四年级奥数教程第7讲：有趣的数阵图

第七讲有趣的数阵图（二）例1将1〜7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S,并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵.分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆•这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G,而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7.・•・3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D.3S=28+2B+A+C+D.如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数S-9+|（1+2B+A+C+D）＞9+4=13即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4,综上所述，得出：13WSW19即定数可以取13〜19中间的整数.本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7.注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）.二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值•从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13,中心数可从1开始考虑•确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.解：例2把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.分析观察右图,我们发现：有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等.图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点•因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等.20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y,每条路上4个数之和为S，显然有：3S=2x+2y+2+3+5+7+11+13＋17+19=2x+2y+77.即S最小=29，此时x=2,y=3

但这时，中间二个质数之和为47-（19+13）=15，但17>15,17无处填.所以S=47是无法实现的.这题还另有一个独特的分析推理.即惟一的偶质数必处于起点或终点位上.不然，其他路上为4个质数之和，2处于中间位的路上.这条路为3奇1偶相加，另两条路上为4个奇相加，形成矛盾.再进一步分析，（终点，始点地位对称）始点放上2，终点放上另一个质数，其他6个质数之和必为3的倍数.而经试算，只有终点放上3，而可满足的解法只有一种（已在下图中表出）.解：这样，轻而举地可得到：5+19=24,7+17=24,11+13=24.这样，轻而举地可得到：5+19=24,7+17=24,11+13=24.例3把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入右图中的正方形的各个圆圈中，使得正方形每边上的三个数的和相等.分析和解假设每边上的三数之和为S,四边上中间圆圈内所填数分别为a、b、c、d,那么：a+c=b+d=(1+2+-+8)-2S=36-2S・・・2S=36-(a+C)=36-(b+d)

