目标规划培训教材-课件

目标规划(Goalprogramming)目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规划应用举例目标规划问题及其数学模型目标规划目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规1目标规划的方法是在1961年由查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)提出的它是在线性规划的基础上，适应企业经营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是在企业决策者所规定的若干指标值及要求实现这些指标的先后顺序后，并在给定有限资源条件下，求得总的偏离指标值为最小的方案，称这方案为满意方案。目标规划目标规划的方法是在1961年由查恩斯(A.Charnes)和2处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解只能处理一个目标目标规划线性规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解满足所有约束条件的可行解找到的最优解是指尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的指标值约束条件同等重要可根据实际需要给予轻重缓急或主次之分的考虑处理多种目标的关系，只能处理一个目标目标规划线性规划可以在相3

可以认为目标规划更能确切地描述和解决经营管理中的许多实际问题一种简单、实用的处理多目标决策问题的方法。在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。可以认为目标规划更能确切地描述和在经济计划、生产管理、经营4一、目标规划问题及其数学模型（一）目标规划问题的提出单一目标问题例1

解：可用线性规划的模型来描述产品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68一、目标规划问题及其数学模型（一）目标规划问题的提出产品ⅠⅡ5

目标函数：maxz=6x1+8x2约束条件：5x1+10x2≤604x1+4x2≤40x1，x2≥0最优解：x1=8件，x2=2件，maxz=64元

目标函数：maxz=6x1+8x26

（二）目标规划的数学模型实际上工厂在做决策时，要考虑市场等其他条件：1、根据市场信息，产品Ⅱ的销售量已有下降的趋势，故考虑产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半；2、由于原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；3、最好能节约设备工时（4h）；4、应尽可能达到并超过预计利润指标（48元）。工厂现在的生产、经营问题——多目标决策问题。（二）目标规划的数学模型7例1．企业生产不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。更为一般的情况例2．商务活动企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。例1．企业生产更为一般的情况例2．商务活动8例3．投资企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险大的投资其收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。例4．裁员同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首要目的是压缩人员开支，但在人人自危的同时员工的忠诚度就很难保证，此外，员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产生负面影响。例5．营销营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影的效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。此外，营销活动的深入程度也决定了营销效果的好坏和持续时间。

例3．投资91.设x1，x2为决策变量，此外，引进正、负偏差变量d+，d-

。正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值即恒有d+×d-=01.设x1，x2为决策变量，此外，引进正、负偏差变量d+，d102.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。2.绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束113.优先因子(优先等级)与权系数

一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1,k=1,2,…，K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数ωj,这些都由决策者按具体情况而定。

3.优先因子(优先等级)与权系数

一个规划问题常常有若干目标12①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量尽可能地小

minZ=f（d++d-）

minZ=f（d+）minZ=f（d-）③要求超过目标值，即要实现负偏差变量为零或最小②要求不超过目标值，即要使正偏差变量为零或最小（实现最少或为零）4、目标规划的目标函数由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。使总偏差量为最小化的目标函数minZ=f（d+，d-）①要求恰好达到目标值，minZ=f（d++d13

对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。

5、满意解

对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，14

例2

例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：1、P1—产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半2、P2—最好能节约设备工时4h。3、P3—总利润尽可能达到并超过48元。

产品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68由此，可以如下建立该问题的最优化模型——例2例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：15

决策变量：x1——产品Ⅰ的产量，x2——产品Ⅱ的产量。偏差变量：P1等级：正、负偏差变量——d1+、d1-

P2等级：正、负偏差变量——d2+、d2-

P3等级：正、负偏差变量——d3+、d3-

x1

、x2

、d1+、d1-、d2+、d2-、d3+、d3-≥0决策变量：16

约束条件：绝对约束：

5x1+10x2≤60目标约束：x1-2x2+d1--d1+=0（P1）4x1+4x2+d2--d2+=36（P2）6x1+8x2+d3--d3+=48（P3）目标函数：

minZ=P1d1-+P2

d2++P3d3-目标优先等级：1、P1—产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半2、P2—最好能节约设备工时4h。3、P3—总利润尽可能达到并超过48元。约束条件：目标优先等级：17某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？ⅠⅡ拥有量原材料2111设备(台时)1210单件利润810在此基础上考虑：1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；2、充分利用设备有效台时，不加班；3、利润不小于56元。解:分析第一目标：即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。第二目标：例2：第三目标：某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据如表所示。18规划模型：规划模型：19目标规划数学模型的一般形式

