212

y1ff(x,y)xy

f(1,1,2)(xz)

(,1,f(x,y,z)cosaf(x,y,z)cosl(1,1,2) f(x,y,z)cos 解;设(532)gradx 2x (x2y2)2

(x2y2)2

gradx2y

(x2y

2y(x2y2)2

例3求曲面x2y2z9在点P(1,2,4)的切平面和法线方程。解：设 f(x,y,z)x2y2z

(1,2,4)

(1,2,4)2i4jkf(x,y,z)9故P点的切平面方程是：

在点P的法线方向。 f(x,y)3x6x90故得故得x1=1,x2=-3;y1=0,y2=2 f(x,y)3y6y0即2x4yz14在点P的法线方向是：

x12tz4t 设f(x,y,z)x3xy2zp(1,1,0)，问f(x,y,z)zp处沿什么方向变

f(x,y,z)

即f(x,y,z)(1,1,0)2i-2jk

,,

2i-2jk

-2i2jk

f(1,1,0)22(2)2(1)23例1求函数

x Afy(x,y)6x6 Bf

(x,y)0 Cf(x,y)6y6在点（1,0）处，由于ACB21260又A>0,ACB2-1260

在点（-3,2）处，由于ACB2-12（-6）0又A<0,例2求表面积为a而面积最大的长方体的体积

2xy2yz2xza2（x,y,z)2xy2yz2xza20Vxyz

(x0,y0,z0)L（x,y,z)xyz(2xy2yz2xza2)

Lyz2y2z0xLxz2x2z0yLxy2y2x0xyz（x,y,z)0

2y 20 2x20x x2 0 xyz

aa

xyz

a

时体积最大，且v

a

第二章重积分xyd [[xy]1dx 1 21例1计算

D 1 坐标变动范围是区域：[1,2]。在此区间上任意取定一个x值，则D上y坐标y=1到y=x

2x 2 12

(x3x)dx

1124

x4

x]2

例2计算

由于积分区域D是y型的,D上点的y坐标变动区域是：[-1,2],x坐标变动区域是：dd]d[xyd [y[(y2)y]dy[y4y4yy)dy[e 2 2 e]d 2

1[x2y]2

12

12

例3计算

11[y424e-x2y2

4 1 y32y2 y6]23 6

由于ex2dx不能用初等

在极坐标系中，闭区域D可表示为：0 axsinycos

02故：e-x2y2dxdye2dda 2[1ae220a d(2)[e2]a(1ea2)例1计算三重积分

xdxxdxx[(1x)yy]x[(1x)1x 1x (

[z]

2dx 2

1142

x2

23

14

148 例2利用柱面坐标计算三重积分：

z4dd[z] 1dd(16)d]0d 设：xsin ycos2

zdz2

24 2

d

2

1220

[82

16

621264d6420 3 xrcossinyrsincos注：利用球面坐标求三重积分时，zrcosdvr2sindrdd

f(x,y,z)dxdydzf(r,,)r2sindrdd

ydsx14xdx（xyz)ds（xyz)ds（akt) 2 yzdt x2(akt)(asint)(acost)kdtaak2 k) k(a axydx例1计算yds，其中L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段yx2(0x1)

x2

1(y)2dx

14x2dx

12[212例2 (14x2)2]1 (551) ，其中L为螺旋线x=acost, 22 22 0 2(a2k2t2)dta2k2[a2t

例1计算 xxdx-xdxx3dx2xdx2[xydxyd(y)2ydy[2xydxxdy(2x•xx•2x)dx1 由于yx不是单调函数，

y-x，x从1变到0；在y-xxydxxxdx

25 x2]5 2xydxx2dy例2计算

25

45 2 L 2xydxxdy(2y2•y•2yy4)dy12xydxxdy0dy1(xy)dxdyPdxQdy Q Pedxdyxe dyL

2xydxx2dy

2xydxx2dy D例1计算

Q P

ey222012

1

例2求椭圆x=acosθ,y=bsinθ所围成的图形的面积A。

A 1ydxxdy 1而取p=-y,Q=x则Adxdy1(Q2 D 22L 20

abdab

P

（x,y)(x0,y0)