|S^=lg-|辽十4)=15；若S=15，则a+c二b+d=6，又1+5=2+4=6，试验可得下图②若S=14，则a+c=b+d=8②若S=14，则a+c=b+d=8，又1+7=2+6=3+5=8，试验可得下两图③若S=13，则a+c二b+d=10，又2+8=3+7=4+610,试验可得下两图若S=12，则a+c=b+d=12，又4+8=5+7=12，试验可得下图例4在一个立方体各个顶点上分别填入1〜9这九个数中的八个数，使得每个面上四个顶点所填数字之和彼此相等，并且这个和数不能被那个没有被标上的数字整除.试求：没有被标上的数字是多少？并给出一种填数的方法.分析为了叙述方便，设没有被标上的数字为a，S是每个面上的四个顶点上的数字之和.由于每个顶点数都属于3个面，所以得到：6S=3X(l+2+3+4+5+6+7+8+9)-3a6S=3X45-3a2S=45-a(1)根据(1)式可看出：因为左边2S是偶数，所以右边45-a也必须是偶数，故a必须是奇数•又因为根据题意，S不能被a整除，而2与a互质，所以2S不能被a整除，45也一定不能被a整除在奇数数字1、3、5、7、9中，只有7不能整除45，所以可以确定a=7.解：忍=辛？S=19：.这就证明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是19,解法如图.例5将1〜8这八个数标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个顶点所标数字之和都相等.分析观察下图，知道每个顶点属于三个面，正方体有6个面，所以每个面的数字之和为：(1+2+3+4+5+6+7+8)X3F6=18.这就是说明正方体每个面上四个顶点所填数字之和是18.下面有3种填法的提示，作为练习，请读者补充完整.解：例6在下左图中，将1〜9这九个数，填人圆圈内，使每个三角形三个顶点的数字之和都相等.分析为了便于叙述说明，圆圈内应填的数，先由字母代替.设每个三角形三个顶点圆圈内的数字和为S.即：A+B+C二S、D+E+F二S、G+H+I二S、C+G+E=S、A+G+D=S、B+H+E=S、C+I+F=S.将上面七个等式相加得到：2（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+C+G+E=7S.即：A+B+C+D+E+F+G+H+I=3S又TA、B、C、D、E、F、G、H、I,分别代表1〜9这九个数.即：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.3S=45S=15.这15就说明每个三角形三个顶点的数字之和是15.在1〜9九个数中,三个数的和等于15的组合情况有以下8种即：（1、9、5）；（1、8、6）；（2、9、4）；（2、8、5）；（3、7、5）；（2、7、6）；（3、8、4）；（4、5、6）；观察九个数字在上述8种情况下出现的次数看，数字2、4、5、6、8都均出现了三次，其他数字均只出现两次，所以，符合题意的组合中的2、8、5和4、5、6可填入图中的圆圈内，这样就得到本题的两个解.解：例7在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1〜9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S,那么图中六个正方形可得到:a+a+b+b=S,a+b+a+b=S,12122233b+b+c+b=S,a+b+b+b=S,12122321b+b+b+c=S,a+a+c+c=S.22331331将上面的六个等式相加可得到：2(a+a+c+c)+3(a+b+b+b)+4b=6S.则4b=a+a+c+c)+4(a+b+b+b)+4b=9S.133123212于是有：4(a+a+a+b+b+b+c+b+c)=4X45=9S.1231231239S=4X45S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20.所以：b=5.2从而得到：a+a+b=a+a+b=15,121233b+c+b=b+c+b=15.112233由上面两式可得：a+b=a+b,b+c=b+c.11331133如果a为奇数，则a+b和a+b均为偶数.21133若a为奇数,83为偶数，则片为奇数,为偶数.因为叮b+b+b=20,所以b为偶数，则c为偶数，c为奇数•但是3a+a+5+b=20,2而3奇数1、3、TOC\o"1-5"\h\z2131215、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.若a为偶数，a为偶数，则b也为偶数，b也为偶数.因为1313a+b+b+b=20，所以b为奇数，则c为偶数，c为偶数，但1〜9中只有4个2偶3数2，有1矛盾.213若a为奇数，a为奇数，则b、b也为奇数，这样1〜9中有六个奇数，有矛盾.若a为偶数，a为奇数，情况与①相同.13综合上述，a必为偶数.由对称性易知：b、b、b也为偶数.因此a、a、c、c全为奇数.331这样，就比较容易找到此解.解：注：也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.

习题十1•将1〜6六个自然数字分别填入下图的圆圈内，使三角形每边上的三数之和都等于定数S，指出这个定数S的取值范围.并对S=11时给出一种填法.2•将1〜10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.3.将1〜8填入上右图中圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和为21.习题十解答1.分析设三个顶点为数之和为S.x、y、Z，三条边中点处放置a、b、c，每边三则有2（x+y+z）+a+b+c=3S.对x+y+z+a+b+c=1+2+…+6=213霽卜=7+*(1+2+3)-9.务丈+|<4+5+6)=12・•・定数S可取9、10、11、12.吗懸设3=11,+y+z=12.经过试探、搜索知道：顶点放2、4、6，而2、4之间放5，2、6之间放上3，4、6之间放上1，即可.2.3.m5松1这9T敢入&—14中的务十勺•便斑糸线殷上3Q析二触此砂的关佃仍甘1确定中心U)内也致和笹条皱心上3个救的和。*p：数址C•知条£尼3个OrM数旳利〕为"•亦玄十K・总刊山寸•中心C3内数«T4次“"叭Ab«(1+2・3・4・3・&・7・8・9》♦%4h■43♦3o^=<-453o)+4I■U4jtt3a円刃b足帕数•所以4C*3“必刘(坯4fKH音«fc・X中.4手#4=*4旳余数•必勿「也3•这碎经过试律.用1〜9中—可収1%5攻9_小97“='，，4・h"<45*3xI>+4=2•把匕人中心•}<；条的8十数W分誥C：I■U4jtt3a②、气e■作H寸./»■(4F♦3x■》★4■I作.4巴“■SMX人耳“|>.X；余«6散咳分

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