目标规划数学模型的一般形式

20

建模的步骤1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数。3、给各目标赋予相应的优先因子Pi（i=1.2…l）。2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。建模的步骤1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件215、根据决策者的要求，按下列情况之一：

⑴恰好达到目标值，取。⑵允许超过目标值，取。⑶不允许超过目标值，取。构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数。5、根据决策者的要求，按下列情况之一：⑴恰好达到目标值22

小结线性规划LP目标规划GP目标函数min,max系数可正负min,偏差变量系数≥0变量xB,xsxN

xBxsxNd约束条件绝对约束目标约束、绝对约束解最优最满意小结线性规划LP目标规划GP目标函数min,ma23

图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。

图解法解题步骤如下：1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；二、目标规划的图解法图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单243、求满足最高优先等级目标的解；4、转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5、重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；6、确定最优解和满意解。3、求满足最高优先等级目标的解；25例3用图解法求解例2的目标规划问题例3用图解法求解例2的目标规划问题26⑴⑵⑶⑷CD结论：有无穷多最优解minz=0,C（2，4）、D（10/3，10/3）,这种情况并不总是出现，即很多目标规划问题只能满足Pj级目标的要求，即只能得到满意解OABE⑴⑵⑶⑷CD结论：有无穷多最优解minz=027

例4：用图解法求下列目标规划问题

minZ=P1d1-+P2

d2++P3（2d3-+1d4-）x1+x2+d1--d1+=40x1+x2+d2--d2+=40+10=50x1+d3--d3+=24x2+d4--d4+=30x1

、x2

、di-、di+-≥0

i=1,2,3,4例4：用图解法求下列目标规划问题28

d3-

d1-

d3+

d4+

d2+

d1+

d4-

d2-

x2x1x1+x2=40x1+x2=50

x1=24x2=30

满意解（24，26）minZ=P1d1-+P2

d2++P3（2d3-+1d4-）s.t.x1+x2+d1--d1+=40x1+x2+d2--d2+=40+10=50x1+d3--d3+=24x2+d4--d4+=30

x1

、x2

、di-、di+-≥0

i=1,2,3,4d3-d1-d3+d4+d2+d1+29

例5：某车间计划生产两种产品。考虑:①充分利用供电部门分配的电量限额指标62.5kw/日;②考虑完成且超额完成利润指标10元/日。每日可给车间供应所需原料8t。其他有关数据汇总于下表。应当如何确定产品A、B的产量。产品耗电量（kw/件）材料（t/件）利润（元/件）AB10122112解：目标规划模型例5：某车间计划生产两种产品。考虑:①充分利用供电部门分配30012345678123456⑴⑵⑶Ax2

x1BC

B(0.6250,4.6875)、C(0,5.2083)，B、C线段上的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。0123431例6、已知一个生产计划的线性规划模型为其中目标函数为总利润，x1,x2为产品A、B产量。现有下列目标：1、要求总利润必须超过2500元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过60件和100件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。例6、已知一个生产计划的线性规划模型为其中目标32解：以产品A、B的单件利润比2.5：1为权系数，模型如下：P1:要求总利润必须超过2500元；P2:考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过60件和100件；P3:由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。解：以产品A、B的单件利润比2.5：1为权系数330x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD结论：C(60,58.3)为所求的满意解。作图：0x20⑴x114020406034检验：将上述结果代入模型，因＝＝0；

＝＝0；

＝0，存在；＝0，存在。所以：minZ=P3

将x1＝60，x2

＝58.3代入约束条件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>140；1×60＝601×58.3＝58.3<100由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，58.3）成为可行方案。检验：将上述结果代入模型，因＝＝35

例7：用单纯形法求解下列目标规划问题

三、目标规划的单纯形法用单纯形法解目标规划时，在判别各检验数的大小时，必须注意必须注意P1»P2»P3»……例7：用单纯形法求解下列目标规划问题三、目标规划的单纯形法36