P(x,y)dxQ(x,y)dyC例1解方程（5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0解：设P(x,y)（5x43xy2y3) Q(x,y)(3x2y3xy2y2)P 6xy3y2 0

3 1 3 2 3 2 （5x3xyy) （3xy3xy(y)

3x2y3xy2y

'(y)y(y)1

y3C 积分

p

Q例1计算曲面积分

x2y2z2a

f(x,y,z)dsf(x,y,z(x,y)1zzdxdyxdydzydzdxzdxdyzdxdyxdydzydzdx平面zh (0ha)截出的顶部。za2-x2-y2（x,y)x2y2a2h22

ds

a

x

y

a

ax

y

1ds2d

a2a2h2

ax2y2 a2x2d2alna22

ya

例2计算曲面积分 x2dydzy2dzdxz2dxdy c2aba2bcb2ac(abc)abc

)dvPdydzQdxdzRdxdyddd（sinz)dz9 cosycoszcos)ds （x

)dv(PcosQcosRcos)ds例1利用高斯公式计算曲面积分Pyz

Q0

R0(yz)dydz(sinz)dddz2 2 2 例2计算曲面积分2 (x2cosy2cosz2cos)ds （xcosycoszcos)ds 2 2 1z2ds

h2dxdyh

4

1 D（x2cosy2cosz2cos)ds

h4h4

第三章无穷级数ssnnn•(1)11 s1 lim 1例1证明级数

123n是发散的。

s123n因级数123n的前n项和为：

s123nlimslimn(n1) 例2判断级数的收敛性：

解：由于级数的前n项和为 1•2

2•3

3•4

(

)(

)(

)(

n

lim(1

)1 l (0l)limlimsinn 1 n和 n都是正项级数， n

nn收敛。n

l0

或limn

)且级数

n发 例1判定级数sinlim

10

n

limn

n1例2判断级数的收敛性：1010 10 10(n1)!limlim lim 10n1limn1 n 10n10n 110

n1解：因 n

2(1)

1n

n0n

n

np（0),P1

例4判断级数收敛性ln(11limlimn limnln(1n2 n

n2

)10 n n1 (n1,2,3)（1）n lim 0（2）n n各项的绝对值所构成的正项级数

例判断级数的收敛性

n2n1sin(na)n2

n2 1 sin(na)

n2收敛，故级数

n1

2

n2 lim1aaxaaxaxax 2

n1

n n 0 1 2 alim aR0

00x

x2

(1)

xn

n

aa1

limn11n-1

x

x2

(1)

xn

ff(0)f'(0)x

f"(0)

x2

fn(0)

xn

R(x)

f(x)f(0)f'(0)x

f"(0)

x2

fn(0)

xn22．设曲面zf(x,y)与平面yy0的交线在点(x0,y0,f(x1．设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则limx0

f(ax,b)f(ax,b)=

A、0；B、f(2a,b)；C、f(a,b)；D、2f(a,b)。 o,y0))处的切线与x轴正向

(x0,y0)cos

(x0,y0)cos( )

(x0,y0)tg

(x0,y0)tg( )3。 3．lim 0是级数u

n n04．在区域D：0yR2x2上的xy2d值为 A、R2；B、4R2；C、R3；D、0。5．下列函数中，哪个是微分方程dy2xdx0的解A、y2x；B、yx2；C、y2x；D、yx2。二、是非判断题（15分）

=0，其中L为圆周x2y21按逆时针转一周（）

均存在，则(x,y)沿任何方向的方向导数均存在（）xdydzz3．以f(x,y)为面密度的平面薄片D的质量可表为

f(x,y)d。（）4．f(x)在(0,]上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且[0,]上收1．设f(x2y2,exy)，其中f具有一阶连续偏导数，求2．已知yzzxxy1，确定的zz(x,y)，求dz。

