13.4.1 将军饮马问题 《最短路径问题》教学设计-人教版八年级上册数学

.4课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1将军饮马问题一、教学目标(一)学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程1.知识回顾⑴两点的所有连线中，线段最短；⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；⑶三角形三边的数量关系：三角形中两边之和大于第三边.2.问题探究实际问题转化为数学问题今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.●活动①创设情境，引入新知问题:..如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？这是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3．尝试解决数学问题●活动②大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示：若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小；现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB′?⑶你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路.通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.4．证明AC+BC“最短”●活动③反思过程，验证新知证明“最短作图”的正确性：追问1你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=AC′+C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴AC+BC﹤AC′+BC′，即AC+BC最短．●活动⑤集思广益，理解新知追问2：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.●活动⑥反思总结，归纳新知【方法归纳】1、在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.练习.1、如图，有一条河流和一块草地，马厩A建在河流和草地所成的∠MON内部.牧马人某一天要从A牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化、类比【解题过程】分别作点A关于OM、ON的对称点A′、A′′，连接A′A′′分别交OM、ON于E、F，此时△AEF周长有最小值；FF练习2如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1)作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；(2)连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行