初始基变量：d1-,

d2-,x3minZ=P1(d1-+d1+)+P2

d2-

10x1+12x2+d1--d1+=62.5x1+2x2+d2--d2+=102x1+

x2+x3=8x1

,x2

,x3≥0,d1-,d1+,

d2-,d2+≥0(1)建立初始单纯形表。一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏差变量，松弛变量或人工变量为初始基变量；按目标函数中的优先因子从左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部。

初始基变量：d1-,d2-,x3min37

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P1P20d1-d2-x362.510810121221001100-1000100-10σj

（cj-zj）P1P2检验数σj=cj–zj

σ1=0

–10×P1–1×P2–0×2=–10P1–P2-10-1-12-221……

（2）检验是否为满意解。最优性判别准则：σj≥0cj000P1P1P20CBxBbx1x2x3d1-d1+38

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P1P20d1-d2-x362.510810121221001100-1000100-10cj-zjP1P2-10-1-12-221(3)先从检验数P1行中，选择min(σj＜0）=min(-10,-12)=-12

进基变量：x262.5/1210/28/1出基变量：d2-再按θ=min(8/1,10/2,62.5/12)=5cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-39

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P100d1-x2x32.55341/23/2010001100-100-61/2-1/26-1/21/2cj-zjP1P2

-4261-6(4)用x2替换基变量d2-，进行迭代运算，得到下表：(5)返回(2)。cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d140

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P100d1-x2x32.55341/23/2010001100-100-61/2-1/26-1/21/2cj-zjP1P2-4

261-62.5/63/0.5(6)重复(3)的工作

检查P1行所有系数，P1行还有负数，选d2+—进基变量计算θ得：d1-—出基变量cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d41用d2+替换基变量d1-，进行迭代运算，得到下表cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+000d2+x2x35/12125/2467/242/35/67/60100011/61/12-1/12-1/6-1/121/12-100100cj-zjP1P2

111检验数都为正，得满意解：

x1=0，x2=5.208，x3=2.79，d2+=0.417用d2+替换基变量d1-，进行迭代运算，得到下表cj000P42

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+000d2+x2x35/12125/2467/242/35/67/60100011/61/12-1/12-1/6-1/121/12-100100cj-zjP1P2

1115/8125/2067/28

非基变量x1的检验数是零,用x1替换基变量d2+，进行迭代运算，得下表表示有多重解。cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d43

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+000x1x2x35/8225/4833/161000100011/4-1/8-3/8-1/41/83/8-3/25/47/43/2-5/4-7/4cj-zjP1P2

111另一个满意解：x1=0.625，x2=4.6375，x3=2.0625cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d144例8：目标规划问题例8：目标规划问题45Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

001－11－100000P21012001－1000

P3

5681000001－100

x3

11210000001σjP1

000100000P2

－1－20002000P3

－8－100000010θ=min｛－，10/2，56/10，11/1｝=5换出变量进基变量Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x246Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

053/201－11/2-1/20000x251/21001/2-1/2000

P3

63000-551－100

x3

63/2000-1/21/2001σjP1

000100000P2

000011000P3

－30005-5010θ=min｛10/3,10,6/3,12/3｝=2,进基变量换出变量Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x247Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

02001－13-3-1/21/200x2401004/3-4/3-1/61/600x121000-5/35/31/3-1/300

x3

300002-2-1/21/21σjP1

000100000P2

000011000P3

000000100

满意解为x1＝2，x2＝4。但非基变量的检验数为零，故此题有多重解。θ=min｛4,24,－,6｝=4,故为换出变量。Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x248Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

04002-26-6-1100x210/301-1/31/31/3-1/30000x110/3102/3-2/31/3-1/30000

x3

100-1－1-11001σjP1

000100000P2

000011000P3

000000100此解：x1＝10/3,，x2=10/3。Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x249例9、用单纯形法求解下列目标规划问题

例9、用单纯形法求解下列目标规划问题

50Cj00P1000000000000002.5P20P200000P30000CBXBbx1x2P1250030121－1000000014021001－100000601000001－1000100010000001－1σjP1

－30－1201000000P2

00000002.501P3

0000010000θ=min｛2500/30,140/2,60/1｝=60,故为换出变量。00P1000000000000002.5P20P2000051Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P17000121－100－30300002001001－1－22000x1601000001－1000100010000001－1σjP1