(x

2y2)dxdydz的值，其中为曲面x2y22z和平面z2所围

xdyydx在右半平面(x0)内是某个函数的全微分，并求出一个这x2y2

dxdy，其中为zx2y2和z1所围立体边界的外侧。yysin2x0

n0

答案1、D；2、C；3、A；4、D；5、B。1、×；2、×；3∨、；4、∨；5、×。1．uf2xf

yexy……4分

2x[f(2y)fxexy]yexy[f

(2y)f

exyf

2．Fyzzxxy1……1分FzyxFzx……3分yFyx F zyxFxyx

exyf

FF

zxyx

dzxy

[(yz)dz(xz)dy]……6分四、(10分)(x

2y)dxdydzdd 16……10分x2y

x2y

xdydzz2drdr(rcosz)dz……8分 2P

(x2y2)2

x2y2u(x,y)(x,y)(1,0)

xdyydx……8分yx2y

arctg

arctg

六、（10分）2 2dxdy(2x2z)dxdydz……4分 r2……10分七、（12分）r210ri……2分设此方程的特解为：y*Acos2xBsin2x代入原方程得A0 1……6分 故此方程的通解为：yc1cosxc2sinx代入初始条件c

1 特解为：ycosxsinxsin2x……12分3

n

n11R1……2分n2n0n1 n0(xS(x))xnn0

(x1)xS(x)01x

(1x1)……8分当x0时，有S(x)ln(1x)S(0)lim x01ln(1x),x[1,0)(0,1)S(x)x

1．下列级数中为条件收敛的是（ n1

n

n2

（C）(1)nn1

(1i)n2n

（D） nln(11)n2n12．设F()Ff(t)，则F f(t)（

（A） （B） （C）j （D）j3．z为函数f(z)zsin的（

（A）一级极点(B)二级极点 (C) (D)4．积分

sint

dt

)

（C）

（D）25．方程z53z210在1z2内的根的数目为（ （A） （B）2 （C）3 1．函数f(z)ez1

2．留数Resz(z1),=

0x3．设f(x)22x,1x1

S则S()= 4．Fourier变换Fu(t)e2t

(t)

f(z)z2(z1)

1z

内的

urent

展开式是 SS(x)t dt xnxn1．求幂级数n

的收敛区间与和函数S(x)2．设C为z2的正向，求积分I3．计算实积分Ixsinxdx。 x29

dz。2．求Laplace变换L

tte2tsin3tdt。 3．设F(s)s22s1s(s1)2

f(t)，a为非零的常数，证明：Ff(at)

a

F()。a六、(10分)解积分方程：y(t)2t2tsin(t)y()d。大学数学（三）A参考答案（050113）1.A 2.C 3.C 4.B 1.2ki(k0)，

2.e1，3.，

2j

5.n0zn3

limn

limnn1

1,

R11

n1 n1

(1)n

n1 n1 n1

dtln(1x),1x1.2.2.解原式＝ 6s12 tte2tsintdt1 s(s24s13)2

ezzcosz

11 11 4!z3

zcosdz2ic

i

ez

ez,0] | （z1)2z0

ez

ez,1](

z2

0原式=

ez

I1xsinx2x29

dxIm(1xeix2x29

z29

Res[f(z),3i]e3I

(z29)

e3

xeixx29

dx2i

e3

1.

() (tu(t)e2t

ej3tej3t

(u(t)e2t)2j

(tu(t)e2t)

1d jd2j

(2j)2

(tu(t)e2tej3t)[2j(3)]2

(tu(t)e2tej3t)[2j(3)]2

F(){2[2j3j]2

[2j3j]2

(2j)29[(2j)29]2

2.

sints29

e2tsint (s2)29

s24s13,

(t)e2tsint )dss24s13

3(2s4)(s24s13)2

((f(at))((f(at))Res[Res[F(s)e,1] ))e(s2)et((5)}2t3. 解 F(s)有一级极点s0,二级极点s1,Res[F(s)est,0]

(s22s1)est(s1)2

s0

1,(s22s1)est s |(1s s2

1 s

2et2tet,f(t)1(F(s))12et2tet (t0).当a0时,

f(at)ejtdt= F()a a

|a|

aF()。a

a

dx1af(x)ejaxdx当a0时,

f(at)ejtdt= F()a a

|a|

aF()。a

a

dx1a

f(x)ejaxdx六、解改写积分方程为y(t)2t2sinty(t)，2分令Y(s)[y(t)](s)，两边取Laplace变换，得：Y(s)2s3

s21

s35),

y(t)4{2!