0－12010030－3000P2

00000002.501P3

0000010000θ=min｛700/30,20/2,－,－｝=10,故为换出变量。Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P52Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P14000-31-1-151500002.5P21001/2001/2-1/2-11000x17011/2001/2-1/200000100010000001-1σjP1

030115-150000P2

0-5/400-5/45/45/2001P3

0000010000θ=min｛400/15,－,－,－｝=10,故为换出变量。Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P53Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P380/30-1/51/15-1/15-1100002.5P270/302/51/30-1/3000-11000x1250/312/51/30-1/300000000100010000001－1σjP1

0010000000P2

0-1-1/121/12002/5001P3

01/5-1/151/15100000θ=min｛－,350/6,1250/6,100/1｝=175/3,故为换出变量。Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P54Cj

00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P3115/3001/12-1/12-11-1/21/2000x2175/3011/12-1/1200-5/25/2000x160100000-11000125/300-1/121/12005/2-5/21－1σjP1

0010000000P2

00000005/201P3

00-1/121/12101/2-1/200P3优先等级目标没有实现，但已无法改进，得到满意解

x1＝60，x2＝175/3，＝115/3，＝125/3Cj00P100P302.5P20P2CBXBbx1x2P55

结果分析：计算结果表明，工厂应生产A产品60件，B产品175/3件，2500元的利润目标刚好达到＝125/3，表明产品比最高限额少125/3件，满足要求＝115/3表明甲资源超过库存115/3公斤，该目标没有达到。从表中还可以看到，P3的检验数还有负数，但其高等级的检验数却是正数，要保证P1目标实现，P3等级目标则无法实现。所以，按现有消耗水平和资源库存量，无法实现2500元的利润目标。可考虑如下措施：降低A、B产品对甲资源的消耗量，以满足现有甲资源库存量的目标；或改变P3等级目标的指标值，增加甲资源115/3公斤。若很难实现上述措施，则需改变现有目标的优先等级，以取得可行的满意解果。结果分析：计算结果表明，工厂应生产A产品60件56

四、目标规划应用举例例10：书上P117-119四、目标规划应用举例例10：书上P117-11957例11：已知条件如表所示工序型号每周最大加工能力ABⅠ（小时/台）Ⅱ（小时/台）436215070利润（元/台）300450如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：p1:每周总利润不得低于10000元；p2:因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台；p3:希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。试建立这个问题的目标规划模型。

型号每周最大ABⅠ（小时/台）46150利润（元/台）30058目标规划培训教材--课件59

例12.在上题中，如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的产品，每台A型机减少利润10元，每台B型机减少利润25元，并且工序Ⅱ的加班时间每周最多不超过30小时，这是p4级目标，试建立这个问题的目标规划模型如果工厂经营目标的期望值和优先等级如下：p1:每周总利润不得低于10000元；p2:因合同要求，A型机每周至少生产10台，B型机每周至少生产15台；p3:希望工序Ⅰ的每周生产时间正好为150小时，工序Ⅱ的生产时间最好用足，甚至可适当加班。试建立这个问题的目标规划模型。

例12.在上题中，如果工序Ⅱ在加班时间内生产出来的60解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x3,x4分别为在正常时间和加班时间生产B型机台数，目标规划数学模型为：解：设x1,x2分别为在正常时间和加班时间生产A型机台数，x61目标规划(Goalprogramming)目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规划应用举例目标规划问题及其数学模型目标规划目标规划的图解法目标规划的单纯形法目标规62目标规划的方法是在1961年由查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)提出的它是在线性规划的基础上，适应企业经营管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的。目标规划是在企业决策者所规定的若干指标值及要求实现这些指标的先后顺序后，并在给定有限资源条件下，求得总的偏离指标值为最小的方案，称这方案为满意方案。目标规划目标规划的方法是在1961年由查恩斯(A.Charnes)和63处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解只能处理一个目标目标规划线性规划可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解满足所有约束条件的可行解找到的最优解是指尽可能地达到或接近一个或若干个已给定的指标值约束条件同等重要可根据实际需要给予轻重缓急或主次之分的考虑处理多种目标的关系，只能处理一个目标目标规划线性规划可以在相64

可以认为目标规划更能确切地描述和解决经营管理中的许多实际问题一种简单、实用的处理多目标决策问题的方法。在经济计划、生产管理、经营管理、市场分析、财务管理等方面得到了广泛的应用。可以认为目标规划更能确切地描述和在经济计划、生产管理、经营65一、目标规划问题及其数学模型（一）目标规划问题的提出单一目标问题例1

解：可用线性规划的模型来描述产品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68一、目标规划问题及其数学模型（一）目标规划问题的提出产品ⅠⅡ66

目标函数：maxz=6x1+8x2约束条件：5x1+10x2≤604x1+4x2≤40x1，x2≥0最优解：x1=8件，x2=2件，maxz=64元

目标函数：maxz=6x1+8x267

（二）目标规划的数学模型实际上工厂在做决策时，要考虑市场等其他条件：1、根据市场信息，产品Ⅱ的销售量已有下降的趋势，故考虑产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半；2、由于原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；3、最好能节约设备工时（4h）；4、应尽可能达到并超过预计利润指标（48元）。工厂现在的生产、经营问题——多目标决策问题。（二）目标规划的数学模型68例1．企业生产不同企业的生产目标是不同的。多数企业追求最大的经济效益。但随着环境问题的日益突出，可持续发展已经成为全社会所必须考虑的问题。因此，企业生产就不能再如以往那样只考虑企业利润，必须承担起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系，企业才可能保持长期的发展。更为一般的情况例2．商务活动企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某一种产品的投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因此，需要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。例1．企业生产更为一般的情况例2．商务活动69例3．投资企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险大的投资其收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。例4．裁员同样的，企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首要目的是压缩人员开支，但在人人自危的同时员工的忠诚度就很难保证，此外，员工的心理压力、工作压力等都会增加，可能产生负面影响。例5．营销营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影的效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。此外，营销活动的深入程度也决定了营销效果的好坏和持续时间。

例3．投资701.设x1，x2为决策变量，此外，引进正、负偏差变量d+，d-

。正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值未达到目标值的部分。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值即恒有d+×d-=01.设x1，x2为决策变量，此外，引进正、负偏差变量d+，d712.绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。2.绝对约束和目标约束绝对约束是指必须严格满足的等式约束723.优先因子(优先等级)与权系数

一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同。要求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1,k=1,2,…，K。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的；依此类推。若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时可分别赋予它们不同的权系数ωj,这些都由决策者按具体情况而定。

3.优先因子(优先等级)与权系数

一个规划问题常常有若干目标73①要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量尽可能地小

minZ=f（d++d-）

minZ=f（d+）minZ=f（d-）③要求超过目标值，即要实现负偏差变量为零或最小②要求不超过目标值，即要使正偏差变量为零或最小（实现最少或为零）4、目标规划的目标函数由各目标约束的正、负偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。使总偏差量为最小化的目标函数minZ=f（d+，d-）①要求恰好达到目标值，minZ=f（d++d74

对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，而后面的目标就不一定能保证实现或部分实现，有些可能就不能实现。

5、满意解

对于这种解来说，前面的目标可以保证实现或部分实现，75

例2

例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：1、P1—产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半2、P2—最好能节约设备工时4h。3、P3—总利润尽可能达到并超过48元。

产品ⅠⅡ限量原材料（kg/件）51060设备工时（h/件）4440利润（元/件）68由此，可以如下建立该问题的最优化模型——例2例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：76

决策变量：x1——产品Ⅰ的产量，x2——产品Ⅱ的产量。偏差变量：P1等级：正、负偏差变量——d1+、d1-

P2等级：正、负偏差变量——d2+、d2-

P3等级：正、负偏差变量——d3+、d3-

x1

、x2

、d1+、d1-、d2+、d2-、d3+、d3-≥0决策变量：77

约束条件：绝对约束：

5x1+10x2≤60目标约束：x1-2x2+d1--d1+=0（P1）4x1+4x2+d2--d2+=36（P2）6x1+8x2+d3--d3+=48（P3）目标函数：

minZ=P1d1-+P2

d2++P3d3-目标优先等级：1、P1—产品Ⅱ的产量最好不大于产品Ⅰ的一半2、P2—最好能节约设备工时4h。3、P3—总利润尽可能达到并超过48元。约束条件：目标优先等级：78某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据如表所示。试求获利最大的生产方案？ⅠⅡ拥有量原材料2111设备(台时)1210单件利润810在此基础上考虑：1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量；2、充分利用设备有效台时，不加班；3、利润不小于56元。解:分析第一目标：即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。第二目标：例2：第三目标：某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，有关数据如表所示。79规划模型：规划模型：80目标规划数学模型的一般形式