(3)

2

t4

1．下列级数中为条件收敛的是（ （A）(1)nn1

n2

n1

（C）(1)nn1

(43i)n

（D） ntan(1)n2n1

)f(t)。（A）jt （B）jt （D）j3．z为函数f(z)cos的（

（A (B) (C)本性奇点 (D)4．积分+0

e-2tsin(3t)dt=(（B）

)

5．方程z48z60在1z3内的根的数目为（ （A） （B）2 （C）3

sinzez1

2．留数Res4z1,=

0x3．设f(x)22x, x1 则S()=

S4．

+(t+)sintdt=-

．实函数2x 在x0 处的Taylor 展开式是2x= 1．求幂级数(n1)(x1)n的收敛区间与和函数S(x)。n12．设C为z2的正向，求积分I(

ezz(z1)3zsin

3．计算实积分I

x2(x21)2

dx。(5.5. x， lnn2 1．将f(z)

1

分别在0|z1|1与1z内展开成Laurent级数。

t3u(t)e2tcostsint。 3．设F(s)s22s1s2(s1)

五、(8分)求Laplace变换

te3

sin2d。六、（5分）设F(s)f(t)，利用卷积定理证明：

tf()dF(s)。 七、(10分)解微分方程：y(t)y(t)tcost, y(0)y(0)0。大学数学（三）A参考答案（060114）1.B 2.A 3.D 4.A 1.2ki(k0)，

2.03.，

4.1，

nn!n0

tx1

n1

limn

limn

1,

R11当x1时，(1)n(n1)发散，原级数的收敛区间为(0,2),n1n1

n

n1

n1

2tt2(1t)2

S(x)(n1)(x1)nn1

4x3x2(2x)2

2.解原式=

ez

dz

ez

dz2i{Res[

ez

ez,0] | 1,（z1)3z0

ez

ez ,1]( )|, 原式2i(1). z1 1 3．解I 2(x21)2

z2

在上半平面内有2级极点zi 2Res[f(z),i]

I2i

1. 解 在 0|z1|1 内

1 z1z11

z1n0

n1n0在1|z|内，f(z)

1 z

(1)nzn3。n0

(u(t)e2t)2j

(t3u(t)e2t) (j)3d3 2j

(2j)4

F()1[j

(t3u(t)e2te2jt)

(t3u(t)e2te2jt)] 2[2j(2)]4

2[2j(2)]4

3.解F(s) s1ss2,

f(t)

F(s)2et1t.

2s 2s24

d 1 1 s 1 14s2tsin2tds(2s2s24)2s22(s24)2,1 s26s5e3ttsin2t2(s3)22(s26s13)2,F(s)2s(s3)2

s26s52s(s26s13)2

六、证tf()d1f(t),0tf()d

1f(t)

f(t)

F(s).（（B）(1) （C）(1)(43i)Y(s)1 1d(1),s2 s212dss21s2

s，s21y(t) 1(2)

1)s21

1(d(1))tsint1tsint。dss21 1．下列级数中为绝对收敛的是( )。n1

n1 f(t)，则f(t)＝(

nn2

（A）2 （B）t2 （C）2j （D）2jt3．z为函数f(z)ez1的（

（A (B)4．积分+te2tsin(3t)dt=(

)

(C)本性奇点

(D)（A）

（D）5．方程z53z310在1z2内的根的数目为（ （A） （） （C）3 1, x01．设f(x)1x2,0xS()=

的Fourier级数和函数为S(x)，则

z21

3．留数Res,=

4．设C为z2的正向，则积分

1e1zdz＝

11ff(t)ettf()df()d。5．对应Laplace变换的卷积tet=6.Fourier变换(t)cost=

n1ln(1n)

敛域。2．设C为z2的正向，求积分

cos(z）sinz

]dz。3.计算实积分I

sinxcosxdx。x22x5 ,0。1．将f(z)

分别在0|z|1与1z1内展开成Laurent级数。2．设f(t)cost,|t|，求Fourier变换F()=0, 3．求f(t)tnu(t)etsintcost的Laplace变换F(s)。五、(8分)设F(s)

2s12，求F(s)的Laplace逆变换f(t)。(s21)六、（8

分）设f(t)在[0,)内连续，解积分方程： 七、(6分)设an1

dx，证明：级数(1)nan为条件收敛。n1大学数学（三）A参考答案（061216）1.D 2.A 3.D 4.C 1.2

，2.(2k1)i,(k1,1)，3.1e，4.2i，5.ett1，6.1 1.解令tx1，lim

ln(n1)limnln(n2)

1,R

ln(n1) n1n n1ln(n1)ln(n1)nln(n1)

0,

n1

nln(n1)n1

tn的收敛域为[-1,1)，ln(1n)

n1ln(1n) 原式=

0Res 14i

1 IIm(2x22x5

Res[f(z),12i](z22z5)

z12i

e4

e4x22x5dx 2(cos2isin2),，

I

e4

4．解z0是f(z)

z,0＝lim

＝lim

(sinz)2

＝lim

2＝limz0

1.解在0|z|1内，

11 12 n0

n0

nzn2在 1|z1| 内 f(z)

z(z1)2 (z1)311z1

(z1)3

n0

n0

(1)nn3。ssn1,解

f(t)＝ejtejt 12sin(),

dt＝（

ej(1)tj(1)

ej(1)tj(1)

F()

f(t1)ej

sin()。n!3.解（方法1）tu(t)n F(s)＝1 tnu(t)e(12j)ttnu(t)e(12j)t＝ 4

1 n! n! 4j(s12j)n1 (s12j)n1

2s24

4js2j s2j

etu(t)sintcost 4j(s12js12j)，F(s)

1 (1)ndsn

1 n! n! 4j(s12j)n1 (s12j)n1五、解F1(s)

2s(s21)2

[sint](s)[tsint](s),

F2(s)

(s21)2

1d 2s212dss21

(F2(s))

f(t)

(F(s))1(F1(s))1(F2(s))tsintsinttcost。 六、解改写积分方程为f(t)ettf(t)，2分令F(s)[f(t)](s)，两边取Laplace变换，得：F(s)

1 s1s2F(s)，F(s)＝

s2(s1)(s1)2

,f(t)

1(31111 4s14s12(s1)2

3 )etet4

七、证明由于an1

dx

且0an1xn0

，liman0,n1n

故级数(1)nan为收敛。n1dxdx因此级数因此级数(1)nan为条件收敛。（（B）(1)ln(12)又an

xndx

1 2(n1)n1

n1

an发散，1.下列级数中为条件收敛的是( )。n1

inn

（C）(1)nn

nn n1

（D）(1)ntan(n1

1)n22.z为函数f(z)2z3coszz2

（A (B) (C)本性奇点 (D)3.积分+(t1)sin(t)dt=( （A）0

)

（D）14.方程z54z320在z1内的根的数目为（ （A） （） （C）3

an和

bn满足：anbn,n1,2,

,(

)。n n n (C)当级数

an发散

an发1．函数f(z)

sinzez1

1, x02．设f(x)1x2,0x

的Fourier级数和函数为S(x)，则13．留数Res[e1z,1]=

e2xylor5．对应Laplace变换的卷积tt=

F()。ez1．设C为z2的正向，求积分[

(z2)cos

]dz。2．求幂级数n(x2)n的收敛域并求和函数。n03.计算实积分I

0x41

sin(2z)4．计算留数Resz2(z1),。1．求f(t)te2cos3d的Laplace变换F(s)。2,2t02．设f(t)2,0t2，求Fourier变换F()=0,

f(t2)。3．将f(z)(z1)(z2)

分别在0|z1|1与1z2内展开成Laurent五、(8分)设F(s)

s2s1s(s1)3

六、（8 分）设f(t)在[0,)内连续，解积分方程：在上半平面内有在上半平面内有1级极点z1e,z2e1costf(t)t(t)f()d。七、(6分)设an

1(sinx)n0 1x

andx，证明：对任意0，级数(1)n 为绝对n1 1.2ki(k0)，

2.0，

3.1，

4.e2n0n!

(x1)n，

t3

，6.1.ez原式＝ ,0Res

12i02ic n12.解limn1lim 1,Rnc n n0

1,而n1

n(1)n发散，n0

n0

(3x)2

1分1

x41

f(z)

z41

(z41)

k,(k1,2),I1

2i(

.2(1) etcos3t ((s2)29)2,2ejtdt ejt dt2dxdxxdx 1sin(2z)4.解Resz2(z1) sin(2z),Res z2(z1) sin(2z),0Res z2(z1),1 z1

sin(2z)z2

2sin2.1.

cos3t

s29

s29

s29(s29)2,(s2)292t

s24s5F(s)s(s24s13)22.