目标规划数学模型的一般形式

81

建模的步骤1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件，确定目标值，列出目标约束与绝对约束；4、对同一优先等级中的各偏差变量，若需要可按其重要程度的不同，赋予相应的权系数。3、给各目标赋予相应的优先因子Pi（i=1.2…l）。2、可根据决策者的需要，将某些或全部绝对约束转化为目标约束。这时只需要给绝对约束加上负偏差变量和减去正偏差变量即可。建模的步骤1、根据要研究的问题所提出的各目标与条件825、根据决策者的要求，按下列情况之一：

⑴恰好达到目标值，取。⑵允许超过目标值，取。⑶不允许超过目标值，取。构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实现极小化的目标函数。5、根据决策者的要求，按下列情况之一：⑴恰好达到目标值83

小结线性规划LP目标规划GP目标函数min,max系数可正负min,偏差变量系数≥0变量xB,xsxN

xBxsxNd约束条件绝对约束目标约束、绝对约束解最优最满意小结线性规划LP目标规划GP目标函数min,ma84

图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。

图解法解题步骤如下：1、确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）在坐标平面上表示出来；2、在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；二、目标规划的图解法图解法同样适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单853、求满足最高优先等级目标的解；4、转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5、重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；6、确定最优解和满意解。3、求满足最高优先等级目标的解；86例3用图解法求解例2的目标规划问题例3用图解法求解例2的目标规划问题87⑴⑵⑶⑷CD结论：有无穷多最优解minz=0,C（2，4）、D（10/3，10/3）,这种情况并不总是出现，即很多目标规划问题只能满足Pj级目标的要求，即只能得到满意解OABE⑴⑵⑶⑷CD结论：有无穷多最优解minz=088

例4：用图解法求下列目标规划问题

minZ=P1d1-+P2

d2++P3（2d3-+1d4-）x1+x2+d1--d1+=40x1+x2+d2--d2+=40+10=50x1+d3--d3+=24x2+d4--d4+=30x1

、x2

、di-、di+-≥0

i=1,2,3,4例4：用图解法求下列目标规划问题89

d3-

d1-

d3+

d4+

d2+

d1+

d4-

d2-

x2x1x1+x2=40x1+x2=50

x1=24x2=30

满意解（24，26）minZ=P1d1-+P2

d2++P3（2d3-+1d4-）s.t.x1+x2+d1--d1+=40x1+x2+d2--d2+=40+10=50x1+d3--d3+=24x2+d4--d4+=30

x1

、x2

、di-、di+-≥0

i=1,2,3,4d3-d1-d3+d4+d2+d1+90

例5：某车间计划生产两种产品。考虑:①充分利用供电部门分配的电量限额指标62.5kw/日;②考虑完成且超额完成利润指标10元/日。每日可给车间供应所需原料8t。其他有关数据汇总于下表。应当如何确定产品A、B的产量。产品耗电量（kw/件）材料（t/件）利润（元/件）AB10122112解：目标规划模型例5：某车间计划生产两种产品。考虑:①充分利用供电部门分配91012345678123456⑴⑵⑶Ax2

x1BC

B(0.6250,4.6875)、C(0,5.2083)，B、C线段上的所有点均是该问题的解（无穷多最优解）。0123492例6、已知一个生产计划的线性规划模型为其中目标函数为总利润，x1,x2为产品A、B产量。现有下列目标：1、要求总利润必须超过2500元；2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过60件和100件；3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。例6、已知一个生产计划的线性规划模型为其中目标93解：以产品A、B的单件利润比2.5：1为权系数，模型如下：P1:要求总利润必须超过2500元；P2:考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过60件和100件；P3:由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型，并用图解法求解。解：以产品A、B的单件利润比2.5：1为权系数940x2

0⑴x11401201008060402020406080100⑵⑶⑷ABCD结论：C(60,58.3)为所求的满意解。作图：0x20⑴x114020406095检验：将上述结果代入模型，因＝＝0；