F()

22ejt2 f(t2)e2j4(1cos2).

ejt

3.解f(z)

(z1)(z2)

z1

在0|z1|1内，f(z)

2 (z1)1 z1

n0

n(z1)nz1

在 1z2 内 f(z)

2 (z2)1

z2n0(z2)n1

z2n0(z2)n2

五、解F(s)

s2s1 1 1 s(s1)3 s s1(s1)3

f(t)1(F(s))1()1(

1)s1

(s1)3)1e－tt2e－t。 s21F(s)2F(s)，F(s)＝

(s21)2

11 2s21

（sint)(s)（tsint),f(t) 七、证明由于0an

1(sinx)n0

n1

则当n1,2,

,时，有

(1)nann

1 1，n(n1) 又当0时，级数 n1

(1)nan为绝对收敛。 1、已知向量a、b满足ab0，a2，b2，则ab

3、曲面x2y2z9在点(1,2,4)处的切平面方程为 ，在x处收敛于 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(xy)ds 2x23y2z291、求曲线z23x2y2

0

2、求由曲面z2x22y2及z6x2y2所围成的立体体积．3、判定级数(1)n

4、设zf(xy,)siny，其中f具有二阶连续偏导数，求

其中是球面

x2y2z2a

2

被平面zh(0ha)截抛物面zx2y2被平面xyz1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离计算曲线积分(exsinym)dx(excosymx)dy，其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点O(0,0)的上半圆周x2y2ax(a0)．求幂级数

xn3nn

其中为曲面z1x2y2(z0)的上侧．设f(x)为连续函数，f(0)a，F(t)[zf(x2y2z2)]dv，其中t是由曲面zx2y2与zt2x2y2所围成的闭区域，求limt0

F(t)．t3------------- 3，0；5、2.

分】1、4；2、

；3、2x4yz14；4、 3y

zdzzdz

x

，从而

1,1,2))|un1|,lim|u(2)]dzdz2(632)d6……..【7】

4z

57 处的切向量为T(1,4,8)8(8,10,7).…………..【5】

10

z2

法平面方程为 z2x22y2２、解：z6x2y2

x2y22，该立体在xOy面上的投影区域为D

:x2y22．…..【2】 Vdv2d2d62 0 0 22 ３、解：由limnun

1 1 limnln(1)limln(1)n10，知级数 n n n n

又|u|ln(1)ln(1

n

|limln(1)0.故所给级数收n

(fyf1)0yf

2z

fy[fxf1 11

y2

2

xf21

(2)]22 L2y2y0fxyf y2 ５、解：的方程为za2x2y2 ，在xOy D

{(x,y)|x2y2a2h2}．

1z2

2

a

a2x2y2，…..………【３】

a2x2y

a2d

a2h2

da2

1 2aln(a22)2

a2h2

a2aln..【7】h三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为dx2y2z2……【1】令L(x,y,z)x2y2z2(zx2y2)(xyz1)，L2x2x0y L2z0，解得xy zx2y2 xyz1

13

，z2

313

,23),

13132

,23).…故dmax

|OM2|953,min

|OM1|953.……【9】(esinym)dx(ecosymx)dymdxma…………【8】1nn1n3ss(x)ss(x)s(x)dxdxdxln3x分分】解：取1为z0(xy1)的下侧，记与1所围成的空间闭区域为，

(exsinym)dx(excosymx)dymd

8ma2．………a (exsinym)dx(excosymx)dyI

I

ma

8ma2.

alimn1n a

lim

(21n1

故该幂级数的收敛域为3,3………【5】nn1

xn1 n1

31x/3

03x

（3x3）….【10】 2

z21x2y2z

1 dxdy36dd 2ddsindrcosfr 22r2dr….…【2】2sincosdrdrsindf 1 0 0

z21

z21dxdy3dxdy3 II

I

23.…….…【10】 t0 0 0

r2

822

r2f

r

t0

Ftt3

t0

t3

22t2f(t2)22limf(t2)22a. t0 大题一 dxf