＝＝0；

＝0，存在；＝0，存在。所以：minZ=P3

将x1＝60，x2

＝58.3代入约束条件，得30×60＋12×58.3＝2499.6≈2500；2×60+58.3=178.3>140；1×60＝601×58.3＝58.3<100由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，58.3）成为可行方案。检验：将上述结果代入模型，因＝＝96

例7：用单纯形法求解下列目标规划问题

三、目标规划的单纯形法用单纯形法解目标规划时，在判别各检验数的大小时，必须注意必须注意P1»P2»P3»……例7：用单纯形法求解下列目标规划问题三、目标规划的单纯形法97

初始基变量：d1-,

d2-,x3minZ=P1(d1-+d1+)+P2

d2-

10x1+12x2+d1--d1+=62.5x1+2x2+d2--d2+=102x1+

x2+x3=8x1

,x2

,x3≥0,d1-,d1+,

d2-,d2+≥0(1)建立初始单纯形表。一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏差变量，松弛变量或人工变量为初始基变量；按目标函数中的优先因子从左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部。

初始基变量：d1-,d2-,x3min98

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P1P20d1-d2-x362.510810121221001100-1000100-10σj

（cj-zj）P1P2检验数σj=cj–zj

σ1=0

–10×P1–1×P2–0×2=–10P1–P2-10-1-12-221……

（2）检验是否为满意解。最优性判别准则：σj≥0cj000P1P1P20CBxBbx1x2x3d1-d1+99

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P1P20d1-d2-x362.510810121221001100-1000100-10cj-zjP1P2-10-1-12-221(3)先从检验数P1行中，选择min(σj＜0）=min(-10,-12)=-12

进基变量：x262.5/1210/28/1出基变量：d2-再按θ=min(8/1,10/2,62.5/12)=5cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-100

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P100d1-x2x32.55341/23/2010001100-100-61/2-1/26-1/21/2cj-zjP1P2

-4261-6(4)用x2替换基变量d2-，进行迭代运算，得到下表：(5)返回(2)。cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1101

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+P100d1-x2x32.55341/23/2010001100-100-61/2-1/26-1/21/2cj-zjP1P2-4

261-62.5/63/0.5(6)重复(3)的工作

检查P1行所有系数，P1行还有负数，选d2+—进基变量计算θ得：d1-—出基变量cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d102用d2+替换基变量d1-，进行迭代运算，得到下表cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+000d2+x2x35/12125/2467/242/35/67/60100011/61/12-1/12-1/6-1/121/12-100100cj-zjP1P2

111检验数都为正，得满意解：

x1=0，x2=5.208，x3=2.79，d2+=0.417用d2+替换基变量d1-，进行迭代运算，得到下表cj000P103

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+000d2+x2x35/12125/2467/242/35/67/60100011/61/12-1/12-1/6-1/121/12-100100cj-zjP1P2

1115/8125/2067/28

非基变量x1的检验数是零,用x1替换基变量d2+，进行迭代运算，得下表表示有多重解。cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d104

cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1-d1+d2-d2+000x1x2x35/8225/4833/161000100011/4-1/8-3/8-1/41/83/8-3/25/47/43/2-5/4-7/4cj-zjP1P2

111另一个满意解：x1=0.625，x2=4.6375，x3=2.0625cj000P1P1P20θCBxBbx1x2x3d1105例8：目标规划问题例8：目标规划问题106Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

001－11－100000P21012001－1000

P3

5681000001－100

x3

11210000001σjP1

000100000P2

－1－20002000P3

－8－100000010θ=min｛－，10/2，56/10，11/1｝=5换出变量进基变量Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2107Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

053/201－11/2-1/20000x251/21001/2-1/2000

P3

63000-551－100

x3

63/2000-1/21/2001σjP1

000100000P2

000011000P3

－30005-5010θ=min｛10/3,10,6/3,12/3｝=2,进基变量换出变量Cj000P1P2P2P300CBXBbx1x2108Cj

000P1

P2

P2P3

00CBXBbx1x2

x3

02001－13-3-1/21/200x2401004/3-4/3-1/61/600x121000-5/35/31/3-1/300

x3

300002-2-1/21/21σjP1

000100000P2

000011000P3

000000100

满意解为x1＝2，x2＝4。但非基变量的检验数为零，故此题有多